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1、1三重积分的三重积分的概念概念三重积分的计算三重积分的计算(triple integral)第三节三重积分第三节三重积分第九章第九章 重积分重积分2是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的上的如当各小闭区域直径中的最大值如当各小闭区域直径中的最大值在每个在每个 1. 三重积分的定义三重积分的定义将闭区域将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域 其中其中并作和并作和作乘积作乘积有界函数有界函数. .也表示它的体积也表示它的体积.表示第表示第i个小闭区域个小闭区域,上任取一点上任取一点三重积分三重积分一、三重积分的概念一、三重积分的概念(define)3记为记为函数函数趋于零时这和的极限总存在趋
2、于零时这和的极限总存在,则称此极限为则称此极限为在闭区域在闭区域上的三重积分上的三重积分. 即即体积元素体积元素三重积分三重积分43. 三重积分的几何意义三重积分的几何意义设被积函数设被积函数连续函数一定可积连续函数一定可积2. 三重积分存在性三重积分存在性则区域则区域V 的体积为的体积为在在上是可积的上是可积的.的三重积分存在性时的三重积分存在性时,三重积分三重积分(existence)54. 三重积分的性质三重积分的性质与二重积分的性质类似与二重积分的性质类似.补充三重积分补充三重积分对称性质对称性质则称则称f关于变量关于变量z的的奇奇 函数函数.(1)关于关于坐标面的上半部区域坐标面的上
3、半部区域.(偶偶)三重积分三重积分(property)6或或而得结果为零而得结果为零.例例0则则三重积分三重积分7二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分故故直角坐标系下直角坐标系下的体积元素为的体积元素为在直角坐标系下在直角坐标系下三重积分可表为三重积分可表为在直角坐标系中在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的如果用平行于坐标面的平面的来划分平面的来划分三重积分三重积分8直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分 投影法投影法思想是思想是( (先一后二法先一后二法) )如图如图, 闭区域闭区域面上的投影为闭区域面
4、上的投影为闭区域D, ,过点过点作直线作直线,三重积分三重积分9X型型再计算再计算的函数的函数,得得三重积分三重积分则则10所以所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积三重积分可以化为六种不同次序的三次积分分(累次积分累次积分).和积分域和积分域选取适当的三次积分进行计算选取适当的三次积分进行计算.解题时解题时, 要依据具体的被积函数要依据具体的被积函数同样同样,也可以把积分域也可以把积分域向向yOz、zOx面投影面投影.三重积分三重积分11 解解由于由于V是长方体是长方体, 故故例例三次积分的上、下限三次积分的上、下限都是常数都是常数,三重积分三重积分计算三重积分计算三重积分其中其中V是长
5、方体是长方体 12解解化三重积分化三重积分为三次积分为三次积分,例例所围成的闭区域所围成的闭区域.三重积分三重积分其中积分区域为由曲面其中积分区域为由曲面得交线投影区域得交线投影区域13解解 画积分区域的草图画积分区域的草图.采用采用先对先对x积分积分, 再对再对y、z积分积分的方法简单的方法简单.例例三重积分三重积分将将V向向yOz平面投影平面投影对任一对任一x取值为取值为 先对先对z积分积分?得平面区域得平面区域14 截面法截面法(红色部分红色部分)( (先二后一法先二后一法) )截面法的一般步骤截面法的一般步骤(1)投影投影, ,得投影区间得投影区间(2)(3)计算二重积分计算二重积分(
6、4)最后计算单积分最后计算单积分三重积分三重积分15 即即当被积函数仅与变量当被积函数仅与变量z有关有关,截面法的公式还有两个截面法的公式还有两个.用上公式简便用上公式简便. 希自己推希自己推注注且截面且截面Dz易知时易知时,三重积分三重积分16截面法截面法( (先二后一法先二后一法)解解计算三重积分计算三重积分例例原式原式=三重积分三重积分17投影法投影法( (先一后二法先一后二法)计算三重积分计算三重积分三重积分三重积分18已知椭球已知椭球V: 内点内点(x,y,z)处质量处质量的体密度为的体密度为: 求求椭球的椭球的质量质量.提示提示三重积分三重积分19解解因为因为而而其中其中三重积分三
7、重积分20由对等性知由对等性知因此因此所以所以三重积分三重积分xaxxabcaad )1(22222 - - -= =p p21解解 两曲面的交线为两曲面的交线为所以所以, 例例极极坐坐标标三重积分三重积分.)22(383ap p- -= =22规定规定直角坐标直角坐标与与柱面坐标柱面坐标的关系为的关系为就叫点就叫点M的的柱面坐标柱面坐标.三重积分三重积分2. .利用柱面坐标利用柱面坐标计算三重积分计算三重积分cylindrical coordinates设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点, 并设点并设点M在在xOy面上的投影面上的投影P的极坐标为的极坐标为则这样的三个数则这样的
8、三个数,sinq qr r= =y23柱面坐标柱面坐标系中系中, 以以z轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面；过过z轴的轴的半平面半平面.与与xOy平面平行的平面平行的平面平面;三坐标面分别为三坐标面分别为三重积分三重积分称点称点M的柱面坐标的柱面坐标24柱面坐标系柱面坐标系中的中的体积元素体积元素为为 在在柱面坐标系柱面坐标系中中,如图如图,得小柱体得小柱体即即直角坐标系直角坐标系下三重积分与下三重积分与(红色部分红色部分).若以三坐标面分割空间区域若以三坐标面分割空间区域柱柱(面面)坐标系坐标系下三重下三重积分的关系是积分的关系是三重积分三重积分25 如何计算如何计算柱坐标系柱坐标系下三重
9、积分下三重积分三重积分三重积分26故故确定确定的下的下, 上边界面上边界面注注通常是通常是先积先积再积再积后积后积三重积分三重积分27解解例例 所围成所围成.积分域用积分域用柱坐标柱坐标表示为表示为原式原式其中其中由半圆柱面由半圆柱面三重积分三重积分28例例已知立体内任一点的质量的体密度已知立体内任一点的质量的体密度解解因为因为平面平面柱柱面面坐坐标标求曲面求曲面所围立体的质量所围立体的质量M,与该点与该点到到z轴的距离的平方成正比轴的距离的平方成正比.的的交线交线是是上的圆上的圆体密度函数为体密度函数为三重积分三重积分)(22yxk+ += =m m29的的下边界面下边界面是是上边界面上边界
10、面是是故故 所以所以在在xOy面上的投影域面上的投影域即即是半径为是半径为2的圆域的圆域三重积分三重积分20,20 r rp pq q;212r r= =z30解解如先对如先对z积分积分其中其中是由锥面是由锥面例例与平面与平面所围成的锥台体所围成的锥台体.柱柱面面坐坐标标三重积分三重积分31可看出如先对可看出如先对z积分积分,(积不出来积不出来).将遇到积分将遇到积分最后对最后对z积分积分.三重积分三重积分这里应先对这里应先对 积分积分,32解解对对称称性性质质例例所围成的空间闭区域所围成的空间闭区域.三重积分三重积分同理同理33计算计算三重积分三重积分柱柱坐坐标标34所以所以对称性质对称性质
11、三重积分三重积分计算计算关于两个坐标面关于两个坐标面35记投影记投影向量与向量与x轴正方向的轴正方向的规定规定正方向间的夹角为正方向间的夹角为夹角为夹角为球面坐标球面坐标.称称为点为点M的的三重积分三重积分2. .利用球面坐标利用球面坐标计算三重积分计算三重积分设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,向向xOy平面投影平面投影,36球面坐标系球面坐标系中的三坐标面分别为中的三坐标面分别为原点为心的原点为心的球面球面；过过z轴的轴的半平面半平面球面坐标与直角坐标的关系球面坐标与直角坐标的关系为为原点为顶点、原点为顶点、z轴为轴为轴的轴的圆锥面圆锥面；三重积分三重积分37球面坐标系球面坐
12、标系中的中的体积元素体积元素为为若以三坐标面分割空若以三坐标面分割空得小六得小六面体面体(红色部分红色部分).于是于是,在在球面坐标系球面坐标系中，中，间区域间区域三重积分三重积分38通常是通常是注注三重积分三重积分q qj jj jdddsin2rr39如积分域如积分域为球域为球域(如图如图).则则三重积分三重积分40解解 法一法一 采用采用例例所围的立体所围的立体. .球面坐标球面坐标三重积分三重积分41三重积分三重积分q qj jj jdddsind2rrv = =42解解采用采用例例由锥面和球面围成由锥面和球面围成, ,所围成的立体体积所围成的立体体积. .球面坐标球面坐标三重积分三重
13、积分p pq q20 431989年研究生考题年研究生考题(数学一数学一)计算计算, 5分分解解被积函数是被积函数是围成的空间区域围成的空间区域, ,x的奇函数的奇函数.三重积分三重积分球球请再用柱面坐标做请再用柱面坐标做.22221yxzyxz- - -= =+ += =与与是曲面是曲面设设W W44柱面坐标系下柱面坐标系下计算三重积分计算三重积分柱面坐标体积元素柱面坐标体积元素 )三重积分三重积分三、小结三、小结三重积分的定义三重积分的定义直角坐标系下直角坐标系下计算三重积分计算三重积分(思想思想:计算时将三重积分化为三次积分计算时将三重积分化为三次积分)三重积分的计算三重积分的计算(四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限)(直角坐标体积元素直角坐标体积元素 )(柱面坐标与直角坐标的关系柱面坐标与直角坐标的关系45三重积分三重积分球面坐标系下球面坐标系下计算三重积分计算三重积分球面坐标体积元素球面坐标体积元素 )(球面坐标与直角坐标的关系球面坐标与直角坐标的关系使用对称性简化运算使用对称性简化运算恰当选择坐标系计算三重积分恰当选择坐标系计算三重积分(注意选择的原则注意选择的原则)
