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1、函数、导数及其应用函数、导数及其应用第 二 章第十二讲导数在研究函数中的应用第十二讲导数在研究函数中的应用 第二课时导数与函数的极值、最值第二课时导数与函数的极值、最值1 1知知 识识 梳梳 理理2 2考考 点点 突突 破破3 3名名 师师 讲讲 坛坛知知 识识 梳梳 理理1函数的极值(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)_f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)_f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值(2)当函数f(
2、x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：如果xx0有f(x)_0，那么f(x0)是极大值如果xx0有f(x)_0，那么f(x0)是极小值2求可导函数f(x)极值的步骤(1)_；(2)_；(3)检验f(x)在方程f(x)0的_的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根处取得_；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数yf(x)在这个根处取得_.3函数的最值的概念设函数yf(x)在_上连续，在_内可导，函数f(x)在a，b上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数yf(x)的最大(最小)值求导数f(x)求方程f(x)0的根根左右的值极大值极小值a，
3、b(a，b)4求函数最值的步骤设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最值，可分两步进行：(1)_；(2)_求f(x)在(a，b)内的极值将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1f(x0)0与x0是f(x)极值点的关系函数f(x)可导，则f(x0)0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点2极大值(或极小值)可能不只一个，可能没有，极大值不一定大于极小值3极值与最值的关系极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未
4、必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取4定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值1若函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则()Ax1是最小值点Bx0是极小值点Cx2是极小值点D函数f(x)在(1,2)上单调递增解析由导数图象可知，x0，x2为两极值点，x0为极大值点，x2为极小值点，选C CB3(文)(2018辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)x33x1，在区间3,2上的最大值为M，最小值为N，则MN()A20B18C3D0(理)(2018岳阳模拟)函数f(x)lnxx在区间(0，e上的最大值为()A1eB1CeD0AB4已知x3
5、是函数f(x)alnxx210x的一个极值点，则实数a_.12考考 点点 突突 破破考点1用导数求解函数极值问题多维探究角度1根据函数图象判断极值 已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是() f(b)f(a)f(d)；函数f(x)在xc处取得极小值，在xe处取得极大值；函数f(x)在xc处取得极大值，在xe处取得极小值；函数f(x)的最小值为f(d)ABCD例 1A解析由图可知xa，c时f(x)0，f(x)单调递增，又abc，f(a) f(b)f(c)，错；x0，f(x)递增；cxe时，f(x)e时，f(x)0，f(x)递增f(x)在xc处取得极大
6、值，在xe处取得极小值，错，对；f(d)不是极值，又不是定义域端点的函数值，f(d)不是最小值，错，故选A例 2分析求导，研究函数的单调性从而确定极值可导函数求极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格，(4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少f(x)0是函数有极值的必要条件 角度3根据极值求参数的取值范围 (2018北京，19)设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex，aR.(1)若曲线yf(x
7、)在点(2，f(2)处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围例 3函数极值问题的常见类型及解题策略：(1)已知导函数图象判断函数极值的情况先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号(2)已知函数求极值求f(x)求方程f(x)0的根列表检验f(x)在f(x)0的根的两侧的符号得出结论(3)已知极值求参数若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f(x0)0，且f(x)在该点左、右两侧的导数值符号相反 (1)(角度1)(2018遵义模拟)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(
8、a，b)内极小值点的个数为()A1B2C3D4A变式训练 1 BADa1考点2用导数求函数的最值师生共研例 4分析(文)先对函数求导，研究极值及区间端点函数值(理)(1)先求导，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程(2)设h(x)ex(cosxsinx)1，对h(x)求导，进而确定h(x)的单调性，最后求出最值1求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值2求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，
9、一般要根据其极值及单调性画出函数的大致图象，借图求解注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论 变式训练 2 CD名名 师师 讲讲 坛坛利用导数研究生活中的优化问题例 5(1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围(2)若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43.求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大解析本题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力(1)用表示OE和EC，就能求出矩形ABCD及三角形CPD的面积，求定义域时抓住N、G关于OK对称得到GOK的正弦值，从而求得sin的范围(2)先构造函数，再用导数求最值，求导时，结合的范围，判断f()的符号，再确定f()的单调性，就能得到最大值，从而解决问题(2017全国卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_.变式训练 3
