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1、第二讲函数与方程及函数的应用热点题型热点题型1 1函数零点的判断函数零点的判断 【感悟经典感悟经典】【典例典例】1.1.已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数y=f(x),y=f(x),对于对于xRxR都有都有f(1+x)=f(1-x),f(1+x)=f(1-x),当当-1x0-1xa)=b(xa)的根的的根的个数和为个数和为2,2,若两个方程各有一个根若两个方程各有一个根, ,则可知关于则可知关于b b的不的不等式组等式组 有解有解, ,所以所以a a2 2ba1;a1;若方程若方程x x3 3=b(xa)=b(xa)无解无解, ,方程方程x x2 2=b(xa)=b(xa)有有2
2、2个根个根, ,则可知关于则可知关于b b的不等式组的不等式组 有解有解, ,从而从而a0,a0,综上综上, ,实数实数a a的取值的取值范围是范围是(-,0)(1,+).(-,0)(1,+).答案答案: :(-,0)(1,+)(-,0)(1,+)【规律方法规律方法】判断函数零点个数的方法判断函数零点个数的方法(1)(1)直接求零点直接求零点: :令令f(x)=0,f(x)=0,则方程解的个数即为零点的则方程解的个数即为零点的个数个数. .(2)(2)零点存在性定理零点存在性定理: :利用该定理不仅要求函数在利用该定理不仅要求函数在a,ba,b上是连续的曲线上是连续的曲线, ,且且f(a)f(
3、b)0,f(a)f(b)0,f(2)=3-1=20,f(4)= -logf(1) =6-0=60,f(2)=3-1=20,f(4)= -log2 24=4= -2=- 0, -2=- 0,f 0,f(0)0,f 0,f(0)0,f 0,f 0,f 0,f 0,由零点存在性定理知由零点存在性定理知f(x)f(x)在在 上存在零点上存在零点. .2.2.若函数若函数f(x)=|2f(x)=|2x x-2|-b-2|-b有两个零点有两个零点, ,则实数则实数b b的取值范的取值范围是围是_._.【解析解析】令令|2|2x x-2|-b=0,-2|-b=0,得得|2|2x x-2|=b,-2|=b,由
4、题意可知函数由题意可知函数y=|2y=|2x x-2|-2|与与y=by=b的图象有两个交点的图象有两个交点, ,结合函数图象可知结合函数图象可知, ,0b2.0b0x0时时, ,方程方程ax-3=0ax-3=0有解有解, ,故故a0,a0,所以当所以当x0x0时时, ,需满足需满足 即即0a1.0a1.综上综上,a,a的取值范围是的取值范围是(0,1).(0,1).答案答案: :(0,1)(0,1)热点题型热点题型2 2函数与方程的综合应用函数与方程的综合应用 【感悟经典感悟经典】【典例典例】1.(20181.(2018烟台一模烟台一模) )已知已知x x1 1,x,x2 2(x(x1 1x
5、x2 2) )是函数是函数f(x)=ln x-f(x)=ln x- 的两个零点的两个零点, ,若若a(xa(x1 1,1),b(1,x,1),b(1,x2 2),),则则( () )A.f(a)0,f(b)0A.f(a)0,f(b)0,f(b)0B.f(a)0,f(b)0C.f(a)0,f(b)0,f(b)0D.f(a)0D.f(a)02.2.已知函数已知函数f(x)=f(x)= 其中其中m0,m0,若存在实若存在实数数b,b,使得关于使得关于x x的方程的方程f(x)=bf(x)=b有三个不同的根有三个不同的根, ,则则m m的取的取值范围是值范围是_._.【联想解题联想解题】1.1.化函数
6、零点为两个函数图象公共点化函数零点为两个函数图象公共点, ,数形结合数形结合. .2.2.看到含有参数的方程根的讨论问题看到含有参数的方程根的讨论问题, ,想到先画出函数想到先画出函数的部分图象的部分图象, ,再平移图象使得符合条件再平移图象使得符合条件, ,从而构造参数从而构造参数的不等式求解的不等式求解. .【规范解答规范解答】1.1.选选C.C.函数函数f(x)=ln x- f(x)=ln x- 的零点即的零点即f(x)=ln x- =0,f(x)=ln x- =0,所以所以ln x= ,ln x= ,分别作出分别作出y=ln xy=ln x与与y= y= 的图象的图象, ,如图所示如图
7、所示, ,由图可知由图可知ln a ,f(a)=ln a- 0,ln b ,f(a)=ln a- 0,ln b ,f(b)=ln b- 0.f(b)=ln b- 0.2.2.由题意画出函数图象为如图所示时才符合由题意画出函数图象为如图所示时才符合, ,要满足存要满足存在实数在实数b,b,使得关于使得关于x x的方程的方程f(x)=bf(x)=b有三个不同的根有三个不同的根, ,必须必须且只需有且只需有4m-m4m-m2 2m,3,m3,所以所以m m的取值范围是的取值范围是(3,+).(3,+).答案答案: :(3,+(3,+) )【规律方法规律方法】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
8、利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解利用零点存在的判定定理构建不等式求解. .(2)(2)分离参数后转化为求函数的值域分离参数后转化为求函数的值域( (最值最值) )问题求解问题求解. .(3)(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题, ,从而从而构建不等式求解构建不等式求解. .【对点训练对点训练】1.1.设函数设函数f(x)=f(x)= 若方程若方程f(x)=mf(x)=m有三个不同的有三个不同的实根实根, ,则实数则实数m m的取值范围为的取值范围为( () )A.A. B.B. C.C. D
9、.D. 【解析解析】选选C.C.作出函数作出函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象, ,如图所示如图所示. .当当x0x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-x= ,-x= ,所以要使函数所以要使函数f(x)=mf(x)=m有三个不同的零点有三个不同的零点, ,则则- m0,- m0,即即m m的取值范围的取值范围为为 . .2.2.已知函数已知函数f(x)=f(x)= -log-log3 3x,x,若实数若实数x x0 0是方程是方程f(x)=0f(x)=0的解的解, ,且且x x0 0xx1 1, ,则则f(xf(x1 1) )的值的值( () )A.A.恒为负恒为负B.B.等于零等
10、于零C.C.恒为正恒为正D.D.不大于零不大于零【解析解析】选选A.A.由于函数由于函数f(x)= -logf(x)= -log3 3x x在定义域内是在定义域内是减函数减函数, ,于是于是, ,若若f(xf(x0 0)=0,)=0,当当x x0 0xx1 1时时, ,一定有一定有f(xf(x1 1)0.)32 323x3x2 2-32x+640(x0),-32x+640(x0),解得解得:x (8,+).:x (8,+).(2)(2)设设f(x)= ,x3,4),f(x)= ,x3,4),所以所以f(x)=3 f(x)=3 =3 ,=3 ,设设t=x-2,t=x-2,则则t1,2),t1,2
11、),则则y=3 ,y=3 ,根据对勾函数可得根据对勾函数可得: :t=1t=1时时,y,y达到最大值达到最大值, ,即即y=27,y=27,此时此时t=1t=1x=3,x=3,所以所以AN=3,AM= =9.AN=3,AM= =9.答答: :当当AN=3,AM=9AN=3,AM=9时时, ,四边形四边形AMPNAMPN的面积最大的面积最大, ,为为27 27 平方平方米米. .3.3.时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱, ,它已经成它已经成为学生们课外学习的一种趋势为学生们课外学习的一种趋势, ,假设某网校的套题每日假设某网校的套题每日的销售量的销售量y(
12、y(单位单位: :千套千套) )与销售价格与销售价格: :x(x(单位单位: :元元/ /套套) )满足的关系式为满足的关系式为y=y= , ,其中其中2x6,m2x6,m为常数为常数. .已知销售价格为已知销售价格为4 4元元/ /套时套时, ,每日可售出每日可售出套题套题2121千套千套. .(1)(1)求求m m的值的值. .(2)(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题题2 2元元( (只考虑销售出的套数只考虑销售出的套数),),试确定销售价格试确定销售价格x x的值的值, ,使网校每日销售套题所获得的利润最大使网校每日销售套题所
13、获得的利润最大.(.(保留保留1 1位小数位小数) )【解析解析】(1)(1)将将x=4,y=21x=4,y=21代入关系式可得代入关系式可得:21= +4:21= +4 m=10,m=10,(2)(2)依题意所获利润依题意所获利润f(x)=(f(x)=(x x2)2)y y= ,= ,化简可得化简可得: :f(x)=4xf(x)=4x3 3-56x-56x2 2+240x-278(+240x-278(2x6)2x0,f(x)0,即解不等式即解不等式( (3x3x10)(x10)(x6)6)0,0,因为因为2x6,2x6,所以解得所以解得x ,xtt2 2, ,所以救生员的选择是正确的所以救生
14、员的选择是正确的. .(2)(2)设设| |CDCD|=x,|=x,则则| |BCBC|= ,|= ,设所用时间为设所用时间为f(x),f(x),所以所以f(x)= ,f(x)= ,所以所以f(x)=-f(x)=-= ,= ,令令f(x)0,f(x)0,即解不等式即解不等式3x- 03x- 03x ,3x ,所以所以9x9x2 23003002 2+x+x2 2, ,所以所以x x2 2 , ,解得解得:x75 ,:x75 ,所以所以f(x)f(x)在在 单调递减单调递减, ,在在 单调递增单调递增, ,所以所以f =f =50+100 (f =f =50+100 (秒秒).).答答: :当当
15、| |CDCD|=75 |=75 时时, ,救生员所用的时间最短救生员所用的时间最短, ,为为50+100 50+100 秒秒. .直观想象直观想象函数的零点问题中的数学素养函数的零点问题中的数学素养 【相关链接相关链接】1.1.函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征, ,用用联系和变化的观点提取数学对象联系和变化的观点提取数学对象, ,抽象其数学特征抽象其数学特征, ,建建立各变量之间固有的函数关系立各变量之间固有的函数关系, ,通过函数形式通过函数形式, ,利用函利用函数的有关性质数的有关性质, ,使问题得到解决使问题得到解决. .2.2.方程
16、思想的实质就是将所求的量设成未知数方程思想的实质就是将所求的量设成未知数, ,用它表用它表示问题中的其他各量示问题中的其他各量, ,根据题中隐含的等量关系根据题中隐含的等量关系, ,列方列方程程( (组组),),通过解方程通过解方程( (组组) )或对方程或对方程( (组组) )进行研究进行研究, ,以求以求得问题的解决得问题的解决. .3.3.函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的, ,是相辅相成的是相辅相成的, ,函数思想重在对问题进行动态的研究函数思想重在对问题进行动态的研究, ,方程思想则是在动中求静方程思想则是在动中求静, ,研究运动
17、中的等量关系研究运动中的等量关系. .4.4.利用函数与方程思想能解决的函数零点问题的常见利用函数与方程思想能解决的函数零点问题的常见类型是类型是:(1):(1)判断零点个数判断零点个数.(2).(2)求零点所在区间求零点所在区间.(3).(3)求求参数值或范围问题参数值或范围问题. .【典例典例】(2018(2018济南一模济南一模) )已知函数已知函数f(x)f(x)是定义在是定义在R R上上的偶函数的偶函数, ,且且f(-x-1)=f(x-1),f(-x-1)=f(x-1),当当x-1,0x-1,0时时,f(x)=,f(x)=-x-x3 3, ,则关于则关于x x的方程的方程f(x)=|
18、cos x|f(x)=|cos x|在在 上的所有上的所有实数解之和为实数解之和为( () )A.-7A.-7B.-6B.-6C.-3C.-3D.-1D.-1【规范解答规范解答】选选A.A.因为函数因为函数f(x)f(x)为偶函数为偶函数, ,所以所以f(-x-1)f(-x-1)=f(x+1)=f(x-1),=f(x+1)=f(x-1),即即f(x)=f(x+2),f(x)=f(x+2),所以函数所以函数f(x)f(x)的周期的周期为为2,2,又当又当x-1,0x-1,0时时,f(x)=-x,f(x)=-x3 3, ,由此在同一平面直角由此在同一平面直角坐标系内作出函数坐标系内作出函数y=f(
19、x)y=f(x)与与y=|cos x|y=|cos x|的图象的图象, ,如图如图所示所示. .由图知关于由图知关于x x的方程的方程f(x)=|cos x|f(x)=|cos x|在在 上的实数上的实数解有解有7 7个个. .不妨设不妨设x x1 1xx2 2xx3 3xx4 4xx5 5xx6 6xx7 7, ,则由图则由图, ,得得x x1 1+x+x2 2=-4,x=-4,x3 3+x+x5 5=-2,x=-2,x4 4=-1,x=-1,x6 6+x+x7 7=0,=0,所以方程所以方程f(x)=|cos x|f(x)=|cos x|在在 上的所有实数解的和为上的所有实数解的和为-4-
20、2-1+0=-7.-4-2-1+0=-7.【通关题组通关题组】1.1.函数函数f(x)=mxf(x)=mx2 2-2x+1-2x+1有且仅有一个为正实数的零点有且仅有一个为正实数的零点, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是 ( () )A.(-,1A.(-,1B.(-,01B.(-,01C.(-,0)(0,1C.(-,0)(0,1D.(-,1)D.(-,1)【解析解析】选选B.B.当当m=0m=0时时,x= ,x= 为函数的零点为函数的零点; ;当当m0m0时时, ,若若=0,=0,即即m=1m=1时时,x=1,x=1是函数唯一的零点是函数唯一的零点, ,若若0,0,显然显然函数函数
21、x=0x=0不是函数的零点不是函数的零点, ,这样函数有且仅有一个正实这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程数零点等价于方程mxmx2 2-2x+1=0-2x+1=0有一个正根和一个负根有一个正根和一个负根, ,即即mf(0)0,mf(0)0,即即m0.m0.2.2.已知函数已知函数f(x)=f(x)= 若关于若关于x x的方程的方程f(x)=kf(x)=k有两个不同的实根有两个不同的实根, ,则实数则实数k k的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】f(x)f(x)的图象如图所示的图象如图所示, ,由图象可知若使由图象可知若使f(x)f(x)的的图象与图象与y=ky=k有两个不同交点有两个不同交点, ,则有则有0k1.0k1.答案答案: :(0,1)(0,1)
