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1、约束、自由度与广义坐标约束、自由度与广义坐标一、问题的提出一、问题的提出 物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系统自由系统与非自由系统非自由系统。 17世纪牛顿当时的经典力学所能解决的主要问题是属于自由质点或自由质点系动力学。 十八世纪产生了刚体动力学问题，也就是说提出了约束质点系的动力学问题。 今天大量工程实际问题作初步分析时，仍然可以将其作为非自由系统建模，并采用经典力学方法加以解决。 研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，自由度与广约束，自由度与广义坐标义坐标的概念。第十六章第十六章 虚位移原理虚位移原理虚位移原理：用功的方法求解静力学的问题。虚位移原理二、约束二、约束l1
2、1、约束概念、约束概念l约束约束就是限制物体任意运动的条件就是限制物体任意运动的条件。l不受约束可以任意运动的质点系称为不受约束可以任意运动的质点系称为自由质点系自由质点系，l于此相反，l受有约束而不能任意运动的质点系则称为受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点系非自由质点系。 l 虚位移原理2 2、约束的表示、约束的表示(1) (1) 坐标坐标 确定一个质点在空间的位置需要三个独立参数，这些参数或代表长度或代表角度，统称坐标坐标。(2)(2)位形位形 对于由n个质点组成的自由质点系，则需要3n个独立坐标，这3n个的坐标集合称为质点系的位形位形。 (3)(3)约束方程约束方程 约束可以
3、通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为约束方程约束方程。虚位移原理3 3、约束分类、约束分类(1)如果限制运动的条件是几何性质的，则称为如果限制运动的条件是几何性质的，则称为几何约束几何约束。 (2)如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为运运动约束动约束。(3)(3)当约束方程中都不包含时间当约束方程中都不包含时间t t时，这种约束称为时，这种约束称为定常约束定常约束。(4)(4)若约束方程中明显包含时间若约束方程中明显包含时间t t，这种约束就称为，这种约束就称为非定常约束非定常
4、约束。(5)约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各质点速约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各质点速度的投影）的约束，称为度的投影）的约束，称为完整约束完整约束。 (6)约束方程总是以微分形式表示约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的形式的不可能积分成有限的形式的约束称为约束称为非完整约束非完整约束。 (7)由于构成约束的形式不同，约束又可分为由于构成约束的形式不同，约束又可分为单面约束单面约束和和双面约双面约束束。 虚位移原理（1 1）几何约束与运动约束几何约束与运动约束几何约束xyOAzxyzM曲面上的质点：单摆:运动约束几何约束运动约束纯滚动的圆轮：虚位移原理（2
5、 2）定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常几何约束xyOAz单摆:非定常几何约束虚位移原理(3)完整约束完整约束与非完整约束非完整约束。 1.1.位移约束位移约束-全部几何约束全部几何约束完整约束完整约束: : 2. 2.运动约束可积分运动约束可积分-纯滚动的纯滚动的圆轮圆轮;非完整约束非完整约束: :运动约束不可积分运动约束不可积分-碰撞系碰撞系统统, ,摩擦系统等摩擦系统等. .虚位移原理单摆OA为刚性杆：xyOAzOA为柔绳：双面约束双面约束：在约束方程中用严格的等号表示的约束。单面约束单面约束：在约束方程含有不等号表示的约束。（4 4）单面约束与双面约束）单面约束与双面约束虚位
6、移原理n个质点组成的质点系，个质点组成的质点系，约束方程的一般形式约束方程的一般形式为：为：(r=1,s)约束方程的个数为：s单面约束方程的一般数学形式： 双面约束方程的一般数学形式：s为系统中的约束数目 s为系统中的约束数目 4 4、约束方程的一般形式、约束方程的一般形式虚位移原理5、应用实例、应用实例1.单面非完整约束应用实例-齿轮啮合2.单面非完整约束应用实例-摩擦系统3.单面几何约束应用实例-悬挂结构 虚位移原理约束方程:碰撞系统实例虚位移原理摩擦系统实例虚位移原理约束方程虚位移原理Villas车站大厅约束方程:虚位移原理三、广义坐标、自由度三、广义坐标、自由度自由度自由度：唯一确定质
7、点系空间位置的独立参变量个数平面质点平面质点:空间质点空间质点:广义坐标广义坐标：用以确定质点系位置的独立参变量 i=1,2, nn个质点，一般地：自由度为k，取广义坐标：1 1、基本概念、基本概念虚位移原理2、刚体的自由度、刚体的自由度 设刚体由n个质点组成，这个质点组成的不变系统可以设想由n个质点用很短很短的刚杆连成的空间不变形的刚性结构。 可以算出连接质点的刚杆数为： 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：自由度数为：虚位移原理3 3、自由刚体的广义坐标、自由刚体的广义坐标 基点的直角坐标 和欧拉角 或卡尔丹角（ ）组成的6个独立参变量就是自由刚体的广义坐标广义坐标。 它们被用于描述刚
8、体的位形位形 虚位移原理4 4、约束刚体的自由度与广义坐标、约束刚体的自由度与广义坐标 约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广义坐标数。刚体约束情况自由度广义坐标刚体上一轴被固定（定轴转动）1刚体上一点被固定（定点运动）3刚体被限制作平面平行运动（平面运动）3刚体被限制作平行移动（平移）3虚位移原理四四 实例实例3.3.约束方程约束方程1.1.刚体数目：刚体数目： 3;3;2.2.定轴转动刚体：定轴转动刚体： OA;OA;平面运动刚体：平面运动刚体：ABAB及轮及轮C;C;4. 自由度计算自由度计算自由度: k=3*3-7=2约束方程数: S=
9、75. 广义坐标广义坐标虚位移原理独立广义坐标自由度虚位移原理研究研究该平衡问题该平衡问题则可以计算力在则可以计算力在微小位移上的微小位移上的“功功”：平衡条件平衡条件：（a）图示杠杆平衡，求图示杠杆平衡，求F1与与F2关系关系假定系统运动了微小角度假定系统运动了微小角度则：则：虚位移原理F1与与F2在相应位移上的功之和：在相应位移上的功之和：条件条件（a）和条件（）和条件（b）是）是等价的等价的（b）力力平衡条件平衡条件虚位移原理虚位移原理（a）（b）猜想：猜想：力在力在微小位移微小位移中所作的中所作的功功来建立来建立虚位移虚位移虚功虚功虚位移原理虚位移原理虚位移原理 什么是虚位移什么是虚位
10、移由由 伯伯 努努 利利（Bornoulli，1717)提出的提出的由由 拉格朗日拉格朗日（Lagrange，1764)完善的完善的 虚位移原理是虚位移原理是静力学静力学的普遍原理，它给的普遍原理，它给出了质点系出了质点系平衡平衡的充分和必要条件。的充分和必要条件。用动力学方法建立受约束质点系用动力学方法建立受约束质点系平衡条件平衡条件虚位移原理虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 一、基本概念一、基本概念 虚位移：虚位移：质点系在给定瞬时为约束所容许约束所容许的任何微小的位移微小的位移M实位移实位移：在无限小时间间隔dt内,系统的真实运动所产生的位移所谓真实运动所谓真实运动, ,是指
11、既满足约束方程又满足运动微分方程和初始是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始条件的系统运动。因此条件的系统运动。因此, ,在任意时刻在任意时刻, ,系统的实位移是唯一的系统的实位移是唯一的, ,1 1、虚位移与实位移、虚位移与实位移虚位移不唯一虚位移可以是线位移，也可以是角位移虚位移原理（1 1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。 即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关。即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关。 （2 2）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关，）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关， 实位移是真实发生的位移，可以是微小
12、值，也可实位移是真实发生的位移，可以是微小值，也可 以是有限值，而且与时间有关。以是有限值，而且与时间有关。 2 2、虚位移与实位移的区别与联系、虚位移与实位移的区别与联系（4 4）在定常系统中，微小的实位移是虚位移之一）在定常系统中，微小的实位移是虚位移之一 ， 在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一。在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一。 （3 3）虚位移不唯一，而实位移是唯一的。）虚位移不唯一，而实位移是唯一的。虚位移原理AB标注标注B质点的真实位移、虚位移质点的真实位移、虚位移B虚虚位位移移特特点点 （2 2）虚位移是约束允许的微小位移，）虚位移是约束允许的微小位移，
13、与时间无关与时间无关；（1 1）虚位移不是任何随便的位移，它必须为）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许的微小位移约束所允许的微小位移；（3 3）在）在完整定常约束完整定常约束下，虚位移方向沿其真实下，虚位移方向沿其真实速度方向速度方向。（4 4）虚位移可能有）虚位移可能有多组多组虚位移：虚位移：几何概念，仅依赖于约束条件几何概念，仅依赖于约束条件虚位移原理二、虚位移的分析方法二、虚位移的分析方法 1 1、几何法、几何法 （虚速度法）自由度： k322211 在同一时刻（位置），各点之间的虚位移的关系等同于各点之间的虚速度的关系。适用于待分析点的适用于待分析点的“速度速度”易于分析的情
14、易于分析的情况况虚位移原理2. 解析法解析法 2 2y yx xO OA A( (x x1 1, , y y1 1) )B B( (x x2 2, , y y2 2) )ab 1 1直角坐标原点选在固定点直角坐标原点选在固定点O，则则A、B两点虚位移在两点虚位移在x、y方向的投影：方向的投影：适用于完整、定常、双面约束适用于完整、定常、双面约束例：例：求求A和和B两点的虚位移两点的虚位移注意：注意：原点必须选在固定点；原点必须选在固定点；体系必须处于一般的位置体系必须处于一般的位置自由度：自由度：2 2选选 1、 2为系统的广义坐标，为系统的广义坐标，A、B坐标可表示为：坐标可表示为：虚位移原
15、理问题：问题：系统独立的虚位移数目是多少？系统独立的虚位移数目是多少？(i=1,2,N) 若若体体系系自自由由度度为为k，则则选选k个个广广义义坐坐标标qi，任任一一质质点点的的定定位位矢矢量量r可表示成可表示成k个广义坐标的函数：个广义坐标的函数： 写成投影：写成投影：用类似求微分的方法求虚位移的投影：用类似求微分的方法求虚位移的投影：虚位移原理虚位移原理虚位移原理 一、虚功一、虚功理想约束反力的虚功：理想约束反力的虚功： 约束反力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零。 (a) 即约束处无虚位移，如固定端约束，铰支座等；(b) 即约束力与虚位移相垂直，如光滑接触面约束等； (c) 即约束
16、点上约束力的合力为零，如铰链连接； (d) 即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆。 作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功。作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功。主动力的虚功：主动力的虚功：计算方法与力的元功计算一样。 虚位移原理二、虚位移原理（虚功原理）二、虚位移原理（虚功原理） 具具有有双双侧侧、定定常常、理理想想约约束束的的质质点点系系，在在给给定定位位置置平平衡衡的的充充要要条条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。解析式解析式证明：证明： （1 1）必要性）必要性 命题：如质点系平衡，则上式成
17、立。命题：如质点系平衡，则上式成立。 虚位移原理假设等式成立但质点系不平衡假设等式成立但质点系不平衡dri也为虚位移也为虚位移ri因因故有故有结果与假设的条件相矛盾。所以，质点系不可能进入运动，而必定成平衡。结果与假设的条件相矛盾。所以，质点系不可能进入运动，而必定成平衡。 质点开始运动质点开始运动运动质点运动质点Mi有合力有合力FRi ( Fi FNi)产生同方向的产生同方向的微小实位移微小实位移dri完整、双面、定常约束完整、双面、定常约束 主动力的虚功之和为零则系统平衡主动力的虚功之和为零则系统平衡（2 2）充分性）充分性 命题：上式成立，则质点系平衡。命题：上式成立，则质点系平衡。 虚
18、位移原理例：例：已知已知 OA=L，求系求系统在图示位置平衡时，统在图示位置平衡时，力偶矩力偶矩M与力与力F的关系的关系（不计摩擦）（不计摩擦）ABO基本步骤：基本步骤：1.确定系统是否满足原理的应用条件确定系统是否满足原理的应用条件2.分析主动力作用点的虚位移分析主动力作用点的虚位移3.求主动力的虚功之和求主动力的虚功之和 虚位移原理ABO解：解：虚位移原理例例: : 已知各杆长为已知各杆长为L L，重为重为W W ，求维持平衡所需力求维持平衡所需力F F 的大小的大小? ?解：解：不不计计摩摩擦擦自由度：1选为广义坐标虚位移原理变形体的虚位移原理变形体的虚位移原理变形体的虚位移原理：变形体
19、的虚位移原理：具有双面、定常、完整、理想约束具有双面、定常、完整、理想约束处于静止的质点系处于静止的质点系,在给定位置处于平衡的充分必要条件是，在给定位置处于平衡的充分必要条件是，其所有其所有外力和内力外力和内力在该位置任意给定的虚位移上所作的虚在该位置任意给定的虚位移上所作的虚功之和等于零。功之和等于零。建立图示体系的虚位移原理的方程建立图示体系的虚位移原理的方程不同点：不同点：内力做功内力做功虚位移原理例：例：机构如图所示，不计构件自重机构如图所示，不计构件自重. 已知已知 AB = BC = l, BD = BE = b，弹簧刚度为弹簧刚度为k，当，当 AC = a 时，弹簧无变形。设在滑块上作用一时，弹簧无变形。设在滑块上作用一水平力水平力F，求该机构处于平衡时，求该机构处于平衡时，A和和C间的距离（间的距离（x=？）ABCDE内力虚功内力虚功：外力虚功外力虚功：ABCDE解：体系自由度：解：体系自由度：选广义坐标：选广义坐标：虚位移原理ABCDE内力虚功内力虚功：外力虚功外力虚功：虚位移原理
