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1、曲线和曲面曲线和曲面 *第七章第七章 曲线和曲面曲线和曲面引言引言7.17.1曲线曲面基础知识曲线曲面基础知识7.27.2三次样条三次样条7.37.3几种典型的曲线曲面介绍几种典型的曲线曲面介绍7.47.4曲线曲面的转换和计算曲线曲面的转换和计算曲线和曲面曲线和曲面 *引言引言问题的提出问题的提出: : 如何根据已知的一系列离散点来构造出一如何根据已知的一系列离散点来构造出一条光滑的曲线或一个光滑的曲面条光滑的曲线或一个光滑的曲面?(?(举例举例) ) 初等几何平面初等几何平面: :平面、圆柱面、球面平面、圆柱面、球面 自由变化的曲线和曲面：飞机、汽车的外形自由变化的曲线和曲面：飞机、汽车的外
2、形n对复杂方式表示的自由曲线曲面的表示对复杂方式表示的自由曲线曲面的表示: :n传统方法传统方法: : 模线样板法表示，以模拟量传递形状信模线样板法表示，以模拟量传递形状信息息nCAGD(CAGD(计算机辅助几何设计计算机辅助几何设计): ): 用数学方法表示，以数用数学方法表示，以数值量传递形状信息（美国犹他大学，值量传递形状信息（美国犹他大学，19741974）曲线和曲面曲线和曲面 *7.1 7.1 曲线曲面基础曲线曲面基础7.1.1 7.1.1 曲线曲面数学描述的发展曲线曲面数学描述的发展7.1.2 7.1.2 曲线曲面的表示要求曲线曲面的表示要求7.1.3 7.1.3 曲线曲面的表示曲
3、线曲面的表示7.1.4 7.1.4 插值和逼近样条插值和逼近样条7.1.5 7.1.5 连续性条件连续性条件7.1.6 7.1.6 样条的描述样条的描述曲线和曲面曲线和曲面 *7.1.1 7.1.1 曲线曲面数学描述的发展曲线曲面数学描述的发展美国波音公司弗格森双三次曲面片美国波音公司弗格森双三次曲面片, ,引入参数法表引入参数法表示自由区面的标准形式（参数矢量方法）示自由区面的标准形式（参数矢量方法）MITMIT孔斯双三次曲面片具有一般性，给定四条边界孔斯双三次曲面片具有一般性，给定四条边界可定义一块去面片可定义一块去面片舍恩伯格（舍恩伯格（19641964）的样条函数解决连接问题，通过）的
4、样条函数解决连接问题，通过曲线、曲面插值构造整体曲线、曲面插值构造整体BezierBezier方法：以逼近为基础，有控制多边形定义曲方法：以逼近为基础，有控制多边形定义曲线、曲面。线、曲面。B B样条方法：解决局部控制样条方法：解决局部控制有理有理BezierBezier非均匀有理非均匀有理B B样条方法样条方法曲线和曲面曲线和曲面 *7.1.2 7.1.2 曲线曲面的表示要求曲线曲面的表示要求1.1.唯一性唯一性2.2.几何不变性几何不变性3.3.易于定界易于定界4.4.统一性统一性5.5.易于实现光滑连接易于实现光滑连接6.6.几何直观几何直观曲线和曲面曲线和曲面 *7.1.3 7.1.3
5、 曲线曲面的表示曲线曲面的表示n曲线和曲面的表示分为曲线和曲面的表示分为: :n非参数形式非参数形式(y=kx+b,f(x,y)(y=kx+b,f(x,y)n参数形式参数形式p(t)=(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)t0,1 n参数表示相对非参数表示的优越性参数表示相对非参数表示的优越性: :1 1点动成线点动成线2 2选取具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式。选取具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式。3 3避免了斜率无穷大的问题避免了斜率无穷大的问题4 4t0,1 t0,1 ，使其相应的几何分量是有界的，使其相应的几何分量是有界的5 5可对参数方程直接进行仿射和投影变换可对参数
6、方程直接进行仿射和投影变换6 6参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来曲线和曲面曲线和曲面 *7.1.4 7.1.4 插值和逼近样条插值和逼近样条采用模线样板法表示和传递自由曲线曲采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状称为面的形状称为样条样条。样条曲线是指由多项式曲线段连接而成样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连的曲线，在每段的边界处满足特定的连续条件。续条件。样条曲面则可以用两组正交样条曲线来样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。描述。曲线和曲面曲线和曲面 *曲曲线线曲曲面面的的拟拟合合：当当用用一一组组型型
7、值值点点来来指指定定曲曲线线曲曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。曲线和曲面曲线和曲面 *曲曲线线曲曲面面的的逼逼近近：当当用用一一组组控控制制点点来来指指定定曲曲线线曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点列曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点列曲线和曲面曲线和曲面 *7.1.5 7.1.5 连续性条件连续性条件假定参数曲线段假定参数曲线段p pi i以参数形式进行描述：以参数形式进行描述：曲线段相连包括两种意义上的连续性曲线段相连包括两种意义上的连续性: :参数连续性参数连续性几何连续性几何连续性曲线和曲面曲线和曲面 *参数连续性参数连续性0
8、0阶参数连续性阶参数连续性: :记作记作C C0 0连续性，是指曲线的几何位置连接，连续性，是指曲线的几何位置连接，即即n1 1阶阶参参数数连连续续性性: :记记作作C C1 1连连续续性性，指指代代表表两两个个相相邻邻曲曲线线段段的的方程在相交点处有相同的一阶导数：方程在相交点处有相同的一阶导数：n2 2阶阶参参数数连连续续性性: :记记作作C C2 2连连续续性性，指指两两个个相相邻邻曲曲线线段段的的方方程程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。（举例在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。（举例 P218P218）曲线和曲面曲线和曲面 *几何连续性几何连续性0 0阶几何连续性，记作阶几何连续性
9、，记作G G0 0连续性，与连续性，与0 0阶参数连阶参数连续性的定义相同，满足：续性的定义相同，满足：n1 1阶阶几几何何连连续续性性，记记作作G G1 1连连续续性性，指指一一阶阶导导数数在在相邻段的交点处成比例相邻段的交点处成比例n2 2阶阶几几何何连连续续性性，记记作作G G2 2连连续续性性，指指相相邻邻曲曲线线段段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。在交点处其一阶和二阶导数均成比例。曲线和曲面曲线和曲面 *7.1.6 7.1.6 样条描述样条描述n n次样条参数多项式曲线的方程次样条参数多项式曲线的方程: :( (计算机图形学中多采用多项式计算机图形学中多采用多项式) )曲线和曲面曲
10、线和曲面 *基矩阵基矩阵: Ms: Ms几何约束条件几何约束条件: G: G基函数基函数(blenging function)(blenging function)，或称混合函数混合函数。曲线和曲面曲线和曲面 *7.2 7.2 三次样条三次样条在此在此, ,介绍两种三次样条介绍两种三次样条: :自然三次样条自然三次样条三次三次HermiteHermite样条样条给定给定n+1n+1个点，可得到通过各个点的分段三次多项式曲线：个点，可得到通过各个点的分段三次多项式曲线： 曲线和曲面曲线和曲面 *7.2.1 7.2.1 自然三次样条自然三次样条n定定义义：给给定定n+1n+1个个型型值值点点，现现
11、通通过过这这些些点点列列构构造造一一条条自自然然三三次次参参数数样样条条曲曲线线，要要求求在在所所有有曲曲线线段段的的公公共共连连接接处处均均具具有有位位置置、一一阶阶和和二二阶阶导导数数的的连连续续性性，即即自然三次样条具有自然三次样条具有C C2 2连续性。连续性。n特点特点: :n只适用于型值点分布比较均匀的场合只适用于型值点分布比较均匀的场合n不能不能“局部控制局部控制” 曲线和曲面曲线和曲面 *7.2.2 7.2.2 三次三次HermiteHermite样条样条定定 义义 ： 假假 定定 型型 值值 点点 P Pk k和和 P Pk+1k+1之之 间间 的的 曲曲 线线 段段 为为p
12、(t),t0,1p(t),t0,1，给给定定矢矢量量P Pk k、P Pk+1k+1、R Rk k和和R Rk+1k+1，则则满满足足下下列列条条件件的的三三次次参参数数曲曲线线为为三三次次HermiteHermite样样条条曲线：曲线：曲线和曲面曲线和曲面 *7.3 7.3 几种典型的曲线曲面介绍几种典型的曲线曲面介绍Bezier Bezier 曲线曲面曲线曲面B B样条曲线曲面样条曲线曲面有理样条曲线曲面有理样条曲线曲面(NURBS)(NURBS)曲线和曲面曲线和曲面 *7.3.1 Bezier7.3.1 Bezier曲线的定义曲线的定义BezierBezier曲线是参数多项式曲线，它由一
13、组控制多曲线是参数多项式曲线，它由一组控制多边形折线的顶点唯一地定义。如下图所示，在各边形折线的顶点唯一地定义。如下图所示，在各个控制多边形的顶点中，只有第一个和最后一个个控制多边形的顶点中，只有第一个和最后一个在曲线上，其它的用来定义曲线的导数、阶次和在曲线上，其它的用来定义曲线的导数、阶次和形状。形状。曲线和曲面曲线和曲面 *BezierBezier曲线的参数方程表示如下曲线的参数方程表示如下：BernsteinBernstein基函数基函数具有如下形式：其中，其中，P Pk k(x(xk k,y,yk k,z,zk k), k=0,1), k=0,1n n是控制多边形的是控制多边形的n
14、n1 1个顶点个顶点 BEN(t)BEN(t)是是BernsteinBernstein基函数；基函数；曲线和曲面曲线和曲面 *一次一次一次一次BezierBezierBezierBezier曲线曲线曲线曲线( ( ( (n=1n=1) ) ) )可见，一次可见，一次BezierBezier曲线是连接两个控制点的直线段曲线是连接两个控制点的直线段二次二次二次二次BezierBezierBezierBezier曲线曲线曲线曲线(n=2,P0,P1,P2 (n=2,P0,P1,P2 (n=2,P0,P1,P2 (n=2,P0,P1,P2 二次多项式，抛物二次多项式，抛物二次多项式，抛物二次多项式，抛
15、物线）线）线）线）曲线和曲面曲线和曲面 *3 3 3 3三次三次三次三次BezierBezierBezierBezier曲线曲线曲线曲线(n=3)(n=3)(n=3)(n=3)其中，其中，曲线和曲面曲线和曲面 *任何三次任何三次BezierBezier曲线都是由这曲线都是由这条曲线的线性组条曲线的线性组合而成合而成曲线和曲面曲线和曲面 *BezierBezier曲线的生成曲线的生成绘制一段绘制一段BezierBezier曲线曲线BezierBezier曲线的拼接曲线的拼接由于高次由于高次BezierBezier曲线设计较复杂，所以工程上常曲线设计较复杂，所以工程上常使用分段三次使用分段三次Be
16、zierBezier样条曲线来描述，也就是将样条曲线来描述，也就是将一段段的三次一段段的三次BezierBezier曲线首尾相连拼接起来。曲线首尾相连拼接起来。n关键：保证连接处具有关键：保证连接处具有G G1 1和和G G2 2连续性连续性曲线和曲面曲线和曲面 *7.3.4 Bezier7.3.4 Bezier曲面曲面1 1BezierBezier曲面定义曲面定义利用两组正交的利用两组正交的BezierBezier曲线可生成曲线可生成BezierBezier曲面曲面BENi,m(u)BENi,m(u)与与BENj,n(v)BENj,n(v)是是BernsteinBernstein基函数：基函
17、数： 曲线和曲面曲线和曲面 *控制网格：所有的控制顶点构成的空间的一张网格称为控制网格：所有的控制顶点构成的空间的一张网格称为控制网格或控制网格或BezierBezier网格网格曲线和曲面曲线和曲面 *样条曲线曲面B B样条曲线与样条曲线与BezierBezier曲线比较曲线比较BezierBezier曲线的不足：曲线的不足：1 1 控制多边形的顶点数决定了控制多边形的顶点数决定了BezierBezier曲线的阶次曲线的阶次2 Bezier2 Bezier曲线不能作局部修改曲线不能作局部修改( (改变一个控制点，改变一个控制点，对整条曲线都有影响对整条曲线都有影响) )nB B样条曲线保留了样
18、条曲线保留了BezierBezier曲线的优点，并克服了曲线的优点，并克服了其不具备局部性质的缺点。其不具备局部性质的缺点。曲线和曲面曲线和曲面 *B样条曲线的定义B样条曲线的数学表达式： Pk为n+1个控制点，又称为de Boor点 B k,m(t)是B样条基函数 ,其表达式见下页曲线和曲面曲线和曲面 *参数说明参数说明m是曲线的阶数(m-1)为B样条曲线的次数曲线在连接点处具有(m-2)阶连续B样条基函数的表达式：样条基函数的表达式：曲线和曲面曲线和曲面 *B样条曲线的特点对对于于由由任任意意数数目目的的控控制制点点构构造造的的二二次次周周期期性性B样样条条曲曲线线来来说说，曲曲线线的的起
19、起始始点点位位于于头头两两个个控控制制点点之之间间，终终止止点点位于最后两个控制点之间。位于最后两个控制点之间。对对于于高高次次多多项项式式，起起点点和和终终点点是是m-1个个控控制制点点的的加加权权平平均均值值点点。若若某某一一控控制制点点出出现现多多次次，样样条条曲曲线线会会更更加加接接近该点。近该点。曲线和曲面曲线和曲面 *B样条曲面B样条曲面是B样条曲线的二维拓广，其数学表达式如下：曲线和曲面曲线和曲面 *有理样条曲线曲面有理样条（Rational Spline）又被人们习惯称为非均匀有理B样条（Nonuniform Rational B-Spline），简称NURBS.NURBS是两
20、个样条参数多项式之比。这种方法既能描述自由型曲面又能精确表示二次曲线与曲面的有理参数多项式。曲线和曲面曲线和曲面 *NURBS曲线曲面定义NURBS曲线的数学表达式：NURBS曲面的数学表达式：曲线和曲面曲线和曲面 *曲线曲面的转换和计算曲线曲面的转换和计算 样条曲线曲面的转换样条曲线曲面的转换 样条曲线曲面的离散生成样条曲线曲面的离散生成曲线和曲面曲线和曲面 *样条曲线曲面的转换虽然Hermite样条 Bezier曲线和B样条曲线都是多项式曲线,但适用于不同的场合,那么如何从一种样条表示形式转换到另一种样条表示形式?假设已知一种样条的表示形式为: 现在要变换为另一种表现形式:曲线和曲面曲线和
21、曲面 *我们需要算出几何约束矩阵我们需要算出几何约束矩阵G G2 2: :所以有所以有, ,其中其中,M1,2,M1,2为从第一个样条形式转换到第二个样条形式为从第一个样条形式转换到第二个样条形式的变换矩阵的变换矩阵, ,为常数为常数. .曲线和曲面曲线和曲面 *样条曲线曲面的离散生成样条曲线曲面的离散生成为了显示一个样条曲线或曲面为了显示一个样条曲线或曲面, ,必须确定曲线必须确定曲线或曲面上的离散点坐标或曲面上的离散点坐标, ,即须在函数值域内按即须在函数值域内按参数的某个增量求出对应的函数的离散值参数的某个增量求出对应的函数的离散值. .常用的方法常用的方法: :1 1HornerHor
22、ner规则规则2 2向前差分计算向前差分计算3 3细分细分曲线和曲面曲线和曲面 *Horner规则nHornerHorner规则是最简单和最直观的规则规则是最简单和最直观的规则nHornerHorner规则的基本思想规则的基本思想: : 将样条的参数多项式分解将样条的参数多项式分解, ,利用分解因子的利用分解因子的方法来求多项式的值方法来求多项式的值, ,将运算转换为加法和乘将运算转换为加法和乘法运算法运算. .曲线和曲面曲线和曲面 *向前差分计算向前差分计算向前差分计算是求多项式函数值的最快向前差分计算是求多项式函数值的最快的方法的方法基本思想基本思想: : 利用前次计算出的函数值以及当前的
23、利用前次计算出的函数值以及当前的函数增量来求出当前的函数值函数增量来求出当前的函数值. .曲线和曲面曲线和曲面 *细分细分在某些应用中在某些应用中, ,只能获得少量的控制顶点只能获得少量的控制顶点, ,为了能为了能够得到精确控制的自由曲线够得到精确控制的自由曲线, ,常采用细分的方法常采用细分的方法. .细分的思想细分的思想: : 首先从少量的控制顶点设计曲线形状首先从少量的控制顶点设计曲线形状, ,然后用然后用细分过程得到附加的控制点细分过程得到附加的控制点, ,利用这些附加的控利用这些附加的控制点制点, ,可以对曲线的某些小段做精确的调整可以对曲线的某些小段做精确的调整. .重复重复细分过程可以得到控制多边形逼近曲线路径细分过程可以得到控制多边形逼近曲线路径, ,使使某些控制顶点的位置与曲线位置重合某些控制顶点的位置与曲线位置重合. .曲线和曲面曲线和曲面 *细分实例
