数字电子技术：第2章 逻辑代数

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1、EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT概述概述第第 2 章逻辑代数章逻辑代数逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则逻辑函数的逻辑函数的代数化简法代数化简法逻辑函数的逻辑函数的卡诺图化简法卡诺图化简法本章小结本章小结EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT主要要求：主要要求： 理解理解逻辑值 1 和和 0 的含的含义。2.1 逻辑代数逻辑代数理解理解逻辑体制的含体制的含义。EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT 用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数 ( (Boole Algebra) )或开关代数。或开关代数。逻辑指

2、事物因果关系的规律。逻辑指事物因果关系的规律。 逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数，变量称逻辑变量。称逻辑函数，变量称逻辑变量。逻逻辑辑变变量量和和逻逻辑辑函函数数的的取取值值都都只只有有两两个个，通常用通常用 1和和 0 表示。表示。 与普通代数比较与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。 相似处相似处 相异处相异处运算规律有很多不同。运算规律有很多不同。 一、一、逻辑代数逻辑代数EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT逻辑代数中的逻辑代数中的 1 和和 0 不

3、表示数量大小，不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。仅表示两种相反的状态。 注意注意例如：开关闭合为例如：开关闭合为 1 晶体管导通为晶体管导通为 1 电位高为电位高为 1 断开为断开为 0 截止为截止为 0 低为低为 0二、逻辑体制二、逻辑体制 正逻辑体制正逻辑体制 负逻辑体制负逻辑体制 规定高电平为逻辑规定高电平为逻辑 1、低电平为逻辑、低电平为逻辑 0 规定低电平为逻辑规定低电平为逻辑 1、高电平为逻辑、高电平为逻辑 0 通常未加说明，则为正逻辑体制通常未加说明，则为正逻辑体制EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT2.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式 主要要

4、求：主要要求： 掌握逻辑代数的掌握逻辑代数的基本公式和基本定律基本公式和基本定律。 了解逻辑代数的重要规则了解逻辑代数的重要规则。EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT一、基本公式一、基本公式 逻辑常量运算公式逻辑常量运算公式 逻辑变量与常量的运算公式逻辑变量与常量的运算公式 0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 1 律律重迭律重迭律 互补律互补律 还原律还原律 0 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0A + A = A A A = A EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础

5、EXIT二、基本定律二、基本定律 ( (一一) ) 与普通代数相似的定律与普通代数相似的定律 交换律交换律 A + B = B + A A B = B A结合律结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！普通代数没有！ 利用真值表利用真值表 逻辑等式的逻辑等式的证明方法证明方法 利用基本公式和基本定律利用基本公式和基本定律EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT111111111100 例例 证明等式证明等式 A + BC =

6、 (A + B) (A + C)解：解： 真值表法真值表法公式法公式法右式右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展开用分配律展开 = AA + AC + BA+ BC= A + AC + AB + BC= A (1 + C + B) + BC= A 1 +BC= A + BC0000A B C A + BC (A + B) (A + C)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT ( (二二) ) 逻辑代数的特殊定理逻辑代数的特殊定理 吸收律吸收律 A + AB = A A + AB = A (1 +

7、B) = A EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT001 1111 0110 1110 0A+BA BA B001 1001 0000 1110 0A BA+BA B ( (二二) ) 逻辑代数的特殊定理逻辑代数的特殊定理 吸收律吸收律 A + AB = A 推广公式：推广公式： 思考：思考：( (1) ) 若已知若已知 A + B = A + C，则则 B = C 吗？吗？ ( (2) ) 若已知若已知 AB = AC，则则 B = C 吗？吗？ 推广公式：推广公式：摩根定律摩根定律 ( (又称反演律又称反演律) ) EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT ( (一一) ) 代入规

8、则代入规则 A A A A均用均用 代替代替A均用均用 代替代替B均用均用C代替代替利用代入规则能扩展基本定律的应用。利用代入规则能扩展基本定律的应用。 将逻辑等式两边的某一变量均用同一将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。个逻辑函数替代，等式仍然成立。2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT变换时注意：变换时注意：( (1) ) 不能改变原来的运算顺序。不能改变原来的运算顺序。( (2) ) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变。号保持不变。 可见，求逻辑函数的反

9、函数有两种方法：可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律。利用反演规则或摩根定律。 原运算次序为原运算次序为 ( (二二) ) 反演规则反演规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将将“”换成换成“+ +”，“+”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，原变量换成反变量，反变量，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT ( (三三) ) 对偶规则对偶规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将将“”换成换成“+ +”，“+ +”换成换成“”，“0

10、”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，则得到原逻，则得到原逻辑函数式的对偶式辑函数式的对偶式 Y 。 对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。 变换时注意：变换时注意：( (1) ) 变量不改变变量不改变 ( (2) ) 不能改变原来的运算顺序不能改变原来的运算顺序A + AB = A A (A + B) = A EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT主要要求：主要要求： 了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。 了解逻辑函

11、数的了解逻辑函数的代数化简法代数化简法。2.1.3 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 理解理解最简与最简与 - - 或式和最简与非式或式和最简与非式的标准。的标准。 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT 逻辑式有多种形式，采用何种形式视逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。需要而定。各种形式间可以相互变换。 一、一、逻辑函数式的几种常见形式和变换逻辑函数式的几种常见形式和变换 例如例如 与或表达式与或表达式 或与表达式或与表达式 与非与非 - - 与非表达式与非表达式 或非或非 - - 或非表达式或非表达式 与或非表达式与或非表达式 转换方法举例转换方

12、法举例 与或式与或式 与非式与非式 用还原律用还原律 用摩根定律用摩根定律 或与式或与式 或非式或非式 与或非式与或非式 用还原律用还原律 用摩根定律用摩根定律 用摩根定律用摩根定律 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT二、逻辑函数式化简的意义与标准二、逻辑函数式化简的意义与标准 化化简简意意义义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。高系统可靠性。 不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与最简与 - -

13、或式，然后通过变换得到所需最简式。或式，然后通过变换得到所需最简式。 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT最简与最简与 - - 或式标准或式标准 ( (1) )乘积项乘积项( (即与项即与项) )的个数最少的个数最少( (2) )每个乘积项中的变量数最少每个乘积项中的变量数最少 用与门个数最少用与门个数最少与门的输入端数最少与门的输入端数最少 最简与非式标准最简与非式标准( (1) )非号个数最少非号个数最少( (2) )每个非号中的变量数最少每个非号中的变量数最少 用与非门个数最少用与非门个数最少与非门的输入端数最少与非门的输入端数最少 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT三、代

14、数化简法三、代数化简法 运用逻辑代数的基本定律和运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。公式对逻辑式进行化简。 并项法并项法 运用运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。将两项合并为一项，并消去一个变量。 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT吸收法吸收法 运用运用A+AB =A 和和 ，消去多余的与项。消去多余的与项。 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT消去法消去法 运用吸收律运用吸收律 ，消去多余因子。，消去多余因子。EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT配项法配项法 通过乘通过乘 或加入零项或加入零项 进行配项，然后再化简。进行配项，然后再化简。EXIT 逻辑代数

15、基础逻辑代数基础EXIT综合灵活运用上述方法综合灵活运用上述方法 例例 化简逻辑式化简逻辑式解：解： 应用应用 例例 化简逻辑式化简逻辑式解：解： 应用应用应用应用 ABEXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT 例例 化简逻辑式化简逻辑式解：解： 应用应用用摩根定律用摩根定律EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT主要要求：主要要求： 掌握掌握最小项的概念与编号最小项的概念与编号方法，了解其主要性质。方法，了解其主要性质。掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。 理解理解卡诺图的意义和卡诺图的意义和构成原则。构成原则。 掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法

16、中掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。的应用。 2.2逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT代数代数化简法化简法 优点：对变量个数没有限制。优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。 卡诺图卡诺图化简法化简法 优点：简单、直观，有一定的步骤和方法优点：简单、直观，有一定的步骤和方法 易判断结果是否最简。易判断结果是否最简。 缺点：适合变量个数较少的情况。缺点：适合变量个数较少的情况。 一般用于四变量以下函数的化简。一般用于四变量以下函数的化简。 一、代数化简法与卡诺图化简法的特点一、代数

17、化简法与卡诺图化简法的特点EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT卡诺图是最小项按一定卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图规则排列成的方格图。 n 个变量有个变量有 2n 种组合，可对应写出种组合，可对应写出 2n 个乘积个乘积项，这些乘积项均具有下列项，这些乘积项均具有下列特点：特点：包含全部变量，包含全部变量，且每个变量在该乘积项中且每个变量在该乘积项中 ( (以原变量或反变量以原变量或反变量) )只只出现一次。出现一次。这样的乘积项称为这这样的乘积项称为这 n 个变量的最小个变量的最小项，也称为项，也称为 n 变量逻辑函数的最小项。变量逻辑函数的最小项。1. 最小项的定义和编号最小项

18、的定义和编号 ( (一一) )最小项的概念与性质最小项的概念与性质二、最小项与卡诺图二、最小项与卡诺图EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT如何编号如何编号？如何根据输入变量如何根据输入变量组组合写出相应最小项合写出相应最小项？例如例如 3 变量逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个个 将输入将输入变量取值为变量取值为 1 的代以原变的代以原变量，取值为量，取值为 0 的代以反变的代以反变量，则得相量，则得相应最小项。应最小项。 简记符号简记符号例如例如 1015m5m44100ABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小项

19、最小项A B Cm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应输入组合对应的十进制数的十进制数76543210EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT2. 最小项的基本性质最小项的基本性质 ( (1) ) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为 1， 而其余各种变量取值均使其值为而其余各种变量取值均使其值为 0。三三变变量量最最小小项项表表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 110000000

20、10 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C( (2) ) 不同的最小项，使其值为不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同。的那组变量取值也不同。( (3) ) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0。( (4) ) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1。 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT 例如例如ABC+ABC=AB3. 相邻最小项相邻最小项 两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻

21、项。均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。 例如例如 三变量最小项三变量最小项 ABC 和和 ABC 相邻最小项相邻最小项重要特点重要特点： 两个相邻最小项相加可合并为一项，两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化简为相同变量相与。消去互反变量，化简为相同变量相与。 ( (二二) ) 最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图表示 将将 n 变量的变量的 2n 个最小项用个最小项用 2n 个小方格表示，个小方格表示，并且并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为这样排列得到的方格图称为 n 变量最小项卡诺图，变量最小项卡诺图，简

22、称为变量卡诺图。简称为变量卡诺图。EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量AB二二变变量量卡卡诺诺图图010 10 00 11 01 10 00 1AB010 1m0m1m2m3 0 1 2 3ABAAB BABABABAB四四变变量量卡卡诺诺图图 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10三三变变量量卡卡诺诺图图ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1 6 7 5 4 2 3 1 0ABCD0001111000 01 11 10 以

23、循环码排列以保证相邻性以循环码排列以保证相邻性EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD相邻项相邻项在在几何位置几何位置上也相邻上也相邻卡诺图特点：卡诺图特点：循环相邻性循环相邻性同一列最同一列最上与最下上与最下方格相邻方格相邻同一行最同一行最左与最右左与最右方格相邻方格相邻EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT如何写出卡诺图方格对应的最小项？如何写出卡诺图方格对应的最小项？ 已知最小

24、项如何找相应小方格？已知最小项如何找相应小方格？ 例如例如 原原变量取变量取 1，反变量取，反变量取 0。1001 ？ABCD0001111000 01 11 10 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT 为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要先求得真值表或者标准与先求得真值表或者标准与 - - 或式或者与或式或者与 - - 或或表达式。因此，下面先介绍标准与表达式。因此，下面先介绍标准与 - - 或式。或式。任何形式的逻辑式都可以转化为标准任何形式的逻辑式都可以转化为标准与与- -或式，而且逻辑函数的标准与或式，而且逻辑函数的标准与 - - 或式或式是唯一的

25、。是唯一的。 ( (一一) ) 逻辑函数的标准与逻辑函数的标准与 - - 或式或式 三、用卡诺图表示逻辑函数三、用卡诺图表示逻辑函数每一个与项都是最小项的与每一个与项都是最小项的与 - - 或逻辑式或逻辑式称为标准与称为标准与 - - 或式，又称最小项表达式。或式，又称最小项表达式。 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT如何将如何将逻辑逻辑式转化式转化为为 标准与标准与- -或式呢或式呢 ？ 例例 将逻辑式将逻辑式 化为标准与或式。化为标准与或式。( (3) ) 利用利用A+A=A，合并掉相同的最小项。合并掉相同的最小项。0000m00001m11100m121101m131111m15

26、= m0 + m1 + m12 + m13 + m15=m (0,1,12,13,15)解：解：( (1) ) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。AB+ +( (2) ) 利用配项法化为标准与或式。利用配项法化为标准与或式。EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT( (二二) ) 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 ( (1) ) 求逻辑函数真值表或者标准与求逻辑函数真值表或者标准与 - - 或式或者与或式或者与 - - 或式。或式。 ( (2) ) 画出变量卡诺图。画出变量卡诺图。 ( (3) ) 根据真值表或标准与根据真值表

27、或标准与 - - 或式或与或式或与 - - 或式填图。或式填图。 基基本本步步骤骤用卡诺图表示逻辑函数举例用卡诺图表示逻辑函数举例 已知已知标准标准与或与或式画式画函数函数卡诺卡诺图图 例例 试试画出函数画出函数 Y = m (0,1,12,13,15) 的卡诺的卡诺图图解：解： ( (1) ) 画出四变量卡诺图画出四变量卡诺图( (2) ) 填图填图 逻辑式中的最逻辑式中的最小项小项 m0、m1、m12、m13、m15对对应的方格填应的方格填 1，其，其余不填。余不填。ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10

28、1 1 1 1 1 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT已已知知真真值值表表画画函函数数卡卡诺诺图图 例例 已知逻辑函数已知逻辑函数 Y 的的 真值表如下，试画真值表如下，试画 出出 Y 的卡诺图。的卡诺图。解：解：( (1) ) 画画 3 变量卡诺图。变量卡诺图。A B CY0 0 010 0 100 1 010 1 101 0 011 0 101 1 011 1 10ABC0100 0111 10 6 7 5 4 2 3 1 0m0m2m4m6 1 1 1 1( (2) )找出真值表中找出真值表中 Y = 1 对应的最小项，在对应的最小项，在 卡诺图相应方格中卡诺图相应方格中 填填

29、1，其余不填。，其余不填。EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT已已知知一一般般表表达达式式画画函函数数卡卡诺诺图图解：解：( (1) ) 将逻辑式转化为与或式将逻辑式转化为与或式( (2) ) 作变量卡诺图作变量卡诺图找出各与项所对应的最小找出各与项所对应的最小项方格填项方格填 1，其余不填。，其余不填。 例例 已知已知 ，试画出，试画出 Y 的卡诺图。的卡诺图。AB+ +ABCD0001111000 01 11 10( (3) ) 根据与或式填图根据与或式填图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 对应最小项为对应最小项为同时满足同时满足 A = 1， B = 1 的方格。的方

30、格。BCD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 B = 1，C = 0，D = 1的方格的方格AD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 A = 0，D = 1的方格。的方格。EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT四、用卡诺图化简逻辑函数四、用卡诺图化简逻辑函数 化化简规律律2 个相邻个相邻最小项有最小项有 1 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消消去去这这 1 个变量个变量，化简结果为相同变量的与；，化简结果为相同变量的与；4 个相邻个相邻最小项有最小项有 2 个变量相异，相加可以消个变量相异，相加可以消去这去这 2 个变量个变量，化简结果为相同变量的与；，化简结果为相同

31、变量的与；8 个相邻最小项有个相邻最小项有 3 个变量相异，相加可以消个变量相异，相加可以消去这去这 3 个变量，化简结果为相同变量的与；个变量，化简结果为相同变量的与；2n 个相邻个相邻最小项有最小项有 n 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消去消去这这 n 个变量个变量，化简结果为相同变量的与。，化简结果为相同变量的与。消消异异存存同同 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXITABCD0001111000 01 11 10 1 1例如例如 2 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果个变量，化简结果为相同变量相与。为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD00

32、01111000 01 11 10 1 1例如例如 2 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果个变量，化简结果为相同变量相与。为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10例如例如 1 1 1 1 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD =AD 4 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 2 个变量，个变量，化简结果为相同变量相与。化简结果为相同变量相与。8 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 3 个变量个变量A 1 1 1 1 1 1 1 1EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT画包围圈规则画包围圈规则 包围圈必须包含包围

33、圈必须包含 2n 个相邻个相邻 1 方格，且必须成方形。方格，且必须成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重复圈，但方格可重复圈，但须每圈有新须每圈有新 1；每个；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。格须圈到，孤立项也不能掉。同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈；同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈； 同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的四个角上的 1 方格也循环相邻，可画圈。方格也循环相邻，可画圈。 注意注意 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD 卡诺卡诺 图化图化 简法简法 步骤步骤 画函数卡诺图画函数

34、卡诺图 将各圈分别化简将各圈分别化简 对填对填 1 的相邻最小项方格画包围圈的相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加将各圈化简结果逻辑加 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXITm15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数 Y(A,B,C,D)=m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1( (3) )画包围圈画包围圈abcd( (4) )将各图分别化简将各图分别化简圈圈 2 个可消去个

35、可消去 1 个变量，化个变量，化简为简为 3 个相同变量相与。个相同变量相与。Yb = BCD圈圈 4 个可消去个可消去 2 个变量，化个变量，化简为简为 2 个相同变量相与。个相同变量相与。孤立项孤立项 Ya=ABCDYc = AB循环相邻循环相邻 Yd = AD( (5) )将各图化简结果逻辑加，得最简与或式将各图化简结果逻辑加，得最简与或式EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数 Y(A,B,C,D)=m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000 01 11

36、10( (2) )填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1( (4) )求最简与或式求最简与或式 Y= 1消消 1 个剩个剩 3 个个( (3) )画圈画圈消消 2 个剩个剩 2 个个 4 个角上的最小个角上的最小项循环相邻项循环相邻EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT找找 AB =11, C = 1 的公共区域的公共区域找找 A = 1, CD = 01 的公共区域的公共区域找找 B = 1, D = 1 的公共区域的公共区域解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填图填图 1 1( (4) )化简化简( (3)

37、 )画圈画圈 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数0011m30100m4 1 1 1 1 1 1 1 1要画要画吗？吗？Y =EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT 例例 已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最 简与或式。简与或式。ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1解：解： 0 方格很少且为相方格很少且为相邻项，故用圈邻项，故用圈 0 法先求法先求 Y 的最简与或式。的最简与或式。1111111111EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT 例例 已知函数

38、真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11注意：注意：该卡诺该卡诺图还有图还有其他画其他画圈法圈法可见，最简可见，最简结果未必唯一。结果未必唯一。解：解：( (1) )画函数卡诺图画函数卡诺图ABC0100 0111 10 1 1 1 1 1 1( (3) )化简化简( (2) )画圈画圈Y = 1 1 1 1 1 1ABC0100 0111 10 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT 约束项和随意项都不会在逻辑函数中出现，所对约束项和

39、随意项都不会在逻辑函数中出现，所对应函数值视为应函数值视为 1 或或 0 都可以，故称无关项。都可以，故称无关项。 不允许出现的不允许出现的无关无关项又称约束项；客观上不会又称约束项；客观上不会出现的出现的无关无关项又称随意项。又称随意项。 五、具有无关项的逻辑函数的化简五、具有无关项的逻辑函数的化简 合理利用无关项可使逻辑式更简单合理利用无关项可使逻辑式更简单 1. 无关项的概念与表示无关项的概念与表示 无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的变变量取值组合或者量取值组合或者不允许出现不允许出现或者根本或者根本不会出现不会出现。 无关项在卡诺图和真值表

40、中用无关项在卡诺图和真值表中用“ ”“ ”来标来标记，在逻辑式中则用字母记，在逻辑式中则用字母 d 和相应的编号表示。和相应的编号表示。 例如例如 8421 码中，码中，1010 1111这这 6 种代码是不允许出现的。种代码是不允许出现的。 例如例如 A、B 为连动互锁开关，为连动互锁开关，设开为设开为 1 , 关为关为 0 , 则则 AB 只能取只能取值值 01 或或 10 , 不会出现不会出现 00 或或 11。 2. 利用无关项化简逻辑函数利用无关项化简逻辑函数 无关无关项的的取取值对逻辑函数函数值没有影响。没有影响。化化简时应视需要将无关需要将无关项方格看作方格看作 1 或或 0 ，

41、使包使包围圈圈最少而且最大，从而使结果最简。最少而且最大，从而使结果最简。EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT将将 d10 看成看成 0,其余其余看成看成 1 将将看成看成 0 ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 显然左图化简结果最简显然左图化简结果最简 解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简用卡诺图化简函数函数 Y=m (0,1,4,6,9,13)+ d (2,3,5,7,10,11,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填图填图 1 1 1 1 1( (4) )写出最简与写出最简与 - - 或

42、式或式最小项最小项( (3) )画包围圈画包围圈无关项无关项 1 0 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT 例例 已知函数已知函数 Y 的的真值真值 表如下，求其最简表如下，求其最简 与与 - - 或式。或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 11 0 001 0 111 1 001 1 10解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图ABC0100 0111 10 1 1 1( (4) )写出写出最简与最简与 - - 或式或式( (2) )填图填图( (3) )画包围圈画包围圈 要画要画圈吗？圈吗？EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT解：解：( (1) )

43、画变量卡诺图画变量卡诺图ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填图填图( (4) )求最简与求最简与 - - 或式或式( (3) )画包围圈画包围圈 1 1 1 1 求最简与非式基本方法是：求最简与非式基本方法是：先求最简与或式，再利用还原律先求最简与或式，再利用还原律和摩根定律变换为最简与非式。和摩根定律变换为最简与非式。 例例 求求函数函数 的最简与非式的最简与非式 1 1 ( (5) )求最简与非式求最简与非式分析题意分析题意称约束条件，表明与项称约束条件，表明与项 AB 和和 AC 对应的最小项不允许出现，因此对应的最小项不允许出现，因此 AB 和和 AC 对应的

44、方格为无关项。对应的方格为无关项。EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT本章小结本章小结分析数字电路的数学工具是逻辑代数，它的分析数字电路的数学工具是逻辑代数，它的定律有的和普通代数类似，如交换律、结合定律有的和普通代数类似，如交换律、结合律和第一种形式的分配律；但很多与普通代律和第一种形式的分配律；但很多与普通代数不同，如吸收律和摩根定律。须注意：逻数不同，如吸收律和摩根定律。须注意：逻辑代数中无减法和除法。辑代数中无减法和除法。 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT化化简简逻逻辑辑函函数数的的目目的的是是为为了了获获得得最最简简逻逻辑辑式式，从而使逻辑电路简单，成本低、可靠性高。

45、从而使逻辑电路简单，成本低、可靠性高。 不不同同形形式式的的逻逻辑辑式式有有不不同同的的最最简简式式，求求最最简简式式的的一一般般方方法法是是：先先求求最最简简与与或或式式，然然后后变变换成所需的最简形式。换成所需的最简形式。 最简与或式标准最简与或式标准 ( (1) )与项的个数最少与项的个数最少( (2) )每个每个与项中的变量数最少与项中的变量数最少 最简与非式标准最简与非式标准( (1) )非号个数最少非号个数最少( (2) )每个非号中的变量数最少每个非号中的变量数最少 EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT逻辑函数化简方法主要有代数法和卡诺图法。逻辑函数化简方法主要有代数法和卡

46、诺图法。最小项特点最小项特点是：包含全部变量，且每个变量在是：包含全部变量，且每个变量在该乘积项中该乘积项中( (以原变量或反变量形式以原变量或反变量形式) )只出现只出现一次。若两个最小项只有一个变量互为反变一次。若两个最小项只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称为量，其余变量均相同，则称为相邻最小项相邻最小项。代数化简法代数化简法可化简任何复杂的逻辑函数，但需可化简任何复杂的逻辑函数，但需要一定的技巧和经验，而且不易判断结果是否要一定的技巧和经验，而且不易判断结果是否最简。最简。卡诺图化简法卡诺图化简法直观简便，易判断结果是直观简便，易判断结果是否最简，否最简，但一般用于四变量以下函

47、数的化简。但一般用于四变量以下函数的化简。EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT因此因此卡诺图具有下面的特点：卡诺图具有下面的特点：2n 个相邻最小项个相邻最小项有有 n 个变量相异，相加可以消去这个变量相异，相加可以消去这 n 个变量，个变量，化简结果为相同变量的与。化简结果为相同变量的与。 卡诺卡诺图化图化简法简法步骤步骤 画函数卡诺图画函数卡诺图 将各圈分别化简将各圈分别化简 对填对填 1 的相邻最小项方格画包围圈的相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加将各圈化简结果逻辑加 卡诺图卡诺图是按照使相邻最小项在几何位置上也相是按照使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻这样的原则排

48、列得到的方格图。邻且循环相邻这样的原则排列得到的方格图。EXIT 逻辑代数基础逻辑代数基础EXIT无关项有约束项和随意项两种情况，其取值无关项有约束项和随意项两种情况，其取值对逻辑函数值没有影响。因此，对逻辑函数值没有影响。因此，化简时应视化简时应视需要将无关项方格看作需要将无关项方格看作 1 或或 0，使包围圈最，使包围圈最少而且最大，从而使结果最简。少而且最大，从而使结果最简。 画包画包围圈围圈规则规则包围圈必须包含包围圈必须包含 2n 个相邻个相邻 1 方格，方格，且必须成方形。且必须成方形。 先圈小再圈大，圈越大越是好；先圈小再圈大，圈越大越是好； 1 方格可重复圈，但须每圈有新方格可重复圈，但须每圈有新 1；每个每个“1 1”格须圈到，孤立项也不能掉。格须圈到，孤立项也不能掉。