《高等数学课件：3-3 泰勒公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：3-3 泰勒公式（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 泰勒公式 第三章第三章 （Taylor Formula）二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算四、小结与思考练习四、小结与思考练习 7/31/20241一、泰勒公式的建立特点特点:以直代曲以直代曲在微分应用中已知近似公式在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度 ?如何估计误差如何估计误差 ?x 的一次多项式的一次多项式7/31/20242并要求它的系数满足并要求它的系数满
2、足:故故令令则则1. 求求 n 次近似多项式次近似多项式7/31/20243令令(称为余项称为余项) , 则有则有2. 余项估计余项估计7/31/202447/31/20245公式公式 称为称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .阶的导数阶的导数 ,时时, 有有其中其中则当则当泰勒中值定理泰勒中值定理 :7/31/20246公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano) 余项余项 .注意到注意到在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为7/31/20247特例:(1) 当当 n = 0 时时
3、, 泰勒公式变为泰勒公式变为(2) 当当 n = 1 时时, 泰勒公式变为泰勒公式变为给给出拉格朗日中值定理出拉格朗日中值定理可见可见误差误差7/31/20248称为称为麦克劳林（麦克劳林（Maclaurin）公式）公式 .则有则有则有误差估计式则有误差估计式若在若在公式成立的区间上公式成立的区间上由此得近似公式由此得近似公式在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取7/31/20249二、几个初等函数的麦克劳林公式其中7/31/202410其中7/31/202411类似可得其中7/31/202412其中7/31/202413已知其中类似可得7/31/202414三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应
4、用在近似计算中的应用 误差误差M 为为在包含在包含 0 , x 的某区间上的上界的某区间上的上界.需解问题的类型需解问题的类型:1) 已知已知 x 和误差限和误差限 , 要求确定项数要求确定项数 n ;2) 已知项数已知项数 n 和和 x , 计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;3) 已知项数已知项数 n 和误差限和误差限 , 确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围.7/31/202415已知已知解解:令令 x = 1 , 得得由于由于欲使欲使由计算可知当由计算可知当 n = 9 时上式成立时上式成立 ,因此因此的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为例例1 计算无理数计算无理数 e 的
5、近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过7/31/202416计算计算 cos x 的近似值的近似值,使其精确到使其精确到 0.005 , 试确定试确定 x 的适用范围的适用范围.例例2 用近似公式用近似公式解解: 近似公式的误差近似公式的误差令令解得解得即当即当时时, 由给定的近似公式计算的结果由给定的近似公式计算的结果能准确到能准确到 0.005 .7/31/202417例例3 证明证明证证:2. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式7/31/202418例例4 求求3. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限（补充题）（补充题）解解:由于由于用泰勒公式将分子展到用泰勒公式将分子
6、展到项项,7/31/202419提示提示:提示提示:7/31/202420内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项其中余项当当时为时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .7/31/2024213. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算近似计算(3) 其他应用其他应用求极限求极限 、证明不等式、证明不等式 等等.(2) 利用多项式逼近函数利用多项式逼近函数 , 2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式7/31/202422思考与练习1. 计算计算解解:原式原式7/31/202425由题设对由题设对证证:有有2.且且7/31/202426下式减上式 , 得令7/31/202427两边同乘两边同乘 n != 整数整数 +假设假设 e 为有理数为有理数( p , q 为正整数为正整数) ,则当则当 时时, 等式左边为整数等式左边为整数;矛盾矛盾 !证证: 时时,当当故故 e 为无理数为无理数 .等式右边不可能为整数等式右边不可能为整数.3. 证明证明 e 为无理数为无理数 .7/31/202428
