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1、Chapter6 Deflection of BeamsMechanics of Materials (Deflection of BeamsDeflection of Beams)第六章第六章第六章第六章 弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形 (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 6-1 基本概念及工程实例基本概念及工程实例（Basic concepts and example problems) 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 ( Beam deflections by superposition )6-3 用积分法求弯曲变形用积分
2、法求弯曲变形（Beam deflection by integration )6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程（Differential equation of the deflection curve) (Deflection of BeamsDeflection of Beams)6-5 静不定梁的解法静不定梁的解法(Solution methods for statically indeterminate beams)6-6 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施(The measures to strengthen rigidity) (Deflection of BeamsDe
3、flection of Beams) 61 基本概念及工程实例基本概念及工程实例（Basic concepts and example problems)一一一一. . . . 工程实例工程实例工程实例工程实例（Example problem)Example problem) (Deflection of BeamsDeflection of Beams) (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 但在另外一些情况下但在另外一些情况下但在另外一些情况下但在另外一些情况下, ,有时却要求构件具有较大的弹性变有时却要求构件具有较大的弹性变有时却要求构件具有较
4、大的弹性变有时却要求构件具有较大的弹性变形形形形, ,以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要. . 例如例如例如例如, ,车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧, ,要求有足够大的变形要求有足够大的变形要求有足够大的变形要求有足够大的变形, ,以缓解车辆以缓解车辆以缓解车辆以缓解车辆受到的冲击和振动作用受到的冲击和振动作用受到的冲击和振动作用受到的冲击和振动作用. . (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 1 1 1 1、挠度、挠度、挠度、挠度（ Deflection Deflection
5、） 横截面形心横截面形心横截面形心横截面形心 C C ( (即轴线上的点即轴线上的点即轴线上的点即轴线上的点) )在垂直于在垂直于在垂直于在垂直于 x x 轴方向的线位移轴方向的线位移轴方向的线位移轴方向的线位移, ,称为该截面的挠度称为该截面的挠度称为该截面的挠度称为该截面的挠度. .用用用用w w表示表示表示表示. .二、基本概念二、基本概念二、基本概念二、基本概念（basic concepts)basic concepts)w挠度挠度CCAB w x (Deflection of BeamsDeflection of Beams)2 2 2 2、转角、转角、转角、转角 (slope)(s
6、lope) 横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移, ,称为该截面的转角称为该截面的转角称为该截面的转角称为该截面的转角. . 用用用用 表示表示表示表示转角转角 ACCwB xw挠度（挠度（ (Deflection of BeamsDeflection of Beams)3 3 3 3、挠曲线、挠曲线、挠曲线、挠曲线 (Deflection curve) (Deflection curve) 梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线 . .式中式中式中式中, ,x x 为
7、梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标, ,w w 为该点的挠度为该点的挠度为该点的挠度为该点的挠度. .挠曲线挠曲线挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程(Equation of deflection curve)(Equation of deflection curve)为为为为wAB x转角转角 w挠度（挠度（CC (Deflection of BeamsDeflection of Beams)4 4 4 4、挠度与转角的关系、挠度与转角的关系、挠度与转角的关系、挠度与转角的关系（ Relationship
8、 betweenRelationship between deflection deflection and slope)and slope)：wAB x转角转角 w挠度挠度CC挠曲线挠曲线 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)5 5 5 5、挠度和转角符号的规定、挠度和转角符号的规定、挠度和转角符号的规定、挠度和转角符号的规定（Sign convention for deflectionSign convention for deflection and slope) and slope)挠度挠度挠度挠度 向上为正向上为正向上为正向上为正, ,向下
9、为负向下为负向下为负向下为负. .转角转角转角转角 自自自自x x 转至切线方向转至切线方向转至切线方向转至切线方向, ,逆时针转为正逆时针转为正逆时针转为正逆时针转为正, ,顺时针转为负顺时针转为负顺时针转为负顺时针转为负. . wAB x转角转角 w挠度挠度CC挠曲线挠曲线 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)62 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程（ Differential equation of the deflection curve)Differential equation of the deflection curve)一、推导公式一
10、、推导公式一、推导公式一、推导公式（Derivation of the formula)Derivation of the formula)1 1 1 1、纯弯曲时、纯弯曲时、纯弯曲时、纯弯曲时曲率曲率曲率曲率与弯矩的关系与弯矩的关系与弯矩的关系与弯矩的关系（Relationship between the Relationship between the curvature of beam and the bending moment)curvature of beam and the bending moment)横力弯曲时横力弯曲时横力弯曲时横力弯曲时, , MM 和和和和 都是都是都是
11、都是x x的函数的函数的函数的函数. .略去剪力对梁的位移的影响略去剪力对梁的位移的影响略去剪力对梁的位移的影响略去剪力对梁的位移的影响, , 则则则则 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)2 2 2 2、由数学得到平面曲线的曲率、由数学得到平面曲线的曲率、由数学得到平面曲线的曲率、由数学得到平面曲线的曲率 (The curvature from the mathematics )(The curvature from the mathematics ) (Deflection of BeamsDeflection of Beams)在规定的坐标系中
12、在规定的坐标系中在规定的坐标系中在规定的坐标系中, ,x x 轴水平向右轴水平向右轴水平向右轴水平向右为正为正为正为正, , w w轴竖直向上为正轴竖直向上为正轴竖直向上为正轴竖直向上为正. .曲线向上凸时曲线向上凸时曲线向上凸时曲线向上凸时, ,OxwxOw因此因此因此因此, ,与与与与的正负号相同的正负号相同的正负号相同的正负号相同曲线向下凸时曲线向下凸时曲线向下凸时曲线向下凸时: : (Deflection of BeamsDeflection of Beams)此式称为此式称为此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程（D
13、ifferential equation of Differential equation of the deflection curvethe deflection curve) )与与与与 1 1 相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计, ,故上式可近似为故上式可近似为故上式可近似为故上式可近似为(6.5)(6.5)近似原因近似原因近似原因近似原因 : (1) : (1) 略去了剪力的影响略去了剪力的影响略去了剪力的影响略去了剪力的影响 ; (2) ; (2) 略去了略去了略去了略去了 项项项项; ;(3)(3) (Defl
14、ection of BeamsDeflection of Beams) 63 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )一、微分方程的积分一、微分方程的积分一、微分方程的积分一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )Integrating the differential equation )若为等截面直梁若为等截面直梁若为等截面直梁若为等截面直梁, , 其抗弯刚度其抗弯刚度其抗弯刚度其抗弯刚度EIEI为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成为一常量上式可
15、改写成 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)2 2 2 2、再积分一次、再积分一次、再积分一次、再积分一次, , , , 得挠度方程得挠度方程得挠度方程得挠度方程(Integrating again gives the equation for the deflection)(Integrating again gives the equation for the deflection)二、积分常数的确定二、积分常数的确定二、积分常数的确定二、积分常数的确定（Evaluating the constants of integration)Evalua
16、ting the constants of integration)1 1 1 1、边界条件、边界条件、边界条件、边界条件（Boundary conditions)Boundary conditions) 2 2 2 2、连续条件、连续条件、连续条件、连续条件 (Continue conditions)(Continue conditions) 1 1 1 1、积分一次得转角方程、积分一次得转角方程、积分一次得转角方程、积分一次得转角方程(The first integration gives the equation for the slope )(The first integration
17、 gives the equation for the slope ) (Deflection of BeamsDeflection of Beams)AB在简支梁中在简支梁中在简支梁中在简支梁中, , 左右两铰支座处的左右两铰支座处的左右两铰支座处的左右两铰支座处的挠度挠度挠度挠度和和和和都等于都等于都等于都等于0. 0.在悬臂梁中在悬臂梁中在悬臂梁中在悬臂梁中, ,固定端处的挠度固定端处的挠度固定端处的挠度固定端处的挠度和转角和转角和转角和转角都应等于零都应等于零都应等于零都应等于零. .AB (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 例题例题例题例
18、题1 1 1 1 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI EI 的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁, , 在自由端受一在自由端受一在自由端受一在自由端受一集中力集中力集中力集中力 F F 作用作用作用作用. .试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程, , 并确定其并确定其并确定其并确定其最大挠度最大挠度最大挠度最大挠度 和最大转角和最大转角和最大转角和最大转角 ABxFw w (Deflection of BeamsDeflection of Beams)(1) (1) 弯矩方程为弯矩方程为
19、弯矩方程为弯矩方程为解：解：解：解：(2) (2) 挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为xwABxF对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为边界条件边界条件边界条件边界条件将边界条件代入将边界条件代入将边界条件代入将边界条件代入(3) (4)(3) (4)(3) (4)(3
20、) (4)两式中两式中两式中两式中, , , ,可得可得可得可得 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)BxyAF（ ）都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处和和和和（ ） (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 例题例题例题例题2 2 2 2 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI EI 的简支梁的简支梁的简支梁的简支梁, ,在全梁上受集度为在全梁上受集度为在全梁上受集度为在全梁上受集度为q q 的的的的均布荷载作用均布荷载作用均布荷载
21、作用均布荷载作用. .试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程, ,并确定其并确定其并确定其并确定其和和和和ABql l (Deflection of BeamsDeflection of Beams)解解解解: : 由对称性可知，梁的由对称性可知，梁的由对称性可知，梁的由对称性可知，梁的两个支反力为两个支反力为两个支反力为两个支反力为ABql lRARBx此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为 (Deflec
22、tion of BeamsDeflection of Beams)梁的转角方程和挠曲线方程分梁的转角方程和挠曲线方程分梁的转角方程和挠曲线方程分梁的转角方程和挠曲线方程分别为别为别为别为边界条件边界条件边界条件边界条件, ,时时时时 xABql lRARB A B在在在在 x x=0 =0 和和和和 x x= =l l 处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为wmax在在在在梁跨中点处梁跨中点处梁跨中点处梁跨中点
23、处有有有有最大挠度值最大挠度值最大挠度值最大挠度值 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 例题例题例题例题3 3 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EIEI的简支梁的简支梁的简支梁的简支梁, , 在在在在D D点处受一集中点处受一集中点处受一集中点处受一集中力力力力F F的作用的作用的作用的作用. .试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程, ,并求其最大并求其最大并求其最大并求其最大挠度和最大转角挠度和最大转角挠度和最大转角挠度和最大转角.
24、 .ABFDabl l (Deflection of BeamsDeflection of Beams)解解解解: : 梁的两个支反力为梁的两个支反力为梁的两个支反力为梁的两个支反力为RARBABFDabl l12xx两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为1( 0 ( 0 x x a a) )挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程转角方程转角方程挠度方
25、程挠度方程挠度方程挠度方程 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程转角方程转角方程挠度方程挠度方程挠度方程挠度方程( ( a a x x l l ) )2 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)D D点的连续条件点的连续条件点的连续条件点的连续条件边界条件边界条件边界条件边界条件在在在在 x x = = a a 处处处处在在在在 x x = 0 = 0 处，处，处，处，在在在在 x x = = l l 处，处，处，处，代入方程可解得代入方程可解得代入方程可
26、解得代入方程可解得: :ABFDab12RARB (Deflection of BeamsDeflection of Beams)12 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)将将将将 x x = 0 = 0 和和和和 x x = = l l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当当当当 a a b b 时时时时, , 右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大
27、(Deflection of BeamsDeflection of Beams)简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在处处处处先研究第一段梁先研究第一段梁先研究第一段梁先研究第一段梁, ,令令令令得得得得当当当当 a a b b时时时时, , x x1 1 a a 最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)梁中点梁中点梁中点梁中点 C C 处的挠度为处的挠度为处的挠度为处的挠度为结论结论结论结论: : 在简支梁中在简支
28、梁中在简支梁中在简支梁中, , 不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用, , 只要挠曲线上无只要挠曲线上无只要挠曲线上无只要挠曲线上无 拐点拐点拐点拐点, , 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, , 其精确其精确其精确其精确度是能满足工程要求的度是能满足工程要求的度是能满足工程要求的度是能满足工程要求的. . (Deflection of BeamsDeflection of Beams)对各段梁对各段梁对各段梁对各段
29、梁, ,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的的外力来写弯矩方程的的外力来写弯矩方程的的外力来写弯矩方程的. .所以后一段梁的弯矩方程包含所以后一段梁的弯矩方程包含所以后一段梁的弯矩方程包含所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程前一段梁的弯矩方程前一段梁的弯矩方程前一段梁的弯矩方程. .只增加了只增加了只增加了只增加了( (x-ax-a) )的项的项的项的项. .对对对对( (x-ax-a) )的项作积分时，应该将的项作积分时，应该将的项作积分时，应该将的
30、项作积分时，应该将( (x-ax-a) )项作为积分变量项作为积分变量项作为积分变量项作为积分变量. .从从从从而简化了确定积分常数的工作而简化了确定积分常数的工作而简化了确定积分常数的工作而简化了确定积分常数的工作. .积分法的原则积分法的原则积分法的原则积分法的原则 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 64 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 ( Beam deflections by superposition ) ) 梁的变形微小梁的变形微小梁的变形微小梁的变形微小, , 且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内
31、工作时且梁在线弹性范围内工作时, , 梁在几项荷载梁在几项荷载梁在几项荷载梁在几项荷载( (可以是集中力可以是集中力可以是集中力可以是集中力, , 集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力) )同时作用下的挠度和转角，同时作用下的挠度和转角，同时作用下的挠度和转角，同时作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. . 当当当当每一项荷载所引起的挠度为同一方向每一项荷载所引起的挠度为同一
32、方向每一项荷载所引起的挠度为同一方向每一项荷载所引起的挠度为同一方向( (如均沿如均沿如均沿如均沿v v 轴方向轴方向轴方向轴方向), ), 其转角其转角其转角其转角是在同一平面内是在同一平面内是在同一平面内是在同一平面内( (如均在如均在如均在如均在 xy xy 平面内平面内平面内平面内) )时时时时, ,则叠加就是代数和则叠加就是代数和则叠加就是代数和则叠加就是代数和. . 这就这就这就这就是叠加原理是叠加原理是叠加原理是叠加原理. .一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理 ( (Superposition ) ) (Deflection of BeamsDeflection o
33、f Beams)1 1 1 1、载荷叠加、载荷叠加、载荷叠加、载荷叠加( (Superposition of loads)Superposition of loads) 多个载荷同时作用于结多个载荷同时作用于结多个载荷同时作用于结多个载荷同时作用于结构而引起的变形构而引起的变形构而引起的变形构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和. . . .2 2 2 2、结构形式叠加（逐段刚化法）、结构形式叠加（逐段刚化法）、结构形式叠加（逐段刚化
34、法）、结构形式叠加（逐段刚化法） (Deflection of BeamsDeflection of Beams)1 1 1 1、 按叠加原理求按叠加原理求按叠加原理求按叠加原理求A A点转角和点转角和点转角和点转角和C C点挠点挠点挠点挠度度度度. . . .解解解解:(1):(1):(1):(1)载荷分解如图载荷分解如图载荷分解如图载荷分解如图(2)(2)(2)(2)由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形. . . .BqFACaaF=AB+ABq (Defl
35、ection of BeamsDeflection of Beams) (3)(3)(3)(3)叠加叠加叠加叠加qFF=+AAABBBCaaq (Deflection of BeamsDeflection of Beams)例题例题例题例题4 4 一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为 EI EI 的简支梁受荷载如图的简支梁受荷载如图的简支梁受荷载如图的简支梁受荷载如图 所示所示所示所示. .试按叠加原理试按叠加原理试按叠加原理试按叠加原理求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度 w wC C 和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角和支座
36、处横截面的转角 A A , , B B 。ABCq qmml l (Deflection of BeamsDeflection of Beams)解：将梁上荷载分为两项简单解：将梁上荷载分为两项简单解：将梁上荷载分为两项简单解：将梁上荷载分为两项简单的荷载的荷载的荷载的荷载, , , ,如图所示如图所示如图所示如图所示ABCqmm(a)l lBAm(c)l lAq(b)Bl lC CC( )( )( ) (Deflection of BeamsDeflection of Beams)例题例题例题例题5 5 5 5 试试试试利用叠加法利用叠加法利用叠加法利用叠加法, ,求图求图求图求图所示抗弯刚
37、度为所示抗弯刚度为所示抗弯刚度为所示抗弯刚度为EIEI的简支的简支的简支的简支梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度 w wC C 和两端和两端和两端和两端截面的转角截面的转角截面的转角截面的转角 A A , , B B . .ABCql ll/2ABCq/2CABq/2q/2解解解解: :可视为正对称荷载与反可视为正对称荷载与反可视为正对称荷载与反可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加对称荷载两种情况的叠加对称荷载两种情况的叠加对称荷载两种情况的叠加. . (Deflection of BeamsDeflection of Beams)（1 1）正对称荷载作用下）正对称
38、荷载作用下）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下ABCq/2CABq/2q/2（2 2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下在跨中在跨中在跨中在跨中C C截面处截面处截面处截面处, ,挠度挠度挠度挠度 w wC C等于零等于零等于零等于零, ,但但但但 转角不等于零且该截面的转角不等于零且该截面的转角不等于零且该截面的转角不等于零且该截面的 弯矩也等于零弯矩也等于零弯矩也等于零弯矩也等于零可将可将可将可将ACAC段和段和段和段和BCBC段分别视为受均布线荷载作用且长度为段分别视为受均布线荷载作用且长度为段分别视为受均布线荷载作用且长度为段分别视为受均布线荷载作用
39、且长度为l l /2 /2 的简支梁的简支梁的简支梁的简支梁 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)CABq/2q/2可得到：可得到：可得到：可得到：Bq/2ACq/2将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加, , 即得即得即得即得( )( )( ) (Deflection of BeamsDeflection of Beams)例题例题例题例题6 6 一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为 EI EI 的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示, , 试按
40、叠加原理并利用附表试按叠加原理并利用附表试按叠加原理并利用附表试按叠加原理并利用附表, ,求截面求截面求截面求截面B B的转角的转角的转角的转角 B B以及以及以及以及A A端和端和端和端和BC BC 中点中点中点中点 D D 的挠度的挠度的挠度的挠度 w wA A 和和和和 w wD D . .ABCDaa2a2qq (Deflection of BeamsDeflection of Beams)解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿 B B 截面截成截面截成截面截成截面截成两段两段两段两段, , , ,将将将将AB AB 段看成段看成段看成段看成 B B 端端端端固定固定
41、固定固定的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁, , , ,BCBC 段看成简支梁段看成简支梁段看成简支梁段看成简支梁. . . .ABCDaa2a2qqBCDq2qa2qAB2qaB B截面两侧的相互作用为：截面两侧的相互作用为：截面两侧的相互作用为：截面两侧的相互作用为： (Deflection of BeamsDeflection of Beams)就是外伸梁就是外伸梁就是外伸梁就是外伸梁ACAC的的的的 B B,w,wD D简支梁简支梁简支梁简支梁BCBC的受力情况与外的受力情况与外的受力情况与外的受力情况与外伸梁伸梁伸梁伸梁AC AC 的的的的BCBC段的受力情段的受力情段的受力情段的受力
42、情况相同况相同况相同况相同由简支梁由简支梁由简支梁由简支梁BCBC求得的求得的求得的求得的 B B, , , ,w wD D2qaBCDqqBCDBCD简支梁简支梁简支梁简支梁BCBC的变形就是的变形就是的变形就是的变形就是MMB B和和和和均布荷载均布荷载均布荷载均布荷载q q分别引起变形的分别引起变形的分别引起变形的分别引起变形的叠加叠加叠加叠加. . . . (Deflection of BeamsDeflection of Beams)由叠加原理得由叠加原理得由叠加原理得由叠加原理得: : : :DBC2qaBCDqDBC(1)(1)(1)(1)求求求求 B B ，w wD D (De
43、flection of BeamsDeflection of Beams)(2) (2) (2) (2) 求求求求w wA A由于简支梁上由于简支梁上由于简支梁上由于简支梁上B B截面的转动截面的转动截面的转动截面的转动, , , ,带动带动带动带动ABAB段一起作刚体运动段一起作刚体运动段一起作刚体运动段一起作刚体运动, , , ,使使使使A A端产生挠度端产生挠度端产生挠度端产生挠度w w1 1 悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁ABAB本身的弯曲变形本身的弯曲变形本身的弯曲变形本身的弯曲变形, , , ,使使使使A A端产生挠度端产生挠度端产生挠度端产生挠度w w2 2AA2qB2qa2qaBCD
44、q因此，因此，因此，因此，A A端的总挠度应为端的总挠度应为端的总挠度应为端的总挠度应为由附录由附录由附录由附录 1V 1V 1V 1V 查得查得查得查得 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)二二二二 刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件（stiffness condition)stiffness condition)1 1 1 1、数学表达式、数学表达式、数学表达式、数学表达式（mathematical formula)mathematical formula)2 2 2 2、 刚度条件的应用刚度条件的应用刚度条件的应用刚度条件的应用(applicat
45、ion of stiffness condition)(application of stiffness condition)(1)(1)校核刚度校核刚度校核刚度校核刚度（ Check the stiffness of the beamCheck the stiffness of the beam）(2)(2)设计截面尺寸设计截面尺寸设计截面尺寸设计截面尺寸（Determine the allowable load on the beamDetermine the allowable load on the beam）(3)(3)求许可载荷求许可载荷求许可载荷求许可载荷（Determine t
46、he required dimensions of the beamDetermine the required dimensions of the beam）是构件的许可挠度和转角是构件的许可挠度和转角是构件的许可挠度和转角是构件的许可挠度和转角. .和和和和 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)例例例例7 7 7 7 下图为一空心圆杆下图为一空心圆杆下图为一空心圆杆下图为一空心圆杆, , , ,内外径分别为内外径分别为内外径分别为内外径分别为: : : :d d=40mm=40mm、D D=80mm=80mm, , , ,杆的杆的杆的杆的E E=
47、210GPa=210GPa, , , ,工程规定工程规定工程规定工程规定C C点的点的点的点的 w w/ /L L=0.00001=0.00001, , , ,B B点的点的点的点的 =0.0010.001弧度弧度弧度弧度, , , ,试试试试校校校校核核核核此杆的刚度此杆的刚度此杆的刚度此杆的刚度. . . .L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB (Deflection of BeamsDeflection of Beams)解解解解:(1):(1):(1):(1)结构变换结构变
48、换结构变换结构变换, , , ,查表求简单查表求简单查表求简单查表求简单载荷变形载荷变形载荷变形载荷变形. . . .L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BC=+图图1 1图图2 2图图3 3F1=1kNDCF2BCDAM (Deflection of BeamsDeflection of Beams)(2)(2)叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形F2=2kN=+图图1 1图图2 2L=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNDBC图图3 3F2BDAMACCF2 (Deflect
49、ion of BeamsDeflection of Beams)(3)(3)校核刚度校核刚度校核刚度校核刚度: : : :(rad)(rad) (Deflection of BeamsDeflection of Beams)一一.基本概念基本概念基本概念基本概念 （Basic conceptsBasic concepts） 1. 1.超静定梁超静定梁超静定梁超静定梁（s s s statically indeterminate tatically indeterminate beamsbeams) )65 静不定梁的解法静不定梁的解法( (Solution methods fors stati
50、cally indeterminate beams)单凭静力平衡方程不能求出全单凭静力平衡方程不能求出全单凭静力平衡方程不能求出全单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁部支反力的梁部支反力的梁部支反力的梁 , , 称为超静定梁称为超静定梁称为超静定梁称为超静定梁FABABCFRARBRC (Deflection of BeamsDeflection of Beams)2.“2.“多余多余多余多余” ”约束约束约束约束( redundant constraint )( redundant constraint )多于维持其静力平衡所必需的多于维持其静力平衡所必需的多于维持其静力平衡所必需的多于维
51、持其静力平衡所必需的约束约束约束约束3.“3.“多余多余多余多余” ”反力反力反力反力( redundant reaction)( redundant reaction)“ “多余多余多余多余” ”与与与与相应的支座反力相应的支座反力相应的支座反力相应的支座反力RBABCFFABRARC4. 4.超静定次数超静定次数超静定次数超静定次数(degree of(degree of staticallystatically indeterminate problem ): indeterminate problem ): 超静定梁的超静定梁的超静定梁的超静定梁的 “ “多余多余多余多余” ” 约束的
52、约束的约束的约束的数目就等于其超静定次数数目就等于其超静定次数数目就等于其超静定次数数目就等于其超静定次数. .n n = = 未知力的个数未知力的个数未知力的个数未知力的个数 - - 独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)二、求解超静定梁的步骤二、求解超静定梁的步骤二、求解超静定梁的步骤二、求解超静定梁的步骤 (procedure for solving a statically (procedure for solving a statically indeterminate
53、indeterminate) )1 1 1 1、画静定基建立相当系统画静定基建立相当系统画静定基建立相当系统画静定基建立相当系统：将可动绞链支座作看将可动绞链支座作看将可动绞链支座作看将可动绞链支座作看多余约束多余约束多余约束多余约束, ,解解解解除多余约束代之以约束反力除多余约束代之以约束反力除多余约束代之以约束反力除多余约束代之以约束反力 R RB B. .得得得得到原超静定梁的基本静定系到原超静定梁的基本静定系到原超静定梁的基本静定系到原超静定梁的基本静定系. .2 2 2 2、列、列、列、列几何方程几何方程几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程超静定梁在多余约
54、束处的约束条超静定梁在多余约束处的约束条超静定梁在多余约束处的约束条超静定梁在多余约束处的约束条件，梁的件，梁的件，梁的件，梁的 变形协调条件变形协调条件变形协调条件变形协调条件ABqqABRB根据变形协调条件得变形几何方程：根据变形协调条件得变形几何方程：根据变形协调条件得变形几何方程：根据变形协调条件得变形几何方程：变形几何方程为变形几何方程为变形几何方程为变形几何方程为 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 3 3 3 3、列、列、列、列物理方程物理方程物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系变形与力的关系变形与力的关系 查表得查表得查表得
55、查表得qAB将力与变形的关系代入将力与变形的关系代入将力与变形的关系代入将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程变形几何方程得补充方程变形几何方程得补充方程变形几何方程得补充方程4 4 4 4、建立补充方程、建立补充方程、建立补充方程、建立补充方程BARBqABRB (Deflection of BeamsDeflection of Beams)补充方程为补充方程为补充方程为补充方程为由该式解得由该式解得由该式解得由该式解得5 5 5 5、求解其它问题（反力、应力、变形等）、求解其它问题（反力、应力、变形等）、求解其它问题（反力、应力、变形等）、求解其它问题（反力、应力、变形等）qABqAB
56、BARBRBRAmA求出该梁固定端的两个支反力求出该梁固定端的两个支反力求出该梁固定端的两个支反力求出该梁固定端的两个支反力 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)代以与其相应的多余反力偶代以与其相应的多余反力偶代以与其相应的多余反力偶代以与其相应的多余反力偶 mmA A 得基本静定系得基本静定系得基本静定系得基本静定系. .变形相容条件为变形相容条件为变形相容条件为变形相容条件为请同学们自行完成请同学们自行完成请同学们自行完成请同学们自行完成 ！方法二方法二方法二方法二: :取支座取支座取支座取支座 A A 处阻止梁转动的约束处阻止梁转动的约束处阻止
57、梁转动的约束处阻止梁转动的约束为多余约束为多余约束为多余约束为多余约束. .ABqlABqlmA (Deflection of BeamsDeflection of Beams)例题例题例题例题8 8 8 8 梁梁梁梁ACAC如图所示如图所示如图所示如图所示, ,梁的梁的梁的梁的A A端用一钢杆端用一钢杆端用一钢杆端用一钢杆ADAD与梁与梁与梁与梁ACAC铰接铰接铰接铰接, , 在在在在梁受荷载作用前梁受荷载作用前梁受荷载作用前梁受荷载作用前, , 杆杆杆杆ADAD内没有内力内没有内力内没有内力内没有内力, ,已知梁和杆用同样的钢材已知梁和杆用同样的钢材已知梁和杆用同样的钢材已知梁和杆用同样的
58、钢材制成制成制成制成, , 材料的弹性模量为材料的弹性模量为材料的弹性模量为材料的弹性模量为E E, , 钢梁横截面的惯性矩为钢梁横截面的惯性矩为钢梁横截面的惯性矩为钢梁横截面的惯性矩为I I, , 拉杆横截拉杆横截拉杆横截拉杆横截面的面积为面的面积为面的面积为面的面积为A A, ,其余尺寸见图其余尺寸见图其余尺寸见图其余尺寸见图, ,试求钢杆试求钢杆试求钢杆试求钢杆ADAD内的拉力内的拉力内的拉力内的拉力N.N.a2aABCq2qDl (Deflection of BeamsDeflection of Beams)CADBq2qANNADBCq2qNNA A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后
59、仍连结于点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A A点点点点. .即即即即解：这是一次超静定问题解：这是一次超静定问题解：这是一次超静定问题解：这是一次超静定问题. .将将将将ADAD杆与梁杆与梁杆与梁杆与梁ACAC之间的连结绞看作多余之间的连结绞看作多余之间的连结绞看作多余之间的连结绞看作多余约束约束约束约束. .拉力拉力拉力拉力N N为多余反力为多余反力为多余反力为多余反力. .基本静定系如图基本静定系如图基本静定系如图基本静定系如图 (Deflection of BeamsDeflection of
60、Beams)变形几何方程为变形几何方程为变形几何方程为变形几何方程为根据叠加法根据叠加法根据叠加法根据叠加法A A端的挠度为端的挠度为端的挠度为端的挠度为BCq2qNBCq2qBCN在例题在例题在例题在例题 中已求得中已求得中已求得中已求得可算出可算出可算出可算出: : (Deflection of BeamsDeflection of Beams)拉杆拉杆拉杆拉杆 ADAD 的伸长为的伸长为的伸长为的伸长为: :补充方程为补充方程为补充方程为补充方程为: :由此解得由此解得由此解得由此解得: :ADBCq2qNN (Deflection of BeamsDeflection of Beams
61、)例题例题例题例题 9 9 求图示梁的支反力求图示梁的支反力求图示梁的支反力求图示梁的支反力, ,并绘梁的剪力图和弯矩图并绘梁的剪力图和弯矩图并绘梁的剪力图和弯矩图并绘梁的剪力图和弯矩图. . 已知已知已知已知 EIEI = 5 = 5 10 103 3 kN.mkN.m3 3 . .4m3m2mABDC30kN20kN/m (Deflection of BeamsDeflection of Beams)解：这是一次超静定问题解：这是一次超静定问题解：这是一次超静定问题解：这是一次超静定问题取支座取支座取支座取支座 B B 截面上的相对截面上的相对截面上的相对截面上的相对转动约束为多余约束转动
62、约束为多余约束转动约束为多余约束转动约束为多余约束. .基本静定系为在基本静定系为在基本静定系为在基本静定系为在 B B 支座支座支座支座截面上安置绞的静定梁，截面上安置绞的静定梁，截面上安置绞的静定梁，截面上安置绞的静定梁，如图如图如图如图 所示所示所示所示. .4m3m2mABDC30kN20kN/m4m3m2mABDC30kN20kN/m多余反力为分别作用于多余反力为分别作用于多余反力为分别作用于多余反力为分别作用于简支梁简支梁简支梁简支梁AB AB 和和和和 BC BC 的的的的 B B端端端端处的一对弯矩处的一对弯矩处的一对弯矩处的一对弯矩 MMB B. .变形相容条件为，简支梁变形
63、相容条件为，简支梁变形相容条件为，简支梁变形相容条件为，简支梁ABAB的的的的 B B 截面转角和截面转角和截面转角和截面转角和 BCBC梁梁梁梁 B B 截面的转角相等截面的转角相等截面的转角相等截面的转角相等. .MB (Deflection of BeamsDeflection of Beams)由表中查得由表中查得由表中查得由表中查得: :4m3m2mABDC30kN20kN/mDAB30kN20kN/mMBC (Deflection of BeamsDeflection of Beams)补充方程为补充方程为补充方程为补充方程为: :解得解得解得解得: :负号表示负号表示负号表示负号
64、表示B B截面弯矩截面弯矩截面弯矩截面弯矩与假设相反与假设相反与假设相反与假设相反. .4m3m2mABDC30kNDAB30kN20kN/m20kN/mMBC (Deflection of BeamsDeflection of Beams)由基本静定系的平衡方程由基本静定系的平衡方程由基本静定系的平衡方程由基本静定系的平衡方程可求得其余反力可求得其余反力可求得其余反力可求得其余反力在基本静定系上绘出剪力图在基本静定系上绘出剪力图在基本静定系上绘出剪力图在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图和弯矩图和弯矩图和弯矩图. .4m3m2mABDC30kN20kN/m+-32.0547.9518.4011.
65、64+-25.6831.8023.281.603m-+ (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 63 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关, ,而而而而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关. .所以所以所以所以, ,要想提要
66、想提要想提要想提高弯曲刚度高弯曲刚度高弯曲刚度高弯曲刚度, ,就应从上述各种因素入手就应从上述各种因素入手就应从上述各种因素入手就应从上述各种因素入手. .一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EIEI二、减小跨度或增加支承二、减小跨度或增加支承二、减小跨度或增加支承二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置三、改变加载方式和支座位置三、改变加载方式和支座位置三、改变加载方式和支座位置 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)(1)(1)增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EIE
67、I工程中常采用工字形工程中常采用工字形工程中常采用工字形工程中常采用工字形, ,箱形截面箱形截面箱形截面箱形截面为了减小梁的位移为了减小梁的位移为了减小梁的位移为了减小梁的位移, ,可采取下列措施可采取下列措施可采取下列措施可采取下列措施(2)(2)调整跨长和改变结构调整跨长和改变结构调整跨长和改变结构调整跨长和改变结构设法缩短梁的跨长设法缩短梁的跨长设法缩短梁的跨长设法缩短梁的跨长, ,将能显著地减小其挠度和转角将能显著地减小其挠度和转角将能显著地减小其挠度和转角将能显著地减小其挠度和转角. .这是提高梁的刚度的一个很又效的措施这是提高梁的刚度的一个很又效的措施这是提高梁的刚度的一个很又效的
68、措施这是提高梁的刚度的一个很又效的措施. . (Deflection of BeamsDeflection of Beams)桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值减小梁的最大挠度值减小梁的最大挠度值减小梁的最大挠度值. .ABql l同时同时同时同时, ,由于梁的外伸部分的自重作由于梁的外伸部分的自重作由于梁的外伸部分的自重作由于梁的外伸部分的自重作用用用用, ,将使梁的将使梁的将使梁的将使梁的ABAB跨产生向上的挠跨产生向上的挠跨产生向上的挠跨产生向上的挠度度度度, ,从而使从而使从而使从而使ABAB跨向下的挠度能够跨向下的挠度能够跨向下的挠度能够跨向下的挠度能够被抵消一部分被抵消一部分被抵消一部分被抵消一部分, ,而有所减小而有所减小而有所减小而有所减小. .qqABl l增加梁的支座也可以减小梁的挠度增加梁的支座也可以减小梁的挠度增加梁的支座也可以减小梁的挠度增加梁的支座也可以减小梁的挠度. .
