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1、 1.6 1.6 独立性独立性 1.6.11.6.1事件的独立性事件的独立性1两个事件的独立性两个事件的独立性 我们知道条件概率我们知道条件概率P(B|A)与无条件概率与无条件概率P(B)不一定相等，不一定相等， 但是在一些特殊情况下它们相等但是在一些特殊情况下它们相等例如例如则有则有第第1章章 概率论基础概率论基础 一般地，有下面定义：一般地，有下面定义： 定定义义1.7 设设A，B是是两两个个事事件件，如如果果P(AB)= P(A)P(B)，则则称称A与与B相相互互独独立立 显然，当显然，当P(A)0时，时，A与与B相互独立当且仅当相互独立当且仅当P(B|A) = P(B) 显然，当显然，
2、当P(B)0时，时，A与与B相互独立当且仅当相互独立当且仅当P(A|B) = P(A)1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性请看例子请看例子可见可见两事件相互独立，但两事件不是互不相容的！两事件相互独立，但两事件不是互不相容的！请思考请思考: :两事件相互独立两事件相互独立两事件互不相容两事件互不相容二者之间二者之间的关系？的关系？1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性可见可见两事件互不相容但不独立两事件互不相容但不独立.再看例子再看例子所以，所以，相互独立相互独立和和互不相容是两个不同的概念，互不相容是两个不同的概念，不要把它们相容相混不要把它们相容相混淆淆1.6.1 1
3、.6.1 事件的独立性事件的独立性事实上：事实上：当当P(A)P(B) 0时，时， A与与B独立等价于独立等价于P(B|A)=P(B)且且P(|)= P()，说说明明,B是是否否发发生生互互相相没没有有影影响响，因因此此A与与B独独立立一一定定不不是是互互不不相相容容的的，反反之之A与与B互不相容一定不独立互不相容一定不独立当当A，B之一为之一为时，时， P(AB) = P(A)P(B)与与B 同时成立，即独立与互不相容并存同时成立，即独立与互不相容并存两事件相互独立两事件相互独立两事件互不相容两事件互不相容二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立
4、性【例例1.19】证明若事件证明若事件A与与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与与 ，B与与 ， 与与 证证：因为：因为 所以所以 即即A与与 相互独立相互独立由此可推出由此可推出 与与 相互独立，相互独立，再由再由 又推出又推出B与与 相互独立相互独立1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 2 2多个事件的独立性多个事件的独立性定义定义1.8 设设A,B,C 为三个事件，如果等式为三个事件，如果等式P(AB ) = P( A )P( B )P(BC ) = P( B )P(C )P(AC ) = P(A)P(C )P(ABC ) = P(A
5、 )P(B )P(C )都成立，则称事件都成立，则称事件A，B，C相互独立相互独立另另外外,仅仅由由P(ABC)=P(A)P(B)P(C),既既不不能能保保证证A、B、C两两两两相相互互独独立立,更更不不能能保保证三事件相互独立证三事件相互独立 注意注意三个事件相互独立三个事件相互独立三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性【例例1.201.20】一一个个均均匀匀的的正正四四面面体体， 其其第第一一面面染染成成红红色色，第第二二面面染染成成黄黄色色 ， 第第三三面面染染成成蓝蓝色色，而而第第四四面面同同时时染染上上红红、黄黄、蓝蓝三三种种颜颜色色
6、. .现现以以 A A ，B B，C C 分分别别记记投一次四面体投一次四面体出现红、黄、蓝颜色朝下的事件，出现红、黄、蓝颜色朝下的事件， 问问 A，B，C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红、黄、蓝分别出现两面，由于在四面体中红、黄、蓝分别出现两面， 因此因此又由题意知又由题意知伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性故有故有因此因此 A，B，C 不相互独立不相互独立.则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立.由于由于1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性【例例1.21】设设一一口口袋袋中中有有100个个球球，其其中中有有7个个是
7、是红红的的，25个个是是黄黄的的，24个个是是黄黄蓝蓝两两色色的的，1个个是是红红黄黄蓝蓝三三色色的的，其其余余43个个是是无无色色的的现现从从中中任任取取一一个个球球，以以A、B、C分别表示取得的球有红色的、有黄色的、有蓝色的事件分别表示取得的球有红色的、有黄色的、有蓝色的事件另一个反例另一个反例(略略)1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 显然显然, 故故P(ABC) = P(A)P(B)P(C)显然又有显然又有 P(AB) P(A)P(B) P(AC) P(A)P(C) P(BC) P(B)P(C)即即A、B、C不是两两相互独立的更不是相互独立的不是两两相互独立的更不是相互独
8、立的.1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 定定义义推推广广：如如果果事事件件A1,A2,An（n 2）中中任任意意k（2 k n）个个事事件件积积事事件的概率都等于各个事件的概率之积，则称件的概率都等于各个事件的概率之积，则称A1,A2,An相互独立；相互独立；如果如果A1,A2,An中任意两个事件相互独立，则称中任意两个事件相互独立，则称A1,A2,An两两独立两两独立 n 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两相互独立个事件两两相互独立1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性两个结论两个结论1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 在实际应用中，事件的独立性
9、常常根据事件的实际意义去判断在实际应用中，事件的独立性常常根据事件的实际意义去判断 一一般般情情况况下下，若若各各事事件件之之间间没没有有关关联联或或关关联联很很弱弱，就就可可以以认认为为它它们们是是相互独立的相互独立的1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性【例例1.22】设设某某地地区区某某时时间间每每人人的的血血清清中中含含有有肝肝炎炎病病毒毒的的概概率率为为0.4%，混混合合100个人的血清，求血清中含有肝炎病毒的概率个人的血清，求血清中含有肝炎病毒的概率 解解：设：设Ai =“第第i人的血清中含有肝炎病毒人的血清中含有肝炎病毒”，i = 1, 2, , 100，可以认为诸可以
10、认为诸Ai是相互独立的，从而诸是相互独立的，从而诸 也是相互独立的，且也是相互独立的，且 则要求的概率为则要求的概率为1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性【例例1.23】从从1至至9这这9个个数数字字中中，有有放放回回地地取取3个个数数字字，每每次次任任取取1个个，求求所所取取的的3个数之积能被个数之积能被10整除的概率整除的概率 解解法法一一：设设A =“所所取取的的3个个数数之之积积能能被被10整整除除”，A1 =“所所取取的的3个个数数中中含含有有数字数字5”，A2 =“所取的所取的3个数中含有偶数个数中含有偶数”，则则A = A1A2，所以所以考虑到三次取数相互独立考虑到三
11、次取数相互独立1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性所以所以1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性解法二：解法二：设设Ak表表示示“第第k次次取取得得数数字字5”，Bk表表示示“第第k次次取取得得偶偶数数”，k = 1，2，3，则则A = (A1A2A3) (B1B2B3)，由于由于所以所以1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性由于是有放回的取数，所以各次抽取结果相互独立，并且由于是有放回的取数，所以各次抽取结果相互独立，并且因此因此1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 解解【补充例补充例】1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性1.6.1 1
12、.6.1 事件的独立性事件的独立性 【补补充充例例】某某一一治治疗疗方方法法对对一一个个病病人人有有效效的的概概率率为为0.9 ，今今对对3个个病病人人进进行行了了治治疗疗，求求对对3个个病病人人的的治治疗疗中中，至至少少有有一一人人是是有有效效的的概概率率.设设对对各各个个病病人人的的治疗效果是相互独立的治疗效果是相互独立的.1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性解法二解法二1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 1.6.2 1.6.2 试验的独立性试验的独立性定定义义1.9 如如果果第第一一次次试试验验的的任任一一结结果果，第第二二次次试试验验的的任任一一结结果果，第第
13、n次次试试验验的的任任一一结结果果都都是是相相互互独独立立的的事事件件，则则称称这这n次次试试验验相相互互独独立立，如如果果这这n次次独独立立试试验验还还是是相相同同的的，则则称称为为n重重独独立立重重复复试试验验，如如果果在在n重重独独立立重重复复试试验验中中，每每次试验的可能结果为两个：次试验的可能结果为两个：A或或 ，则称这种试验为，则称这种试验为n重伯努利试验重伯努利试验 例如例如 掷掷n枚硬币，从一大批产品中抽查枚硬币，从一大批产品中抽查n个产品等，都是个产品等，都是n重独立重复试验重独立重复试验1.6 独立性独立性 在在重重伯伯努努利利试试验验中中，若若事事件件A在在每每次次试试验
14、验中中发发生生的的概概率率均均为为P(A) = p，(0 p 1)，那么，那么,事件事件A发生发生k (k=1,2,n)次的概率次的概率pk是多少呢是多少呢? 由由于于试试验验是是相相互互独独立立的的，如如果果事事件件A在在n次次独独立立试试验验中中某某指指定定的的k次次试试验验（比比如说前如说前k次试验）中发生，而在其余次试验）中发生，而在其余n k次试验中不发生，其概率为次试验中不发生，其概率为其中其中Ai表示表示“A在第在第i次试验中发生次试验中发生”，i = 1,2, , n1.6.11.6.1试验的独立性试验的独立性由由组组合合知知识识，A在在n次次试试验验中中发发生生k次次共共有有
15、 种种不不同同的的情情况况，而而每每种种情情况况的的概概率都是率都是并且这些情况是互不相容的故所求概率为并且这些情况是互不相容的故所求概率为k = 1，2，n1.6.11.6.1试验的独立性试验的独立性【例例1.24】八八门门火火炮炮同同时时独独立立地地向向一一目目标标各各射射击击一一发发炮炮弹弹，共共有有不不少少于于2发发炮炮弹弹命命中中目目标标时时，目目标标就就被被击击毁毁，如如果果每每门门炮炮命命中中目目标标的的概概率率为为0.6，求求击击毁毁目目标的概率标的概率 解解：本本题题可可看看作作p=0.6，n=8的的n重重伯伯努努利利试试验验，所所求求概概率率是是事事件件A在在8次次独独立立
16、试验中至少出现两次的概率，即试验中至少出现两次的概率，即1.6.11.6.1试验的独立性试验的独立性【补补充充例例】 甲甲、乙乙、丙丙三三人人同同时时对对飞飞机机进进行行射射击击, 三三人人击击中中的的概概率率分分别别为为 0.4, 0.5, 0.7, 飞飞机机被被一一人人击击中中而而被被击击落落的的概概率率为为0.2 ,被被两两人人击击中中而而被被击击落落的的概概率率为为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机被击落（记为求飞机被击落（记为H）的概率）的概率.解解 A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机分别表示甲、乙、丙击中飞机 , 因而因而解解“甲甲甲甲”,“乙甲甲乙甲甲”,“甲乙甲甲乙甲”;【补充例补充例】“甲乙甲甲甲乙甲甲”,“乙甲甲甲乙甲甲甲”,“甲甲乙甲甲甲乙甲”;
