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1、第三节第三节全微分 第九章 一、全微分的概念二、全微分的应用定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，处全增量称为函数在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在在D 内可微内可微.一、全微分的概念一、全微分的概念(2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微由微分定由微分定义 :得函数在
2、该点连续偏导数存在 函数可微 即定理定理1(必要条件必要条件) 若函数z = f (x, y) 在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点偏导数同样可证证证: 由全增量公式必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有反例反例: 函数所以 f (x, y) 在点（0，0）处连续。注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:因为因此,函数在点 (0,0) 不可微 .类似可得即函数在点（0，0）处可偏导。定理定理2 (充分条件充分条件)证证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.在点 (0,0) 可微 .在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证证: 1) 因故函数在点 (0,
3、0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 例5.证明函数所以同理极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;同理 ,在点(0,0)也不连续.2)3)4) 下面证明可微 :说明说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则 三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分偏微分.的全微分为于是例例6. 计算函数算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解解:例例7. 计算函数的全微分. 解解: 可知当二、全微分在数二、全微分在数值计算中的算中的应用用1. 近似计算近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算) 半径由 20cm 增大解解: 已知即受压后圆柱体体积减少了 例例8. 有一有一圆柱体受柱体受压后后发生形生形变,到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 求此圆柱体例例9.计算算的近似值. 解解: 设,则取则
