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1、第三节平面向量的数量积【知【知识梳理】梳理】1.1.向量的向量的夹角角定定义图示示范范围共共线与垂直与垂直已知两个非已知两个非零向量零向量a和和b, ,作作 = =a, , = =b, ,则_就是就是向量向量a与与b的的夹角角设是向量是向量a与与b的的夹角角, ,则00180180若若=0,=0,则a与与b_;_;若若=180,=180,则a与与b_;_;若若=90,=90,则a与与b_AOBAOB同向同向反向反向垂直垂直2.2.平面向量的数量积平面向量的数量积定定义设两个非零向量两个非零向量a, ,b的的夹角角为,则数量数量_叫叫做做a与与b的数量的数量积, ,记作作ab投影投影_叫做向量叫
2、做向量a在在b方向上的投影方向上的投影,_,_叫做叫做向量向量b在在a方向上的投影方向上的投影几何几何意意义数量数量积ab等于等于a的的长度度| |a| |与与b在在a的方向上的投影的方向上的投影_的乘的乘积| |a|b|cos|cos|a|cos|a|cos| |b|cos|cos| |b|cos|cos3.3.平面向量数量平面向量数量积的性的性质设a, ,b都是非零向量都是非零向量, ,e是是单位向量位向量,为a与与b( (或或e) )的的夹角角. .则(1)(1)ea= =ae=|=|a|cos.|cos.(2)(2)ab_._.(3)(3)当当a与与b同向同向时, ,ab=|=|a|b
3、|.|.当当a与与b反向反向时, ,ab=-|=-|a|b|,|,特特别地地, ,aa=_=_或者或者| |a|=_.|=_.(4)cos=_.(4)cos=_.(5)(5)ab_._.ab=0=0| |a| |2 2| |a|b| |4.4.数量数量积的运算律的运算律(1)(1)交交换律律: :ab= =ba. .(2)(2)数乘数乘结合律合律:(:(a)b=_=_.=_=_.(3)(3)分配律分配律: :a(b+ +c)=_.)=_.(ab) )a(b) )ab+ +ac5.5.平面向量数量平面向量数量积的坐的坐标表示表示设向量向量a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2
4、 2,y,y2 2),),向量向量a与与b的的夹角角为,则数量数量积ab=_=_模模| |a|=_ |=_ 夹角角 cos= cos= _ _向量垂直的向量垂直的充要条件充要条件abab=0=0_x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0【考点自【考点自测】1.(1.(思考思考) )给出下列出下列结论: :向量在另一个向量方向上的投影向量在另一个向量方向上的投影为数量数量, ,而不是向量而不是向量; ;两个向量的数量两个向量的数量积是一个是一个实数数, ,向量的加、减、数乘运算的向量的加、减、数乘运算的运算运算结果是向量果是向量
5、; ;由由ab=0=0可得可得a= =0或或b= =0; ;(ab) )c= =a( (bc).).其中正确的是其中正确的是( () )A. B. A. B. C. D. C. D.【解析】【解析】选选A.A.由向量投影的定义可知由向量投影的定义可知正确正确; ;由数量积及线性由数量积及线性运算的意义知运算的意义知正确正确; ;由由ab=|=|a|b|cos|cos知知, ,当两个非零向量的夹当两个非零向量的夹角角=90=90时时, ,ab=0,=0,而不必而不必a= =0或或b= =0, ,所以所以不正确不正确; ;由向量由向量数量积及向量的数乘的意义知数量积及向量的数乘的意义知, ,当当a
6、b00时时,(,(ab) )c是与是与c方向方向相同或相反的向量相同或相反的向量, ,而当而当bc00时时a( (bc) )是与是与a方向相同或相反的方向相同或相反的向量向量, ,所以所以不正确不正确. .综上应选综上应选A.A.2.2.已知向量已知向量a, ,b满足足| |a|=1,|=1,|b|=4,|=4,且且ab=2,=2,则a与与b的的夹角角为( () )【解析】【解析】选选C.C.设设a与与b的夹角为的夹角为,则则又因为又因为0,0,所以所以3.3.已知向量已知向量a=(1,2),=(1,2),向量向量b=(x,-2),=(x,-2),且且a(a- -b),),则实数数x x等等于
7、于( () )A.9 B.4 A.9 B.4 C.0 D.-4 C.0 D.-4【解析】【解析】选选A.A.a- -b=(1-x,4).=(1-x,4).由由a(a- -b),),得得1-x+8=0.1-x+8=0.所以所以x=9.x=9.4.4.已知已知单位向量位向量a, ,b的的夹角是角是120,120,则| |a+ +b|=(|=() )A. B.1 C. D.A. B.1 C. D.【解析】【解析】选选B.B.由题意由题意, ,得得| |a|=|=|b|=1,|=1,所以所以5.5.已知已知| |a|=2,|=2,向量向量a与与b的的夹角是角是 则a在在b上的投影是上的投影是. .【解
8、析】【解析】a在在b上的投影是上的投影是| |a|cos|cos答案答案: :6.6.已知等已知等边三角形三角形ABCABC的的边长为1,1,设 则ab+ +bc+ +ca= =. .【解析】【解析】如图如图, ,得得a与与b, ,b与与c, ,c与与a的夹角的夹角都是都是120,120,又又| |a|=|=|b|=|=|c|=1,|=1,所以原式所以原式=11cos120+11cos120+11cos120=11cos120+11cos120+11cos120答案答案: :考点考点1 1 平面向量数量平面向量数量积的运算的运算【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013新新课标全国卷
9、全国卷)已知两个已知两个单位向量位向量a, ,b的的夹角角为60,60,c=t=ta+(1-t)+(1-t)b, ,若若bc=0,=0,则t=t=. .(2)(2)已知正方形已知正方形ABCDABCD的的边长为1,1,点点E E是是ABAB边上的上的动点点. .则的的值为, , 的最大的最大值为. .【解题视点】【解题视点】(1)(1)根据向量数量积的运算律及数量积的运算公根据向量数量积的运算律及数量积的运算公式列方程求解式列方程求解. .(2)(2)结合图形建立平面直角坐标系结合图形建立平面直角坐标系, ,用向量数量积的坐标运算求用向量数量积的坐标运算求解解, ,或选取基向量或选取基向量,
10、,用基向量表示后再根据向量数量积的运算公用基向量表示后再根据向量数量积的运算公式求解式求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由由c=t=ta+(1-t)+(1-t)b得得, ,bc=t=tab+(1-t)+(1-t)b2 2=0,=0,整整理得理得t|t|a|b|cos60+(1-t)|cos60+(1-t)|b| |2 2=0,=0,化简得化简得 t+1-t=0, t+1-t=0,所以所以t=2.t=2.答案答案: :2 2(2)(2)方法一方法一: :如图所示如图所示, ,以以AB,ADAB,AD所在的直线所在的直线分别为分别为x,yx,y轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系, ,设设
11、E(t,0),E(t,0),0t1,0t1,则则D(0,1),B(1,0),C(1,1),D(0,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0,-1), =(t,-1), =(0,-1),所以所以 又因为又因为 =(1,0), =(1,0),所以所以 =t1. =t1.方法二方法二: :选取选取 作为基底作为基底, ,设设 0t1, 0t1,则则答案答案: :1 11 1【互【互动探究】探究】本例本例(2)(2)中中, ,当当E E是是ABAB的中点的中点时, ,试求求 在在 上的上的投影投影. .【解析】【解析】方法一方法一: :如图如图, ,过点过点E E作作EFDC,EF
12、DC,垂足为垂足为F,F,由投影的定义知由投影的定义知, , 在在 上的投影是上的投影是 . .方法二方法二: :如图如图, ,向量向量 与与 的夹角是的夹角是EDC,EDC,所以所以 在在 上的投影是上的投影是【规律方法】【规律方法】向量数量积的两种求法向量数量积的两种求法(1)(1)当已知向量的模和夹角当已知向量的模和夹角时时, ,可利用定义法求解可利用定义法求解, ,即即ab=|=|a|b|cos.|cos.(2)(2)当已知向量的坐标时当已知向量的坐标时, ,可利用坐标法求解可利用坐标法求解, ,即若即若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b= =(x(x2 2,y,y2 2),
13、),则则ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2. .运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题, ,解题时解题时应灵活选择相应公式求解应灵活选择相应公式求解. .平面向量数量积运算的常用公式平面向量数量积运算的常用公式(1)(1)(a+ +b)()(a- -b)=)=a2 2- -b2 2. .(2)(2)(a+ +b) )2 2= =a2 2+2+2ab+ +b2 2. .(3)(3)(a- -b) )2 2= =a2 2-2-2ab+ +b2 2. .【变式训练】【变式训练】(2014(2014舟山模拟舟山模拟) )在在A
14、BCABC中，中，A=90A=90，AB=1,AB=1,AC=2AC=2，设点，设点P P，Q Q满足满足 R.R.若若=-2=-2，则，则=( )=( )【解析】【解析】选选B.B.由题意可得由题意可得【加固【加固训练】1.1.若向量若向量a=(1,1),=(1,1),b=(2,5),=(2,5),c=(3,x)=(3,x)满足条件足条件(8(8a- -b)c=30,=30,则x=(x=() )A.6A.6B.5B.5C.4C.4D.3D.3【解析】【解析】选选C.8C.8a- -b=8(1,1)-(2,5)=(6,3),=8(1,1)-(2,5)=(6,3),所以所以(8(8a- -b)c
15、=(6,3)(3,x)=30,=(6,3)(3,x)=30,即即18+3x=30,18+3x=30,解得解得x=4.x=4.2.2.已知两个已知两个单位向量位向量e1 1, ,e2 2的的夹角角为 若向量若向量b1 1= =e1 1-2-2e2 2, ,b2 2=3=3e1 1+4+4e2 2, ,则b1 1b2 2= =. .【解析】【解析】b1 1b2 2=(=(e1 1-2-2e2 2)(3)(3e1 1+4+4e2 2)=3|)=3|e1 1| |2 2-2-2e1 1e2 2-8|-8|e2 2| |2 2. .又因为又因为e1 1, ,e2 2的夹角为的夹角为 | |e1 1|=1
16、,|=1,|e2 2|=1,|=1,所以所以b1 1b2 2=3-2cos -8=3-1-8=-6.=3-2cos -8=3-1-8=-6.答案答案: :-6-6考点考点2 2 平面向量的垂直与平面向量的垂直与夹角角问题【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014九江模九江模拟) )若若| |a|=2,|=2,|b|=4|=4且且( (a+ +b)a, ,则a与与b的的夹角是角是( () )(2)(2014(2)(2014湖州模湖州模拟) )已知已知a=(-3,2),=(-3,2),b=(-1,0),=(-1,0),向量向量a+ +b与与a- -2 2b垂直垂直, ,则实数数的的值为(
17、 () )(3)(3)设两个向量两个向量a, ,b, ,满足足| |a|=2,|=2,|b|=1,|=1,a与与b的的夹角角为 , ,若向量若向量2t2ta+7+7b与与a+t+tb的的夹角角为钝角角, ,求求实数数t t的范的范围. .【解题视点】【解题视点】(1)(1)由向量的数量积公式知由向量的数量积公式知, ,只需根据只需根据( (a+ +b)a求求出出ab即可即可. .(2)(2)根据向量垂直列方程求解根据向量垂直列方程求解. .(3)(3)把问题转化为两向量的数量积小于把问题转化为两向量的数量积小于0 0且两向量不共线反向求且两向量不共线反向求解解. .【规范解答】【规范解答】(1
18、)(1)选选A.A.根据题意根据题意, ,由于由于| |a|=2,|=2,|b|=4|=4且且( (a+ +b)a, ,则有则有( (a+ +b)a=0=0a2 2+ +ba=0=04+4+ba=0,=0,所以所以ba=-4,=-4,那么可那么可知知a与与b的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为 则则a与与b的夹角是的夹角是(2)(2)选选A.A.a+ +b=(-3-1,2),=(-3-1,2),a-2-2b=(-1,2),=(-1,2),因为向量因为向量a+ +b与与a-2-2b垂直垂直, ,所以所以(a+ +b)()(a-2-2b)=0,)=0,则则3+1+4=0,3+1+4=0,解得解得(3)
19、(3)由向量由向量2t2ta+7+7b与与a+t+tb的夹角为钝角的夹角为钝角, ,得得即即(2t(2ta+7+7b)()(a+t+tb)0,)0,化简即得化简即得2t2t2 2+15t+70,+15t+70,解得解得-7t-7t当夹角为当夹角为时时, ,也有也有(2t(2ta+7+7b)()(a+t+tb)0,)0,但此时夹角不是钝角但此时夹角不是钝角, ,设设2t2ta+7+7b=(=(a+t+tb),0,),0|0，a与与b的夹角的夹角 且且 都在集合都在集合 中，则中，则 =( ) =( )A. B.1 C. D.A. B.1 C. D.【审题视点】【审题视点】创创新新点点定义运算定义
20、运算 对任意两个非零向量对任意两个非零向量 都在集合都在集合 中中切切入入点点根据条件根据条件 确定确定 的取值范围的取值范围, ,又又 在集合中在集合中, ,先确定先确定 的值的值, ,由此再确定由此再确定 的取的取值范围值范围, ,最后定其值最后定其值【解析】【解析】选选C.C.根据题中的向量的新运算及向量的数量积根据题中的向量的新运算及向量的数量积, ,可知可知因为因为 , ,所以所以又因为又因为| |a|b|0,|0,所以所以0 1,0 1,所以所以0 cos1,0 cos1,即即 (0,1). (0,1).又又 所以所以由由得得, ,所以所以 所以所以 所以所以【创新点拨】【创新点拨
21、】1.1.高考考情高考考情: :以向量为背景的新定义问题以向量为背景的新定义问题, ,是高考命题创新型试是高考命题创新型试题的一个热点题的一个热点, ,考查频次较高考查频次较高. .2.2.命题形式命题形式: :常见的有新定义常见的有新定义, ,新运算等新运算等. .【备考指导】【备考指导】1.1.准确转化准确转化: :解决新定义问题时解决新定义问题时, ,一定要弄清新定义的含义一定要弄清新定义的含义, ,由由此把问题转化为我们学过的定义、运算此把问题转化为我们学过的定义、运算, ,切忌同已有的定义或切忌同已有的定义或运算相混淆运算相混淆. .2.2.方法选取方法选取: :成功转化后成功转化后
22、, ,可结合特例法、推理法可结合特例法、推理法, ,并注意到向并注意到向量的概念及数量积的运算特点量的概念及数量积的运算特点, ,根据题目的条件求解根据题目的条件求解, ,要注意培要注意培养学生获取新信息、利用新知识的能力养学生获取新信息、利用新知识的能力. .【新【新题快快递】1.(20141.(2014西安模西安模拟) )定定义平面向量之平面向量之间的一种运算的一种运算“”“”如下如下: :对任意的任意的a=(m,n),=(m,n),b=(p,q),=(p,q),令令ab=mq-np,=mq-np,下面下面说法法错误的是的是( () )A.A.若若a与与b共共线, ,则ab=0=0B.B.
23、ab= =baC.C.对任意的任意的R,R,有有(a)b=(=(ab) )D.(D.(ab) )2 2+(+(ab) )2 2= =a2 2b2 2【解析】【解析】选选B.B.对于对于A,A,由由a与与b共线共线, ,得得mq-np=0,mq-np=0,即即ab=0,=0,故故A A正正确确; ;对于对于B,B,由新定义知由新定义知, ,ab=mq-np,=mq-np,而而ba=np-mq,=np-mq,所以所以abba, ,故故B B错误错误; ;对于对于C,(C,(a)b=(m,n)(p,q)=mq-np=(mq-np)=(m,n)(p,q)=mq-np=(mq-np)=(ab),),故故
24、C C正确正确; ;对于对于D,(D,(ab) )2 2+(+(ab) )2 2=(mq-np)=(mq-np)2 2+(mp+nq)+(mp+nq)2 2=m=m2 2q q2 2+n+n2 2p p2 2+m+m2 2p p2 2+ +n n2 2q q2 2=(m=(m2 2+n+n2 2)(p)(p2 2+q+q2 2)=|)=|a| |2 2| |b| |2 2, ,故故D D正确正确. .2.(20142.(2014合肥模合肥模拟) )如如图, ,在平面斜坐在平面斜坐标系系xOyxOy中中,xOy=,xOy=,平平面上任意一点面上任意一点P P关于斜坐关于斜坐标系的斜坐系的斜坐标这
25、样定定义: :若若 =x =xe1 1+ +y ye2 2( (其中其中e1 1, ,e2 2分分别是是x x轴,y,y轴同方向的同方向的单位向量位向量),),则P P点的斜坐点的斜坐标为(x,y),(x,y),向量的斜坐向量的斜坐标为(x,y).(x,y).给出以下出以下结论: :若若=60,P(2,-1),=60,P(2,-1),则若若P(xP(x1 1,y,y1 1),Q(x),Q(x2 2,y,y2 2),),则若若 =(x =(x1 1,y,y1 1), =(x), =(x2 2,y,y2 2),),则 =x =x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2; ;若若=60,=60,
26、以以O O为圆心心,1,1为半径的半径的圆的斜坐的斜坐标方程方程为x x2 2+y+y2 2+xy-1=0.+xy-1=0.其中所有正确的其中所有正确的结论的序号是的序号是. .【解析】【解析】中中,OP,OP是两邻边长分别为是两邻边长分别为2,12,1且一内角为且一内角为6060的平行的平行四边形较短的对角线四边形较短的对角线, ,解三角形可知解三角形可知 所以所以正确正确; ;结合结合向量的平行四边形加法法则可知向量的平行四边形加法法则可知若若P(xP(x1 1,y,y1 1),Q(x),Q(x2 2,y,y2 2),),则则 (x (x1 1+x+x2 2,y,y1 1+y+y2 2)
27、)是正确的是正确的; =(x; =(x1 1,y,y1 1), =(x), =(x2 2,y,y2 2).).所所以以 =(x =(x1 1e1 1+y+y1 1e2 2)(x)(x2 2e1 1+y+y2 2e2 2),),因为因为e1 1e2 20,0,所以所以 x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2, ,所以所以错误错误;中设圆上任意一点为中设圆上任意一点为P(x,y),P(x,y),因为因为|OP|=1,|OP|=1,所以所以(x(xe1 1+y+ye2 2) )2 2=1,=1,即即x x2 2+y+y2 2+xy-1=0,+xy-1=0,所以所以正确正确. .答案答案: :
