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1、安德森空气动力学课件安德森空气动力学课件9 9凹角上的斜激波： 流动偏转角流动偏转角(turning angle, deflection angle)：固体壁面的偏转角 激波角激波角(shock angle)：波前流动方向与激波夹角以1.4倍当地马赫数运动的声源，突破声障，形成马赫波马赫波和赫波和马赫角赫角(9.1)马赫波马赫波马赫角马赫角补充：超音速流动的影响域和依赖域是一对顶锥（double cone）影响域Influence domain影响域Influence domainM1影响域Influence domain依赖域dependence domainIf the disturban
2、ces are stronger than a simple sound wave, then the wave front becomes stronger than a Mach wave, creating an oblique shock wave at an angle to the freestream, where . This comparison is shown in Fig. 9.4 . However, the physical mechanism creating an oblique shock is essentially the same as that des
3、cribed above for the Mach wave.如果扰动比声波强（强扰动波）,其引起的波振面就会比马赫波强, 产生一个与来流夹角为 的斜激波,且。这一比较在图9.5中给出。然而，斜激波产生的物理机理与上面描述的马赫波的产生完全相同。EXAMPLE 9.1 A supersonic airplane is flying at Mach 2 at an altitude of 16 km. Assume the shock wave pattern from the airplane (see Figure 9.1) quickly coalesces into a mach wav
4、e that intersects the ground behind the airplane, causing a “sonic boom” to be heard by a bystander on the ground. At the instant the sonic boom is heart, how far ahead of the bystander is the airplane?解：斜波产生的根源普朗特梅耶膨胀波斜激波关系式流过尖楔与圆锥的超音速流激波干扰与反射脱体激波激波-膨胀波理论及其在超音速翼型中的应用.2 OBLIQUE SHOCK RELATIONS(斜激波关系
5、式）w1u1w2u2abcdef仍使用正激波推导中使用的控制体：控制体：控制体：面a,d平行于激波，面b,c,e,f垂直与激波连续方程：连续方程：(9.2)w1u1w2u2abcdef动量方程：动量方程：将动力方程分解为两个方向：将动力方程分解为两个方向：1、平行斜激波方向：切线方向、平行斜激波方向：切线方向w1u1w2u2abcdef(9.2)(9.)The tangential component of the flow velocity is constant across an oblique shock.通过斜激波流动的切向速度分量保持不变通过斜激波流动的切向速度分量保持不变动量方程
6、：动量方程：2、垂直斜激波方向：法线方向、垂直斜激波方向：法线方向w1u1w2u2abcdef(9.7)（.7）式中只出现激波的法向分量）式中只出现激波的法向分量积分形式的能量方程：(9.)(9.9)(9.10)(9.11)(9.12)方程(9.2)、(9.7)、(9.12)分别是斜激波的连续、动量、能量方程。它们只包含斜激波的法向速度分量u1、u2，而不包含斜激波的切向速度分量w1、w2 Hence, we deduce that changes across an oblique shock wave are governed only by the component of veloci
7、ty normal to the wave. 因此，我们得出结论通过斜激波的流动特性变化只由垂直于斜激波的速度分量决定(9.2)(9.)(9.7)(9.12)归纳前面推导出的控制方程如下：归纳前面推导出的控制方程如下：结论：结论：1：斜激波不改变切向速度，即穿过斜激波以后，切向速度不变；2：如果用斜激波的法向速度代替正激波的速度V1和V2，则斜激波控制方程组和正激波的完全相同；结论：3：根据正激波产生的条件可以推断，斜激波波前法向速度必定是超音速的，波后法向速度必定是亚音速的。但是注意注意，波后合速度V2不一定是亚音速的，也可能是超音速的；4：斜激波的关系式和正激波完全相同；5：斜激波除了压缩
8、流体，还使流动方向发生改变。 定义法向马赫数：定义法向马赫数：(9.18)(9.13)则有：(9.14)w1u1w2u2abcdef(9.16)(9.17)方程(9.14)-(9.17)表明对于量热完全气体,斜激波的特性只依赖于上游马赫数的垂直分量Mn,1 ,但是,由(9.13)知，Mn,1既依赖于M1又依赖于 .(9.15)方程方程(9.18)引入了偏转角引入了偏转角进入斜激波分析，入斜激波分析，为计算我算我们M2我我们必必须知道知道。然而，。然而， 不是一个独立的自变量即第三个参数，而是不是一个独立的自变量即第三个参数，而是M1和和的函数。下面推导的函数。下面推导与与M1和和的函数关系。的
9、函数关系。(9.19)(9.20)(9.21)w1u1w2u2abcdef(9.22)(9.23)Equation (9.23) is an important equation. It is called the -M relation , and it specifies as a unique function of M1 and . This relation is vital to the analysis of oblique shock wave, and results from it are plotted in Fig. 9.9 for =1.4.方程方程(9.23) 被称
10、为被称为-M 关系式，它限定了关系式，它限定了 为为M1和和的唯一函的唯一函数。数。这是分析斜激波特性的最重要的关系式，其结果在图这是分析斜激波特性的最重要的关系式，其结果在图9.99.9（旧版图（旧版图9.79.7）中给出（）中给出（=1.4）。）。（隐式方程，一般要迭代求解）斜激波的强度不仅取决于波前马赫数，还与激波角 有关系。当给定波前马赫数M1时，激波强度仅取决于激波角 。图图9.9给出的是以波前马赫数为参数，激波角给出的是以波前马赫数为参数，激波角随偏转角随偏转角的变化的变化曲线，这个图非常重要，我们要用它来求解和分析斜激波特性。曲线，这个图非常重要，我们要用它来求解和分析斜激波特性
11、。图图9.9说明了许多与斜激波相关的物理现象说明了许多与斜激波相关的物理现象.例如例如:（教材中的分析2）给定M1和 ，对应两道斜激波，亦即通过迭代计算，可以得出两个激波角。这两个激波角对应两个斜激波：较大激波角激波较强，称强斜激波；较小激波角激波强度较弱，称弱斜激波。在图中，有一道近似平行的实线用来区分强、弱斜激波。图中还有一道近似平行的虚线，对应激波跨过弱斜激波后的波后马赫数。其上波后马赫数M21.弱激波和强激波超声速流动中的附体斜激波总是弱斜激波；喷管流动中，反压较高时，出口截面可能 形成强斜激波。流动偏转角与波强的关系：教材中分析3 1、当M2=M1时，越过激波马赫数不变斜激波退化为声
12、波（马赫波），对应流动偏转角=0，对应的激波角=（马赫角）。 2、当=/2时，斜激波变成正激波，对应流动偏转角也是0。 3、在这两种状态之间，0.说明流动偏转角必存在一个最大值max，其对应的激波角为max.(教材中分析1)0M2=M1越过激波马赫数不变斜激波退化为马赫波=0波强度=0=0=/2正激波波强度最大有最大值max对应max考虑另外一个实验。让我们保持M1不变而增大偏转角。如图9.13所示。随着的增大，激波角增大，Mn,1是增大的，激波将会变强。但是，一旦角超过max,激波会变成脱体激波。对于图9.11中M1=2.0的情况， 230时就会出现脱体激波。图图9.13增大偏转角的影响增大
13、偏转角的影响由公式（9.23），有=f(M1,).给定M1，如果 max，求不出。此时激波脱体，成为脱体激波。图图9.10 附体激波和脱体激波附体激波和脱体激波最大偏转角max的物理意义： 当实际流动的偏转角超过最大偏转角时，流动将不再满足斜激波流动控制方程斜激波离开凹角，向上游移动某一距离成为脱体激波。最大偏转角最大偏转角max是斜激波可以附体的最大可能的流动偏转角。是斜激波可以附体的最大可能的流动偏转角。M ， max。波前马赫数和激波角的关系：（教材分析四） 对给定半顶角为的尖楔：M1M1波强增加，更加附体波强减小，容易脱体M1图图9.12增大上游马赫数的影响增大上游马赫数的影响小结：小
14、结：1、对于一个给定的波前马赫数，存在一个、对于一个给定的波前马赫数，存在一个max。 max出现弯的脱体激波。出现弯的脱体激波。 2、对应一个、对应一个值（值（ M2m3，激波强度越来越弱。，激波强度越来越弱。这种反射称为规则反射。这种反射称为规则反射。马赫反射（马赫反射（Mach Reflection) 当入射激波在固壁上的反射不能形成当入射激波在固壁上的反射不能形成附体激波时，将产生时，将产生脱体激波。脱体激波与入射激波相交。这种激波反射叫做。脱体激波与入射激波相交。这种激波反射叫做马赫反射。反射波后的特性没有理论方法求解，可采用数值解法求解。反射波后的特性没有理论方法求解，可采用数值解
15、法求解。图图9.20 激波在壁面上的马赫反射激波在壁面上的马赫反射M1M2入射激波马赫激波反射激波滑移线M3M4穿过两道斜激波的流动和穿过一道正激波的流动，一般情况下具有不同的流动参数，必然有一道分隔线将它们分开。这种把流场分隔成两个具有不同流动参数的流线称为滑移线（slip line）；穿过滑移线静压和流动方向必须相同，但是静温、速度大小等可以不同，特别是熵不相同。注：注意区分滑移线的间断和激波的间断。激波的间断是所有参数的间断，而滑移线的间断是某些参数的间断。 异侧激波的异侧激波的规则相交规则相交图图9.21左行激波与右行激波的左行激波与右行激波的规则相交规则相交透射斜激波透射斜激波透射斜
16、激波透射斜激波左行激波左行激波右行激波右行激波 异侧激波的马赫相交异侧激波的马赫相交P653. 同同侧激波的相交激波的相交 两同向激波相交形成一更强的激波两同向激波相交形成一更强的激波CD, 同时伴随一个同时伴随一个弱反射波弱反射波CE。这一反射波是必须的，以调节保证滑移线。这一反射波是必须的，以调节保证滑移线CF分开的分开的4区和区和5区速度方向相同区速度方向相同。图图9.22 两左行波相交两左行波相交M1M2M3滑移线两侧流动参数比较例例9.7 假设由假设由10o偏转角压缩而产生一斜激波。波前马赫数为偏转角压缩而产生一斜激波。波前马赫数为3.6，气体压强和温度均为海平面标准状况。这个斜激波
17、碰到在压，气体压强和温度均为海平面标准状况。这个斜激波碰到在压缩角上方的一直壁。此流动如图缩角上方的一直壁。此流动如图9.19所示。计算反射激波与直壁所示。计算反射激波与直壁的夹角的夹角，反射激波之后的压强、温度和马赫数。，反射激波之后的压强、温度和马赫数。解：由解：由图图9.9，对于，对于M1=3.6, =10o, 我们可查出我们可查出，1=24o。因此，因此， Mn,1=M1Sin1=3.6Sin24o=1.464查附表查附表B，则得：，则得：因此有：因此有：至此，我们得到了入射激波之后的流动特性。即完成了步骤至此，我们得到了入射激波之后的流动特性。即完成了步骤1。我们前面求出的入射激波波
18、后的流动特性即为反射激波波前的我们前面求出的入射激波波后的流动特性即为反射激波波前的流动条件。我们同时知道通过反射激波流动必须偏转流动条件。我们同时知道通过反射激波流动必须偏转10度以满度以满足上壁面边界条件。由反射激波前马赫数足上壁面边界条件。由反射激波前马赫数M2=2.96，偏转角，偏转角=10o ，查，查-M图（图图（图9.9），可得），可得 2=27.3o。由图由图9.19可以看可以看出：出： =2-=27.3o-10o=17.3o同样，由反射激波前的法向马赫数分量同样，由反射激波前的法向马赫数分量Mn,2=M2Sin2=1.358,查查附表附表B可得：可得：因此有：对于海平面标准大气
19、条件，对于海平面标准大气条件，p1=1atm, T1=288K, 因此有：因此有：9.5 DTACHED SHOCK WAVE IN FRONT OF A BLUNT BODY 钝头体前的脱体激波钝头体前的脱体激波Shock detachment distance ：激波脱体距离；：激波脱体距离；Sonic line:音速线音速线图图9.23绕钝头体的超音速流动绕钝头体的超音速流动图图9.24与图与图9.23对应的对应的- -M曲线曲线在图在图9.23中，点中，点a处激波与来流垂直。离开点处激波与来流垂直。离开点a， 激波逐渐变弯变激波逐渐变弯变弱，最后在远离物体的地方变为马赫波（图弱，最后在
20、远离物体的地方变为马赫波（图9.23中的中的e点）。点）。A curved bow shock wave is one of the instances in nature when you can observe all possible oblique shock solutions at once for a given freestream Mach number, M1. This takes place between points a to e. 弯曲弓形激波是可让你观察到在同一来流马赫数下弯曲弓形激波是可让你观察到在同一来流马赫数下所有所有可能的斜可能的斜激波解的例子之一。对应
21、由激波解的例子之一。对应由a 至至 e之间的各点之间的各点. a-c: 对应强解；对应强解；c: 对应最大偏转角对应最大偏转角max 点。点。c-c: 对应波后马赫数小于对应波后马赫数小于1的弱解。的弱解。c: 对应激波之后气流速度为音速的点。对应激波之后气流速度为音速的点。c-e：对应激波之后马赫数大于对应激波之后马赫数大于1的弱解。的弱解。弓形激波与钝头体之间的流动为超音速流和亚音速流的混合弓形激波与钝头体之间的流动为超音速流和亚音速流的混合区。亚音速区与超音速区的分界线被称为音速线。区。亚音速区与超音速区的分界线被称为音速线。脱体激波的形状，激波脱体距离脱体激波的形状，激波脱体距离，以及
22、整个流场的解由来流，以及整个流场的解由来流马赫数，钝头体的尺寸与形状确定。采用数值求解技术可以马赫数，钝头体的尺寸与形状确定。采用数值求解技术可以得到该流场的解。得到该流场的解。9.6 PRANDTL-MEYER EXPANSION WAVES 普朗特普朗特-梅耶膨胀波梅耶膨胀波在光滑无摩擦的表面上，当超声速流动遇到尖凸角时，由于物理边界的要求，流向必须发生偏转，这种扰动就会产生膨胀波膨胀波。特别要注意：膨胀过程是一个等熵过程。特别要注意：膨胀过程是一个等熵过程。M1的马赫线的马赫线M2马赫线马赫线扇形膨胀区扇形膨胀区偏转必须逐步进行偏转必须逐步进行普朗特-迈耶（Prandtl-Meyer）流
23、动：绕尖凸角的定常均匀平行二维流动，可以像斜激波那样用一维方法分析。这种膨胀波称为：普朗特-迈耶膨胀波。 基本假设：二维定常超音速流，全流场等熵；绕拐角偏转之前，所有流线平行于壁面，是直线；偏转之前所有的流动参数均匀，且均为常数；完成偏转后，下游所有流动参数也是均匀的常数，流线平行于拐角后的壁面；在扇形膨胀波区内，沿着拐角发出的每一条马赫线（膨胀波）上，流动参数都是常数，马赫线是直线。图9.26 通过无限弱波（极限马赫波）的无限小变化的几何关系图P+dPV+dV M+dMPVM 考虑一个以无限小的偏转考虑一个以无限小的偏转d d 引起的非常弱的波，引起的非常弱的波，如上图所示。这个波实际上就是
24、与上游速度夹角为如上图所示。这个波实际上就是与上游速度夹角为的马赫波。我们前面已经证明了通过斜的马赫波。我们前面已经证明了通过斜激激波波前波后波波前波后的切向速度分量保持不变。所以将波前速度的切向速度分量保持不变。所以将波前速度的大小与的大小与方向用方向用ABAB矢量线段表示画在波后，就与表示波后速度矢量线段表示画在波后，就与表示波后速度大小和方向的大小和方向的ACAC矢量线段构成一个三角形矢量线段构成一个三角形ABCABC。三个。三个内角的大小如图所示。内角的大小如图所示。注意注意, ,波前波后切向速度分量波前波后切向速度分量不变保证了不变保证了CBCB垂直于马赫波垂直于马赫波。对对ABC应
25、用正弦定理应用正弦定理：(9.32)Equation (9.23) relates the infinitesimal change in velocity, dV, to the infinitesimal deflection across a wave of vanishing strength. In the precise limit of a Mach wave, of course dV and hence are zero. In this case, Eq. (9.32) is an approximate equation for a finite , but it bec
26、omes a true equality as . Since the expansion fan illustrated in Figs. 9.1b and 9.23 is a region of an infinite number of Mach waves, Eq. (9.32) is a differential equation which precisely describes the flow inside the expansion wave. 方程方程(9.32)式将无限小的速度变化式将无限小的速度变化 dV与通过无限弱强度波的气与通过无限弱强度波的气流偏转角流偏转角 相联
27、系。在对应精确马赫波的情况下，相联系。在对应精确马赫波的情况下，dV=0, 因因此此 。(9.32)式对于有限值式对于有限值 是一个近似方程，而当是一个近似方程，而当 时，是一个精确等式。由于图时，是一个精确等式。由于图9.2b 和和 9.25 中的扇形膨胀波是中的扇形膨胀波是由无穷多个马赫波组成，因此，由无穷多个马赫波组成，因此， (9.32)(9.32)式是一个精确描述膨胀式是一个精确描述膨胀波内部变化的微分方程。波内部变化的微分方程。参照图9.25,将(9.32)式从偏角为零，马赫数为M1的区域1，积分到偏角为，马赫数为M2的区域2：(9.32)(9.33)（9.38)（9.39)同时求
28、导8.40先取对数，再同时求导（a0为常数为常数）将将(9.39)式代入到（式代入到（9.33)式，得到：式，得到：（9.40)（9.41) 被称为Prandtl-Meyer函数(角)，其具体表达式如下：（9.42)因此，（9.40)的积分可以表示为：（9.43)（9.43) is given by Eq. (9.42) for a calorically perfect gas. The Prandtl-Meyer function is very important; it is the key to calculation of changes across an expansion w
29、ave. Because of its importance, is tabulated as a function of M in App. C. For convenience, values of are also tabulated in App.C.对于量热完全气体对于量热完全气体, 由由(9.42)式给定。式给定。Prandtl-Meyer 函数函数 非常重要，它是计算通过膨胀波气体特性变化的非常重要，它是计算通过膨胀波气体特性变化的关键；由于其重要性，关键；由于其重要性， 作为马赫数作为马赫数M的函数在附录的函数在附录C中以中以列表形式给出。同时马赫角列表形式给出。同时马赫角 作
30、为作为M的函数也在附录的函数也在附录C中中给出。给出。普朗特迈耶流动的计算设初始马赫数M1，膨胀后马赫数M2，流动偏转角可以表示为：称为普朗特迈耶角。物理意义：1、初始为声速的流动膨胀到马赫数为M时所必须偏转的角度；2、任何超声速流动都可以假想是由声速流经偏转而来的，所以普朗特迈耶角与马赫角一样是超声速流动的特征参数。普朗特迈耶流动的最大流动偏转角马赫数，则；当马赫数，max存在最大值（量热完全气体）：物理意义：初始速度为音速时，可能的最大流动偏转角；或者说偏转这个角度时，流动可以膨胀到马赫数无穷大。习题习题9.15实际中，最大流动偏转角不可能实现，因为：1、真实流动有粘性，膨胀到移动程度流动
31、从表面分离；2、与最大流动偏转角对应的压强是0，连续介质假设不成立。下面我们应用以上结果给出求解图下面我们应用以上结果给出求解图9.26所示问题的具体步骤：所示问题的具体步骤：1.对于给定对于给定M1，由附录，由附录C查得查得 。2.由由 计算计算 。3.根据第根据第2步计算出的步计算出的 ，查附录，查附录C得到得到M2。4.因为膨胀波是等熵的，因此因为膨胀波是等熵的，因此p0和和T0通过膨胀波保持不变。即通过膨胀波保持不变。即T0,1=T0,2, p0,1=p0,2。由。由(8.40)式，式， (8.42)式，我们有式，我们有（9.44）（9.45）例例9.8 马赫数、压强、温度分别为马赫数
32、、压强、温度分别为1.5, 1atm, 288K的超音速气流流的超音速气流流过如图过如图9.23偏转角为偏转角为15o的凸角，计算的凸角，计算M2，T2，p0,2，T0,2以及前马以及前马赫波及后马赫波与上游来流的夹角。赫波及后马赫波与上游来流的夹角。解：解：1.对于给定对于给定M1=1.5，查附录，查附录C得得 。2.由由 (9.43)式计算得式计算得 。3.由由 查附录查附录C 得得M2=2.0。(近似）近似）4.由附录由附录A， 对应对应M1=1.5，有，有p0,1/p1=3.671，T0,1/T1=1.45 对应对应M2=2.0，有，有p0,2/p2=7.824，T0,2/T2=1.8
33、 因为流动是等熵的，所以因为流动是等熵的，所以T0,2=T0,1， p0,2=p0,1所以：所以：前马赫波与上游来流夹角前马赫波与上游来流夹角=后马赫波与上游来流夹角后马赫波与上游来流夹角=补充补充:Prandtl-Myer关系式关系式的应用的应用等熵压缩马赫波等熵压缩马赫波-满足满足Prandtl-Myer关系式关系式可以使用普朗特迈耶关系式普朗特迈耶关系式，由1区的流动特性计算2区的流动参数。同样可以使用普朗特迈耶关系式普朗特迈耶关系式，由1区的流动特性计算2区的流动参数。DESIGN BOX超燃冲压发动机(SCRAMjet)的基本设计特征前体波头部开始的 激波压缩气流；超燃冲压发动机舱
34、通过进气道内反射激波系进一步压缩气流并与燃料混合，从发动机尾部膨胀喷出；飞行器后部膨胀面 使喷出气流进一步膨胀发动机整流罩在设计飞行状态要求前体激波接到整流罩前缘如图如图9.30所示：前体激波之后还可以通过等熵压缩在气所示：前体激波之后还可以通过等熵压缩在气流进入进气道之前进一步压缩。流进入进气道之前进一步压缩。影响超燃冲压发动机性能和气动特性的因素与物理问题有：影响超燃冲压发动机性能和气动特性的因素与物理问题有：前缘钝头前缘钝头降低头部气动加热降低头部气动加热粘性边界层及激波边界层干扰粘性边界层及激波边界层干扰产生阻力和气动加热；引起气流产生阻力和气动加热；引起气流分离与再附分离与再附层流向
35、湍流转捩层流向湍流转捩影响阻力和气动热影响阻力和气动热激波间干扰激波间干扰引起发动机整流罩严重的气动加热问题引起发动机整流罩严重的气动加热问题超燃冲压发动机的原理草图：超燃冲压发动机的原理草图：4-5：燃烧室（：燃烧室（Combustor)M高度(m)M4A0/A4P4/pP4(N/m2)T4(K) V4(m/s)7244073.143 10.85 47911.1806175510291084.143 16.49 89.6851.31087 266515348235.502 25.23 185.9 763.21600 423920419896.650 33.11313.6 479.82263
36、5989特点特点:燃烧气流具有高马赫数燃烧气流具有高马赫数例9.9 在前面的对超燃冲压发动机的讨论中，提到了等熵压缩波作为可能的压缩机制之一。考虑如图9.34a所示的等熵压缩。压缩波上游的马赫数和静压分别为：M1=10，p1=1atm。气流总的偏转角为15度。计算压缩波后区域2的马赫数和压强。由附录C，根据 2 的值，可得：在区域2，由附录C，M1=10时，由附录A，得到p0,1/p1, p0,2/p2 的值，即可得：例9.10 考虑如图9.34b所示的压缩凹角。上游的马赫数和静压与例9.9一样分别为：M1=10，p1=1atm。气流通过一道斜激波偏转角15度。计算激波后区域2的马赫数、静压和
37、总压。与例9.9相比较并讨论比较的意义。解: 由图9.9可得：M1=10，=15度，对应因此：9.7 SHOCK-EXPANSION THEORY : APPLICATIONS TO SUPERSONIC AIRFOILS激波激波膨胀波理论及其对超音速翼型的应用膨胀波理论及其对超音速翼型的应用 例例1 平板翼型：平板翼型：(9.46)(9.47)(9.48)(9.46)-(9.48)式中，式中，p3 由斜激波特性计算而得，由斜激波特性计算而得，p2由膨胀由膨胀波特性计算而得。象这样由激波波特性计算而得。象这样由激波-膨胀波理论膨胀波理论(shock-expansion theory)计算得到解
38、是精确解。计算得到解是精确解。图图9.26中中,平板翼型上表面为前缘处膨胀波后的压强平板翼型上表面为前缘处膨胀波后的压强p2， 下表面为前缘处斜激波后的压强下表面为前缘处斜激波后的压强 p3， p3 p2，因此平板翼，因此平板翼型受到合力型受到合力R的作用，可分解为升力的作用，可分解为升力L和阻力和阻力D： PRESSURE DISTRIBUTION ON FLAT PLATE AT SUBSONIC AND SUPERSONIC亚声速平板：因前缘绕流速度很大，前缘载荷很大，后缘满亚声速平板：因前缘绕流速度很大，前缘载荷很大，后缘满足压强相等的库塔条件，后缘载荷为零；足压强相等的库塔条件，后缘
39、载荷为零；超声速平板：因超声速绕流，上下表面流动互不影响，上下超声速平板：因超声速绕流，上下表面流动互不影响，上下翼面压强系数大小相等，方向相反，载荷系数为常数翼面压强系数大小相等，方向相反，载荷系数为常数 。什么情况下可以利用激波什么情况下可以利用激波-膨胀波理论来求解翼型的气膨胀波理论来求解翼型的气动特性？动特性？Whenever we have a body made up of straight-line segments and the deflection angles are small enough so that no detached shock waves occur,
40、the flow over the body goes through a series of distinct oblique shock and expansion waves, and the pressure distribution on the surface (hence the lift and drag) can be obtained exactly from both the shock- and expansion wave theories discussed in this chapter. 只要翼型是由直线段组成的，且流动偏转角足够小能保证没有只要翼型是由直线段组
41、成的，且流动偏转角足够小能保证没有脱体激波出现，那么绕翼型的超音速流动就是由一系列斜激波、脱体激波出现，那么绕翼型的超音速流动就是由一系列斜激波、膨胀波组成的，因此，我们可以应用激波膨胀波组成的，因此，我们可以应用激波- -膨胀波理论精确地求膨胀波理论精确地求解翼型表面的压力分布进而翼型的升力和阻力。解翼型表面的压力分布进而翼型的升力和阻力。例例2：对称菱形翼型（：对称菱形翼型（Diamond-shape airfoil)受力分析：受力分析：a、c面压强均匀相等，用面压强均匀相等，用p2表示，为压缩偏转角为表示，为压缩偏转角为的斜激波后的压强；的斜激波后的压强；b、d面压强均匀相等，面压强均匀
42、相等，用用p3表示表示,为膨胀为膨胀偏转角为偏转角为2 2的膨胀波后的压强。的膨胀波后的压强。因为流动是上下因为流动是上下 对称的，所以对称的，所以L=0；而由于；而由于p2p3, 所以会有所以会有阻力分量阻力分量D。即：即：（9.49)讨论：讨论：这一节的结果说明了无粘、超音速流动的一个非常这一节的结果说明了无粘、超音速流动的一个非常重要的特征。由（重要的特征。由（9.48)式和式和(9.49)式可以看出，二维式可以看出，二维翼型在超音速流中将受到一定的阻力。这和我们在翼型在超音速流中将受到一定的阻力。这和我们在第第3、4章中讨论的低速无粘不可压缩流动绕二维物章中讨论的低速无粘不可压缩流动绕
43、二维物体阻力为零的结果恰恰相反。体阻力为零的结果恰恰相反。在超音速流中，二维物体要受到的阻力的作用，这在超音速流中，二维物体要受到的阻力的作用，这一阻力被称为波阻。降低波阻是超音速翼型设计中一阻力被称为波阻。降低波阻是超音速翼型设计中的一个重要考虑因素。波阻的存在在本质上与翼型的一个重要考虑因素。波阻的存在在本质上与翼型产生的激波有关，即与通过激波的熵增和总压损失产生的激波有关，即与通过激波的熵增和总压损失有关。有关。在同样来流马赫数下，翼型的厚度越大，其零升波在同样来流马赫数下，翼型的厚度越大，其零升波阻越大。阻越大。例9.8 已知M1=3=5。求Cl,Cd.M1=3p15解：首先计算上表面
44、的首先计算上表面的p2/p1. 由由M1=3, 查附表查附表C，得，得 。由由 及及 ，得得 ；查附表；查附表C得得M2=3.27。所以：所以： 其中：其中：p0,1/p1 与与 p0,2/p2均由附表均由附表A查得查得。第二步，计算下表面的第二步，计算下表面的p3/p1。由图。由图9.7可知，对于可知，对于M1=3， ,=23.10 ，因此，因此 查附表查附表B，对于，对于Mn,1=1.177, p3/p1=1.458。本例的阻力系数还可利用下面关系简便求解：本例的阻力系数还可利用下面关系简便求解：因此：因此：9.9 粘性流:激波/边界层干扰习题习题 9.79.7半顶角为半顶角为30.230
45、.2。的尖楔放入的尖楔放入 和和 的自由流中。的自由流中。 PitotPitot管放在尖楔上表面的激波后面，计算管放在尖楔上表面的激波后面，计算PitotPitot管所测得的压强的大小管所测得的压强的大小? ?解：解：由由 图图可知：可知： ， 由附录由附录B得：得：查附录查附录B得：得：当当M=3.5时，查表时，查表A： 则则 ：习题9.14p1p2p3p4p51-2：偏转角=5膨胀波2-3：偏转角=20膨胀波1-4：偏转角=25斜激波4-5：偏转角=20膨胀波分别求出：P2/p1P3/p1P4/p1P5/p1令令 为对称菱形的边的长度为对称菱形的边的长度习题习题9.16 考虑一个体轴与来流
46、垂直的圆柱体和一考虑一个体轴与来流垂直的圆柱体和一个迎角为零、半顶角为个迎角为零、半顶角为50的对称菱形翼型。菱形翼的对称菱形翼型。菱形翼型厚度与圆柱的直径相同。来流马赫数为型厚度与圆柱的直径相同。来流马赫数为5时，圆时，圆柱的阻力系数为柱的阻力系数为4/3（基于迎风投影面积），计算（基于迎风投影面积），计算在相同来流马赫数在相同来流马赫数5时圆柱阻力与对称菱形翼型的时圆柱阻力与对称菱形翼型的阻力的比。由本题计算结果（比较超音速流中的钝阻力的比。由本题计算结果（比较超音速流中的钝头体和尖头细长体的气动性能），可以得出什么结头体和尖头细长体的气动性能），可以得出什么结论？论？dtd=t解：解：
47、对于对于基于迎风投影面积基于迎风投影面积的阻力系数为的阻力系数为C Cd d圆柱体，圆柱体，其阻力为：其阻力为：对于对称菱形翼型：对于对称菱形翼型：To calculate p2/ p1, we have, for M1 =5 and From Appendix B,for ,Also,To calculate，the flow is expended through an angle of From Table C,forHence,(nearest entry)From Appendix A:forforFrom Appendix B:Thus,因此因此提示：钝头体的阻力要大得多，这就是我
48、们为什么提示：钝头体的阻力要大得多，这就是我们为什么在超音速飞行器中避免使用钝头前缘的原因。（而在超音速飞行器中避免使用钝头前缘的原因。（而在超高音速条件下，钝头前缘可以减小气动热）在超高音速条件下，钝头前缘可以减小气动热）9.9 小结小结马赫角赫角：超音速流中，微弱扰动波传播形成的波振面与流速方向的夹角。普朗特普朗特- -迈耶角迈耶角流动由音速膨胀加速到马赫数M所需的偏转角；或音速流动偏转角度可以膨胀加速到马赫数。 通过斜激波流动特性的变化由斜激波前的法向速通过斜激波流动特性的变化由斜激波前的法向速度分量决定。对于量热完全气体，上游法向马赫数是度分量决定。对于量热完全气体，上游法向马赫数是决
49、定性参数。通过斜激波的流动参数变化可利用第决定性参数。通过斜激波的流动参数变化可利用第8章中的正激波关系式对应波前法向马赫数章中的正激波关系式对应波前法向马赫数Mn,1求得。求得。通过斜激波的气体特性变化取决于两个参数，通过斜激波的气体特性变化取决于两个参数，M1,或或M1,。图。图9.9给出了给出了M1,曲线，必须仔细地研究它。曲线，必须仔细地研究它。 斜激波入射到固壁表面上将会从表面反射斜激波入射到固壁表面上将会从表面反射,反反射波以保证物面处流动相切条件的形式出现射波以保证物面处流动相切条件的形式出现.不同不同斜激波会相互干扰，其干扰结果取决于激波的具斜激波会相互干扰，其干扰结果取决于激波的具体形式：体形式：规则反射；马赫反射规则相交；马赫相交 决定中心膨胀波的参数是普朗特决定中心膨胀波的参数是普朗特-梅耶函数梅耶函数(M)。联系下、上游马赫数。联系下、上游马赫数M1、M2及偏转角及偏转角的的重要方程是：重要方程是： 由直线段组成的超音速翼型的压强分布可由直线段组成的超音速翼型的压强分布可以用斜激波、膨胀波理论精确地计算出来。以用斜激波、膨胀波理论精确地计算出来。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！147
