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1、Automatic Control Principle Page: 1自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 4.2 4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则 根轨迹是在某一可变参数的变化范围，用复平面上的曲线表示系统所有闭环极点的分布情况。 根轨迹变化多样，纵横交叉。如何准确反映根轨迹的主要特征，是根轨迹图绘制的关键。如何准确把握根轨迹的主要特征，也是应用根轨迹图进行控制系统分析设计的关键。 参数变化范围为 ，其对应的根轨迹称为180。根轨迹；系统开环根轨迹增益 ，对应的根轨迹称为常规根轨迹。近似绘制且着重反映其主要特征的根轨迹称为概略根轨迹。Automatic
2、Control Principle Page: 2自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 根轨迹的分支数等于开环传递函数分子多项式和分母多项式次数的最大者，即等于 。 根轨迹连续且关于实轴对称。一、常规根轨迹的主要特征法则法则1 1 根轨迹的分支数、对称性连续性根轨迹的分支数、对称性连续性 根轨迹的主要特征应反映根轨迹的起始和终止、相交与分离、与实轴或虚轴相交与分离等情况，通过 7条基本法则予以确定。 系统特征方程是实系数复变量分式函数，因此特系统特征方程是实系数复变量分式函数，因此特征根共轭成对出现。当可变参数连续变化时，根亦连征根共轭成对出现。当可变参数连续变化时，根亦
3、连续变化。续变化。 可变时，可变时， ; ;其它参数可变时，可能有其它参数可变时，可能有Automatic Control Principle Page: 3自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 根轨迹终点根轨迹终点根轨迹起点根轨迹起点m m个开环有限零点个开环有限零点n n个开环有限极点个开环有限极点法则法则2 2 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点由根轨迹方程，有由根轨迹方程，有由根轨迹方程，又有由根轨迹方程，又有根轨迹共有根轨迹共有 条分支。当条分支。当 时，时，系统除了开环系统除了开环有限极点有限极点或或有限零点外有限零点外，其余的开环极，其余的开环极点或开环零
4、点是什么？点或开环零点是什么？ 根轨迹起于开环极点，终于开环零点。开环无限极点或无限零点，在无穷远处开环无限极点或无限零点，在无穷远处根轨迹图中，用箭头表示随根轨迹图中，用箭头表示随 的增大，根的变化方向。的增大，根的变化方向。Automatic Control Principle Page: 4自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 当当 时，由根轨迹的模值条件时，由根轨迹的模值条件具体趋向由具体趋向由渐近线给出渐近线给出当当 时，由根轨迹的模值条件时，由根轨迹的模值条件因而，根轨迹有因而，根轨迹有 个个开环无限极点开环无限极点。因而，根轨迹有因而，根轨迹有 个个开环无限
5、零点开环无限零点。具体趋向由具体趋向由渐近线给出渐近线给出Automatic Control Principle Page: 5自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 法则法则3 3 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 当 时， 条根轨迹分支沿着与实轴夹角为 、交点为 的一组渐近线趋向无穷远处。 当 时， 条根轨迹分支沿着与实轴夹角为 、交点为 的一组渐近线渐离无穷远处。 条渐近线，条渐近线，等分圆周等分圆周，交于，交于 ，与正实，与正实轴相邻的渐近线与正实轴的夹角为轴相邻的渐近线与正实轴的夹角为 。终止于终止于起始于起始于两个相邻渐近两个相邻渐近线之间的夹角线之间的夹角Auto
6、matic Control Principle Page: 6自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 根轨迹的渐近线是无穷远处根轨迹曲线根轨迹的渐近线是无穷远处根轨迹曲线 的切线的切线由多项式除法由多项式除法当当 较大时，根轨迹方程近似有较大时，根轨迹方程近似有由二项式的幂级数由二项式的幂级数当当 较大时，取一阶近似。较大时，取一阶近似。整理得整理得渐近线方程渐近线方程Automatic Control Principle Page: 7自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 取取 ，由渐近线方程得，由渐近线方程得即即 其中其中 分别为渐近线截距和渐近线
7、倾角分别为渐近线截距和渐近线倾角 由由多项式的根与系数关系多项式的根与系数关系 Automatic Control Principle Page: 8自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 例例4.2-1 4.2-1 已知单位反馈系统的开环传递函数为已知单位反馈系统的开环传递函数为试分析开环极点参数变化时渐近线。试分析开环极点参数变化时渐近线。解：解：解：解： 系统共有系统共有系统共有系统共有4 4 4 4条根轨迹分支，有条根轨迹分支，有条根轨迹分支，有条根轨迹分支，有4 4 4 4个开环有限极点，个开环有限极点，个开环有限极点，个开环有限极点，4 4 4 4个开环无限零点
8、，故有个开环无限零点，故有个开环无限零点，故有个开环无限零点，故有4 4 4 4条渐近线条渐近线条渐近线条渐近线Automatic Control Principle Page: 9自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 法则法则4 4 根轨迹在实轴上的分布根轨迹在实轴上的分布 根轨迹在实轴上按区间分布，任一根轨迹区间的右侧的开环实有限零极点数为奇数。 系统的开环零极点分系统的开环零极点分为两类：实数零极点和复为两类：实数零极点和复数零极点，且复数零点或数零极点，且复数零点或复数极点必共轭成对。复数极点必共轭成对。系统系统开环零极点开环零极点的分布为的分布为图示，取实轴任一
9、点图示，取实轴任一点对相角条件不产生影响对相角条件不产生影响对复共轭开环极点对复共轭开环极点对复共轭对复共轭开环零点开环零点结果相同结果相同Automatic Control Principle Page: 10自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 对对 左侧左侧任一开环实极任一开环实极点点对对 右侧右侧任一开环实极点任一开环实极点 点的相角条件只取决于其右点的相角条件只取决于其右 侧的开环实有限零点与实有限极点数侧的开环实有限零点与实有限极点数的差值。即若的差值。即若 为根轨迹上的点，为根轨迹上的点，则则开环实有限开环实有限零极点数的零极点数的差值为奇数差值为奇数开环实
10、有限开环实有限零极点数的零极点数的和为奇数和为奇数对对 左侧左侧任一开环实任一开环实零点结果相零点结果相同同对对 右侧右侧任一开环实零点任一开环实零点Automatic Control Principle Page: 11自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 推广：推广：对实轴上按开环实有限零极点划分的任一区间，对实轴上按开环实有限零极点划分的任一区间，若区间右侧开环实有限零极点数为奇数，则该区间为若区间右侧开环实有限零极点数为奇数，则该区间为根轨迹。根轨迹。j0j0j0j0Automatic Control Principle Page: 12自自动动控控制制原原理理
11、南南京京航航空空航航天天大大学学 同时需满足同时需满足 法则法则5 5 根轨迹的分离点与分离角根轨迹的分离点与分离角 条根轨迹分支在分离点处会合又立即分开，分离点 满足以下方程 分离点处根轨迹的分离角 为分离点是根轨迹的分离点是根轨迹的交点交点，因此是特征方程的，因此是特征方程的重根重根分离点处一共有多少分离点处一共有多少条根轨迹分支？条根轨迹分支？分离点处相邻两条根分离点处相邻两条根轨迹分支切线之间的轨迹分支切线之间的夹角等于夹角等于应有应有必要条件而必要条件而非充分条件非充分条件分离点处，根轨迹进分离点处，根轨迹进入分离点的切线方向入分离点的切线方向与离开分离点的切线与离开分离点的切线方向
12、之间的夹角方向之间的夹角分离点是分离点是 条根轨迹的条根轨迹的交点交点，因此是特征方程的，因此是特征方程的 重根重根Automatic Control Principle Page: 13自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 只能有只能有一个？一个？代入代入 的零极点表示形式，即得分离点方程。的零极点表示形式，即得分离点方程。 实轴上的根轨迹区间，若两端点实轴上的根轨迹区间，若两端点均为开环零点，均为开环零点，或均为开环极点时或均为开环极点时，其区间内，其区间内必有一个必有一个分离点。分离点。至少有至少有一个？一个？区间的一个端点可以是开环区间的一个端点可以是开环无限零点
13、或开环无限极点？无限零点或开环无限极点？分离点方程适合试探法求解。分离点方程适合试探法求解。 常见的分离点一般为实轴上两条根轨迹的分离点，常见的分离点一般为实轴上两条根轨迹的分离点，但也有复数分离点的情况。但也有复数分离点的情况。由根轨迹方程有由根轨迹方程有 和和复数分离点共轭成对出现复数分离点共轭成对出现区间的两端点分别是开环零点和区间的两端点分别是开环零点和开环极点，区间内有无分离点？开环极点，区间内有无分离点？Automatic Control Principle Page: 14自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 例例4.2-2 4.2-2 已知单位反馈系统的开
14、环传递函数为已知单位反馈系统的开环传递函数为试分析开环极点参数变化时根轨迹的分离点。试分析开环极点参数变化时根轨迹的分离点。解：解： 开环极点开环极点开环极点开环极点 参数变化时，参数变化时，参数变化时，参数变化时，根轨迹分离点的变化分为三类情况：根轨迹分离点的变化分为三类情况：根轨迹分离点的变化分为三类情况：根轨迹分离点的变化分为三类情况： 取取取取 取取取取 取取取取 Automatic Control Principle Page: 15自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 例例4.2-3 已知已知单位反位反馈系系统开开环传递函数函数为 引入串引入串联P-I控制控制
15、试确定系确定系统根根轨迹存在分离点的条件。迹存在分离点的条件。-0.50.511.50d=-1-1.5-2-2.5-3-1/3 分离点：由闭环特分离点：由闭环特征方程及其导数方程联立求征方程及其导数方程联立求解解解：解：Automatic Control Principle Page: 16自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 法则法则6 6 根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角 根轨迹在开环极点处，切线与实轴正方向的夹角 根轨迹在开环零点处，切线与实轴正方向的夹角在紧邻任一开环有限极点在紧邻任一开环有限极点 的根轨迹上取一点的根轨迹上取一点 由相角条件可得由相角
16、条件可得 当当 沿根轨迹无限趋近于沿根轨迹无限趋近于 时，则起始角时，则起始角终止角同理可得终止角同理可得起始角起始角终止角终止角只对开环只对开环有限零极点有限零极点? ?Automatic Control Principle Page: 17自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 法则法则7 7 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点 为 的解设设 为根轨迹与虚轴的交点，则代入为根轨迹与虚轴的交点，则代入闭环特征方程，即有闭环特征方程，即有交点交点 也可应用劳斯判据确定：也可应用劳斯判据确定： 在列写劳斯表的过程中，令含在列写劳斯表的过程中，令含 的行出
17、现全零行，的行出现全零行，获得相应获得相应 值。值。 建立并求解辅助方程，求取关于虚轴对称的根，挑建立并求解辅助方程，求取关于虚轴对称的根，挑出其中的纯虚根及对应的出其中的纯虚根及对应的 。Automatic Control Principle Page: 18自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 二、概略根轨迹的绘制 概略根轨迹的概略根轨迹的应根据并体现应根据并体现根轨迹的主要特征。结根轨迹的主要特征。结合实例介绍其典型步骤。合实例介绍其典型步骤。1.1. 确定根轨迹的分支数确定根轨迹的分支数例例4.2-3 4.2-3 已知单位反馈系统的开环传递函数为已知单位反馈系统的
18、开环传递函数为由系统开环传递函数由系统开环传递函数按法则按法则2 2，根轨迹共有，根轨迹共有4 4条分支。条分支。解：按题给条件，应绘制按题给条件，应绘制180180根轨迹根轨迹试绘制试绘制 从从0 0到到时系统的概略根轨迹。时系统的概略根轨迹。Automatic Control Principle Page: 19自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 系统没有开环有限零点。按法则系统没有开环有限零点。按法则1 1，系统有，系统有4 4个开环无个开环无限零点，即限零点，即4 4条根轨迹均终止于无穷远处。条根轨迹均终止于无穷远处。2.2. 确定根轨迹的起点与终点，绘制开环有
19、限零极点确定根轨迹的起点与终点，绘制开环有限零极点系统有系统有4 4个开环有限极点个开环有限极点系统开环传递函数系统开环传递函数Automatic Control Principle Page: 20自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 -0.50.511.50-1-1.5-2-2.5-3Automatic Control Principle Page: 21自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 3.3. 确定并绘制实轴根轨迹区间确定并绘制实轴根轨迹区间开环实有限极点开环实有限极点将实轴分为将实轴分为3 3个区间个区间系统开环传递函数系统开环传递函数
20、其中只有区间其中只有区间 左侧的开环有限零极点数左侧的开环有限零极点数为为1 1，按法则，按法则4 4，该区间为实轴根轨迹区间。，该区间为实轴根轨迹区间。 Automatic Control Principle Page: 22自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 -0.50.511.50-1-1.5-2-2.5-3Automatic Control Principle Page: 23自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 4.4. 确定并绘制根轨迹渐近线确定并绘制根轨迹渐近线 由法则由法则3 3，根轨迹共有，根轨迹共有 4 4 条渐近线，与正实轴的
21、条渐近线，与正实轴的夹角和与实轴的交点为夹角和与实轴的交点为系统开环传递函数系统开环传递函数Automatic Control Principle Page: 24自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 -0.50.511.50-1-1.5-2-2.5-3Automatic Control Principle Page: 25自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 5.5. 确定分离点、分离角并绘制分离点处根轨迹确定分离点、分离角并绘制分离点处根轨迹 实轴根轨迹区间实轴根轨迹区间 的两个端点均为的两个端点均为开环极点，因此该区间内必有一个分离点。开环极点
22、，因此该区间内必有一个分离点。由法则由法则5 5的分离点方程的分离点方程运用试探法得运用试探法得因为因为 ，故，故由模值条件由模值条件系统开环传递函数系统开环传递函数Automatic Control Principle Page: 26自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 -0.50.511.50-1-1.5-2-2.5-3Automatic Control Principle Page: 27自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 6.6. 确定起始角和终止角并绘制起点处根轨迹确定起始角和终止角并绘制起点处根轨迹由法则由法则6 6，根轨迹的起始角公
23、式，根轨迹的起始角公式系统开环传递函数系统开环传递函数取取 Automatic Control Principle Page: 28自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 -0.50.511.50-1-1.5-2-2.5-3Automatic Control Principle Page: 29自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 7.7. 确定与虚轴的交点并确定与虚轴的交点并绘制与虚轴交点处根轨迹绘制与虚轴交点处根轨迹系统的特征方程为系统的特征方程为系统的特征方程为系统的特征方程为列劳斯表列劳斯表列劳斯表列劳斯表时，出现全零行时，出现全零行时，出现全零行时，出现全零行也可由也可由也可由也可由解辅助方程解辅助方程解辅助方程解辅助方程即即即即解得解得解得解得系统开环传递函数系统开环传递函数Automatic Control Principle Page: 30自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 -0.50.511.50-1-1.5-2-2.5-3
