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1、第二节第二节 偏导偏导数数一、偏导数的概念一、偏导数的概念二、偏导数的求法二、偏导数的求法三、高阶偏导数三、高阶偏导数偏导数的概念一 、偏导数的概念定义1 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量x时，相应函数有增量1.偏导数的定义如果极限存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.记作偏导数的概念即类似地，可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为又可记为偏导数的概念如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数z=f
2、(x,y)对x的偏导函数，记作偏导数的概念类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变量y的偏导函数为记作偏导数的概念二元以上多元函数的偏导数可类似地定义.例如三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导函数定义为同样地，可以定义偏导数 .偏导数的概念2.二元函数偏导数的几何意义二元函数z=f(x,y)的图形表示空间一张曲面.当y=y0时，曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线方程为上式表示y=y0平面上的一条曲线z=f(x,y0).根据导数的几何意义可知：fx(x0,y0)就是这条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于x轴的斜率.偏导数的概念同样，fy(x0,y
3、0)是这条曲线z=f(x,y)与平面x=x0的交线在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于y 轴的斜率.偏导数的概念二 、偏导数的求法求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用. 例如，给定一个二元函数z=f(x,y)，求 时，可将自变量y 看成常数(即将z看成x的一元函数)，只需z对x求导.偏导数的概念 若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值，即 ，这样就得到了函数z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代
4、入z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为常数y0.偏导数的概念例1 求函数 在点(1,3)处对x和y的偏导数.解将点(1,3)代入上两式，得偏导数的概念例2 求函数 的偏导数.解偏导数的概念例3 求函数 的偏导数.解偏导数的概念例4 求函数 的偏导数.解偏导数的概念例5 已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常量)，求证：证偏导数的概念 偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元函数导数记号 是不同的， 可看成函数的微分dy与自变量微分dx之商.偏导数的
5、概念例6 设求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数.解 原点(0,0)处对x的偏导数为偏导数的概念 原点(0,0)处对y的偏导数为偏导数的概念 对于多元函数,偏导数存在不能保证函数在该点处连续，这与一元函数不同.一元函数在其可导点处，一定连续的结论，对多元函数是不成立的.这是因为偏导数存在，只能保证当点(x,y)沿着平行坐标轴的方向趋于(x0,y0)点时，函数数值f(x,y)趋于f(x0,y0)，但不能保证当点(x,y)以任意方式趋于点(x0,y0)时，函数f(x,y)趋于f(x0,y0).偏导数的概念同样还可以举出函数在(x0,y0)点连续，而在该点的偏导数不存在的例子.例如，二元函数 ，
6、在点(0,0)处是连续的，但在(0,0)点偏导数不存在.事实上， 是初等函数，(0,0)点是定义区域内的一点，故f(x,y)在点(0,0)点是连续的. 固定y=0，让x0，考察在(0,0)点处对x的偏导数.此时 ，已知函数|x|在x=0处是不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在，同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.偏导数的概念在点(x0,y0)处二元函数连续，推不出偏导数存在，而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系.偏导数的概念三、高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内有偏导数二元函数的二阶偏导数为：偏导数的概念同样可得三阶、四阶以至n阶偏导数(如果存在的话).一个多元函数的n1阶偏导数的偏导数，称为原来函数的n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.偏导数的概念例7 求 的二阶偏导数.解偏导数的概念定理8.1 如果函数z=f(x,y)在开区域D上二阶混合偏导数 连续，则在该区域上任一点处必有 该题值得注意的是，一般函数f的二阶混合偏导数 和 并不一定相等.例7的两个二阶混合偏导数相等，是因为它们是连续的，一般我们有下面的定理.偏导数的概念例8解偏导数的概念例9 证明函数 满足方程证偏导数的概念所以， 满足方程偏导数的概念例10 设 ，求解偏导数的概念
