《机械系统弹性动力学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《机械系统弹性动力学（87页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5 机械系统弹性动力学基础机械系统弹性动力学基础本章内容本章内容v5.1 弹性体振动弹性体振动v5.2 传递矩阵法传递矩阵法v5.3 动力学问题有限元法动力学问题有限元法v5.4 基于基于Ansys的弹性动力学分析的弹性动力学分析5.1 弹性体振动弹性体振动弹性体系统具有连续分布的性质，弹性体内任一质弹性体系统具有连续分布的性质，弹性体内任一质点的运动，不仅与时间有关，而且与位置坐标有关。点的运动，不仅与时间有关，而且与位置坐标有关。因此需要用偏微分方程（因此需要用偏微分方程（PDE）来描述。）来描述。解：设张力解：设张力T不变，则恢复力为不变，则恢复力为所以微分方程为：所以微分方程为：故有故
2、有v建立离散系统振动方程的方法建立离散系统振动方程的方法:如图所示，以张紧弦上的集中质量振动为例如图所示，以张紧弦上的集中质量振动为例v建立连续系统振动方程的方法建立连续系统振动方程的方法:以直杆的纵向振动为例以直杆的纵向振动为例由材料力学知由材料力学知共同点：以牛顿定律为出发点。共同点：以牛顿定律为出发点。微元段的运动方程为微元段的运动方程为5.1.1 扭转自由振动扭转自由振动如图所示，由材料如图所示，由材料力学得力学得微元段的平衡方程为微元段的平衡方程为代如整理得代如整理得用分离变量法求解以上方程，设用分离变量法求解以上方程，设求导可得求导可得整理得整理得上式左边是坐标的函数，右边是时间的
3、函数，两边要想上式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，两边要想相等只能等于常数。令该常数为相等只能等于常数。令该常数为则有则有解以上两个方程得解以上两个方程得因此可得到扭转振动的通解因此可得到扭转振动的通解当边界条件已知时，可求出固有频率。当边界条件已知时，可求出固有频率。例例5-1 如图所示为一端固定的圆轴，试求固有频率。如图所示为一端固定的圆轴，试求固有频率。解：根据题意知，左端位移解：根据题意知，左端位移为为0，右端外力为，右端外力为0。故有边。故有边界条件如下界条件如下代入可得代入可得固有频率为固有频率为振型振型5.1.2 梁的横向振动梁的横向振动5.2 传递矩阵法传递矩阵法5.2.1
4、 轴的纵向振动（集中质量法）轴的纵向振动（集中质量法）如图所示，一端固定的轴作纵向自由振动时，我们可把此轴分如图所示，一端固定的轴作纵向自由振动时，我们可把此轴分为为n个单元，对每个单元用集中质量法研究。将每个单元简化个单元，对每个单元用集中质量法研究。将每个单元简化为质量和弹簧，当单元足够小时，可以保证工程上所需的精为质量和弹簧，当单元足够小时，可以保证工程上所需的精度。度。取任一单元，用位移和力表示状态向量，则质量右端取任一单元，用位移和力表示状态向量，则质量右端状态向量为状态向量为质量左端状态为质量左端状态为由牛顿定律由牛顿定律对于简谐振动对于简谐振动故有故有写成矩阵形式写成矩阵形式对于
5、弹簧有对于弹簧有用传递矩阵表示如下用传递矩阵表示如下综合上述关系，有综合上述关系，有Ci为第为第i个子结构的传递矩阵。个子结构的传递矩阵。连续运用传递关系，有连续运用传递关系，有边界条件为边界条件为频率方程为频率方程为解方程可求解方程可求固有频率固有频率5.2.2 轴的扭转振动（集中质量法）轴的扭转振动（集中质量法）如图所示，方向符合右手定律。如图所示，方向符合右手定律。对图示扭转系统对图示扭转系统对旋转轮盘，点矩阵为对旋转轮盘，点矩阵为对扭转弹簧，场矩阵为对扭转弹簧，场矩阵为综合可得传递矩阵为综合可得传递矩阵为5.3 动力学问题有限元法动力学问题有限元法5.3.1 引言引言 有限元方法是有限
6、元方法是20世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算数学、计算力学和计算工程料学领域诞生的最有效的计算方法。数学、计算力学和计算工程料学领域诞生的最有效的计算方法。经过经过40年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当丰富，年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当丰富，理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的通用和专理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的通用和专用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整机、机械、用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整机、机械、土建、桥梁、机电、造船、宇航、核能、地震、气象、水文、土建、桥梁、机电、造船、宇
7、航、核能、地震、气象、水文、物理、力学、电磁学以及国际工程等领域众多的大型科学和工物理、力学、电磁学以及国际工程等领域众多的大型科学和工程计算难题，并且取得了巨大的经济和社会效益。程计算难题，并且取得了巨大的经济和社会效益。v（1）有限单元法的基本思想）有限单元法的基本思想 有限单元法的基本思想是将问题的求解域划分为一有限单元法的基本思想是将问题的求解域划分为一系列单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点的系列单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点的待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值求待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值求得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关得。由于单元形状
8、简单，易于由平衡关系或能量关系建立节点量之间的方程式，然后将各个单元方程系建立节点量之间的方程式，然后将各个单元方程“组集组集”在一起而形成总体代数方程组、计入边界条件在一起而形成总体代数方程组、计入边界条件后即可对方程组求解。单元划分越细，计算结果就后即可对方程组求解。单元划分越细，计算结果就越精确。越精确。（2）有限元计算步骤）有限元计算步骤1 离散化；离散化；2 单元分析；单元分析；3 单元合成；单元合成；4 求解；求解；5 分析结果。分析结果。简言之：简言之：“一分一合一分一合”（3）有限元法的基本方法和理论）有限元法的基本方法和理论1 直接有限元方法；直接有限元方法；2 虚功原理方法
9、；虚功原理方法；3 能量变分原理方法；能量变分原理方法；4 迦辽金方法（加权残数法）。迦辽金方法（加权残数法）。有限元的数学含义：无论任何方法，静力有限元法有限元的数学含义：无论任何方法，静力有限元法要得到并求解如下方程：要得到并求解如下方程：而动力有限元法要得到并求解如下方程：而动力有限元法要得到并求解如下方程：5.3.2 一维有限元模型一维有限元模型建立单元动力学方程时，要求出质量矩阵和刚度矩阵，首建立单元动力学方程时，要求出质量矩阵和刚度矩阵，首先需要确定单元运动模式，可参考静态位移模式进行。在先需要确定单元运动模式，可参考静态位移模式进行。在振动方程中令时间为常数，即振动方程中令时间为
10、常数，即所以有所以有质量矩阵可以通过动能求得质量矩阵可以通过动能求得质量矩阵可以通过动能求得质量矩阵可以通过动能求得单元动能为单元动能为所以所以对于纵向振动，轴向单元如图所示对于纵向振动，轴向单元如图所示建立刚度矩阵和质量矩阵与扭转振动相似建立刚度矩阵和质量矩阵与扭转振动相似2. 轴的横向振动轴的横向振动如图为横向振动梁单元如图为横向振动梁单元单元刚度矩阵推导如下单元刚度矩阵推导如下5.4 基于基于Ansys的弹性动力学分析的弹性动力学分析5.4.1 Ansys简介简介 有限元方法是有限元方法是20世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算数学、计算力学和计算工程
11、料学领域诞生的最有效的计算方法。数学、计算力学和计算工程料学领域诞生的最有效的计算方法。经过经过40年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当丰富，年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当丰富，理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的通用和专理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的通用和专用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整机、机械、用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整机、机械、土建、桥梁、机电、造船、宇航、核能、地震、气象、水文、土建、桥梁、机电、造船、宇航、核能、地震、气象、水文、物理、力学、电磁学以及国际工程等领域众多的大型科学和工物理、力学、电磁学以及国际
12、工程等领域众多的大型科学和工程计算难题，并且取得了巨大的经济和社会效益。目前常用的程计算难题，并且取得了巨大的经济和社会效益。目前常用的商品化软件有：商品化软件有： Ansys，Nastran，Adina，Marc等。等。ANSYS中处理器有中处理器有5.4.2 分析过程与实例分析过程与实例例例1：弹簧：弹簧质量系统分析。已知：质量为质量系统分析。已知：质量为2kg，刚度为，刚度为8N/m。建立模型FINISH/SOLUANTYPE,MODALMODOPT,SUBSP,1D,1,ALL,0D,2,UX,0SOLVEFINISH！检查结果/POST1SET,LISTSET,1,1PLDISPFI
13、NISH例例2：模态分析。已知：模态分析。已知：m=0.1kg,E=207Gpa,L=0.12m,Area=0.003m2,h=0.05m,I=6.25E-7m-4。建立模型！求解/SOLUANTYPE, MODALMODOPT,REDUD,1,ALL,0 !第一节点约束M,2,DY,4,1 !定义第二至第四节点,UY为主自由度方向SOLV EFINISHEXPASS ONEXPAN,2 !扩展两个模态SOLVEFINISH！检查结果/POST1SET,LISTSET,1,1PLDISPSET,1,2PLDISPFINISH例例3：多自由度动力学分析。：多自由度动力学分析。建立模型：建立模型：
14、N,1,0,0$ N,2,1,0$ N,3,2,0N,4,3,0$ N,5,4,0TYPE,1$ REAL,1E,1,2$ E,4,5TYPE,1$ REAL,2E,2,3$E,3,4TYPE,2$REAL,3E,2REAL,4E,3REAL,5E,4FINISH！求解/SOLUANTYPE, MODALMODOPT,SUBSP,3D,1,ALL,0, ,5,4SOLVEFINISH！检查结果/POST1SET,LISTSET,1,1PLDISPSET,1,2PLDISPFINISH例例4：机翼的模态分析。：机翼的模态分析。/FILNAM,MODAL/TITLE,Modal Analysis
15、of a Model Airplane Wing /PREP7 ET,1,PLANE42 ! Define PLANE42 as element type 1 ET,2,SOLID45 ! Define SOLID45 as element type 2 MP,EX,1,38000 MP,DENS,1,1.033E-3 MP,NUXY,1,.3 建立模型K,1 ! Define keypoint 1 at 0,0,0 K,2,2 ! Define keypoint 2 at 2,0,0 K,3,2.3,.2 ! Define keypoint 3 at 2.3,.2,0 K,4,1.9,.45
16、 ! Define keypoint 4 at 1.9,.45,0 K,5,1,.25 ! Define keypoint 5 at 1,.25,0 LSTR,1,2 ! Create a straight line between keypoints 1 and 2 LSTR,5,1 ! Create a straight line between keypoints 5 and 1 BSPLIN,2,3,4,5,-1,-1,-.25 ! Create a B-spline AL,1,3,2 ESIZE,.25 AMESH,1 ESIZE,10 TYPE,2 VEXT,ALL,10 /VIE
17、W,1,1,1 /ANG,1 /REP EPLOT FINISH /SOLU ANTYPE,MODAL ! Choose modal analysis type MODOPT,SUBSP,5 ! Choose the subspace mode ! extraction method, extracting 5 modes ESEL,U,TYPE,1 ! Unselect element type 1 NSEL,S,LOC,Z,0 D,ALL,ALL NSEL,ALL MXPAND,5 SOLVEFINISH /POST1 SET,LIST,2 SET,FIRST PLDISP,0 ANMODE,10,.5E-1 SET,NEXT PLDISP,0 ANMODE,10,.5E-1 SET,NEXTPLDISP,0 ANMODE,10,.5E-1 SET,NEXT PLDISP,0 ANMODE,10,.5E-1 SET,NEXT PLDISP,0 ANMODE,10,.5E-1 FINISH /EXIT
