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1、函数模型及其函数模型及其应用用目录目录例题：例题：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：选择，这三种方案的回报如下：方案一方案一：每天回报：每天回报40元；元；方案二方案二：第一天回报：第一天回报10元，以后每天比前一天多元，以后每天比前一天多 回报回报10元；元；方案三方案三：第一天回报：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前 一天翻一番。一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？请问，你会选择哪种投资方案呢？目录目录投资方案选择原则：投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优投入资金
2、相同，回报量多者为优(1) 比较三种方案每天回报量比较三种方案每天回报量(2)(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。多，我们就在那段时间选择该方案。目录目录 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。供依据。解：设第解：设第x天所得回报为天所得回报为y元，则元，则 方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元； y=40 (x N
3、*)方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回元，以后每天比前一天多回 报报10元；元； y=10x (x N*)方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前一天翻一番。一天翻一番。 y=0.42x-1 (x N*)目录目录x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.
4、88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4目录目录图112-1从每天的回报量来看：从每天的回报量来看： 第第14天，方案一最多：天，方案一最多： 每每58天，方案二最多：天，方案二最多： 第第9天以后，方案三最多；天以后，方案三最多；有人认为投资有人认为投资14天选择方案一；天选择方案一；58天选择方案二；天选择方案二；9天以后选择方案天以后选择方案三？三？画画图图目录目录累积回报表累积回报表 天数天数方案方案1234567891011一一4080120160200240280320360400440二二
5、103060100150210280360450550660三三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8结论结论 投资投资16天，应选择第一种投资方案；天，应选择第一种投资方案；投资投资7天，应选择第一或二种投资方案；天，应选择第一或二种投资方案；投资投资810天，应选择第二种投资方案；天，应选择第二种投资方案；投资投资11天（含天（含11天）以上，应选择第三天）以上，应选择第三种投资方案。种投资方案。 目录目录解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：实际问题实际问题读读懂懂问问题题抽抽象象概概括括数学问题数学问题演演算算推推理理数学问题的解数学问题的解
6、还还原原说说明明实际问题的解实际问题的解目录目录1.几种常几种常见的函数模型的函数模型函数模型函数模型函数解析式函数解析式一次函数模型一次函数模型f(x)axb(a、b为常数，常数，a0)二次函数模型二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，常数，a0)指数函数模型指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，常数，a0且且a1，b0)对数函数模型数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，常数，a0且且a1，b0)幂函数模型函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，常数，a0，n0)目录目录2.三种函数模型的性三种函数模型的性质比比较yax(a1)ylogax(a1)y
7、xn(n0)在在(0，)上的上的单调性性单调_函数函数 单调_函数函数 单调_函数函数增增长速度速度越来越越来越_越来越越来越_相相对平平稳图象的象的变化化随随x值增大，增大，图象与象与_轴接近平行接近平行随随x值增大，增大，图象与象与x轴接接近近_随随n值变化而化而不同不同递增增递增增递增增快快慢慢y平行平行目录目录考点探究讲练互动考点探究讲练互动例例1考点突破考点突破考点突破考点突破项目目类别年固定年固定成本成本每件每件产品成本品成本每件每件产品品销售价售价每年最多每年最多可生可生产的的件数件数A产品品20m10200B产品品40818120目录目录其其中中年年固固定定成成本本与与年年生生
8、产的的件件数数无无关关，m为待待定定常常数数，其其值由由生生产A产品品的的原原材材料料价价格格决决定定，预计m6，8另另外外，年年销售售x件件B产品品时需需上上交交0.05x2万万美美元元的的特特别关关税税假假设生生产出出来来的的产品都能在当年品都能在当年销售出去售出去(1)写写出出该厂厂分分别投投资生生产A，B两两种种产品品的的年年利利润y1，y2与与生生产相相应产品的件数品的件数x之之间的函数关系并指明其定的函数关系并指明其定义域；域；(2)如何投如何投资最合理最合理(可可获得最大年利得最大年利润)？请你做出你做出规划划目录目录目录目录目录目录【规律律小小结】(1)在在实际问题中中，有有很
9、很多多问题的的两两变量量之之间的的关关系系是是一一次次函函数数模模型型，其其增增长特特点点是是直直线上上升升(自自变量量的的系系数数大大于于0)或或直直线下下降降(自自变量量的的系系数数小小于于0)，构构建建一一次次函函数数模模型型，利用一次函数的利用一次函数的图象与象与单调性求解性求解(2)有有些些问题的的两两变量量之之间是是二二次次函函数数关关系系，如如面面积问题、利利润问题、产量量问题等等构构建建二二次次函函数数模模型型，利利用用二二次次函函数数图象象与与单调性解决性解决目录目录跟踪跟踪训练训练1.一一块形状形状为直角三角形的直角三角形的铁皮，直角皮，直角边长分分别为40 cm和和60
10、cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角矩形的一个角问怎怎样剪，才能使剩下的残料最少？剪，才能使剩下的残料最少？目录目录目录目录例例2目录目录目录目录目录目录【方方法法提提炼】(1)很很多多实际问题中中变量量间的的关关系系，不不能能用用同同一一个个关关系系式式给出出，而而是是由由几几个个不不同同的的关关系系式式构构成成分分段段函函数数如如出租出租车票价与路程之票价与路程之间的关系的关系，就是分段函数就是分段函数(2)分分段段函函数数主主要要是是每每一一段段自自变量量变化化所所遵遵循循的的规律律不不同同，可可以以先先将将其其当当作作几几个个问
11、题，将将各各段段的的变化化规律律分分别找找出出来来，再再将将其合到一起其合到一起，要注意各段要注意各段变量的范量的范围，特特别是端点是端点值目录目录跟踪跟踪训练训练目录目录解解：(1)当当0t10时，f(t)t224t100(t12)2244是是增函数增函数，且且f(10)240.当当20t40时，f(t)7t380是减函数是减函数，且且f(20)240.所所以以，讲课开开始始后后10分分钟时，学学生生的的注注意意力力最最集集中中，能能持持续10分分钟(2)f(5)195，f(25)205，所所以以讲课开开始始后后25分分钟时，学学生生的的注注意意力力比比讲课开开始始后后5分分钟时更集中更集中
12、目录目录例例3考点考点3指数函数模型指数函数模型2 012年年10月月1日，某城市日，某城市现有人口有人口总数数100万，如果年万，如果年自然增自然增长率率为1.2%，试解答下列解答下列问题：(1)写出写出该城市人口城市人口总数数y(万人万人)与年数与年数x(年年)的函数关系式；的函数关系式；(2)计算算10年后年后该城市人口城市人口总数数(精确到精确到0.1万人万人)(1.012101.127)【解解】(1)1年年后后该城城市市人人口口总数数为y1001001.2%100(11.2%)，2年年 后后 该 城城 市市 人人 口口 总 数数 为 y 100(1 1.2%) 100(11.2%)1
13、.2%100(11.2%)2，3年年 后后 该 城城 市市 人人 口口 总 数数 为 y 100(1 1.2%)2 100(11.2%)21.2%100(11.2%)3，目录目录x年后年后该城市人口城市人口总数数为y100(11.2%)x.所所以以该城城市市人人口口总数数y(万万人人)与与年年数数x(年年)的的函函数数关关系系式式是是y100(11.2%)x.(2)10年后人口年后人口总数数为100(11.2%)10112.7(万万)所以所以10年后年后该城市人口城市人口总数数约为112.7万万目录目录【题后后感感悟悟】(1)指指数数函函数数模模型型常常与与增增长率率相相结合合进行行考考查，在
14、在实际问题中中有有人人口口增增长、银行行利利率率、细胞胞分分裂裂等等增增长问题可可以利用指数函数模型来表示以利用指数函数模型来表示(2)应用用指指数数函函数数模模型型时，关关键是是对模模型型的的判判断断，先先设定定模模型型将有关已知数据代入将有关已知数据代入验证，确定参数确定参数，从而确定函数模型从而确定函数模型(3)ya(1x)n通常利用指数运算与通常利用指数运算与对数函数的性数函数的性质求解求解目录目录跟踪跟踪训练训练3.本例的条件不本例的条件不变，试计算：大算：大约多少年后多少年后该城市人口将城市人口将达到达到120万人万人(精确到精确到1年年)目录目录方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟解
15、函数解函数应用用问题的步的步骤(四步八字四步八字)：(1)审题：弄弄清清题意意，分分清清条条件件和和结论，理理顺数数量量关关系系，初初步步选择数学模型；数学模型；(2)建建模模：将将自自然然语言言转化化成成数数学学语言言，将将文文字字语言言转化化为符符号号语言，利用数学知言，利用数学知识，建立相，建立相应的数学模型的数学模型(3)求模：求解数学模型，得到数学求模：求解数学模型，得到数学结论；目录目录(4)还原：将用数学方法得到的原：将用数学方法得到的结论还原原为实际问题的意的意义以上以上过程用框程用框图表示如下：表示如下：注注意意：关关注注实际问题的的自自变量量的的取取值范范围，合合理理确确定
16、定函函数数的的定定义域域目录目录名师讲坛精彩呈现名师讲坛精彩呈现例例规范解答规范解答函数函数应用用题 (本本题满分分12分分)在扶在扶贫活活动中，中，为了尽快脱了尽快脱贫(无无债务)致富，企致富，企业甲将甲将经营状况良好的某种消状况良好的某种消费品品专卖店以店以5.8万元万元的的优惠价格惠价格转让给了尚有了尚有5万元无息万元无息贷款没有款没有偿还的小型企的小型企业乙，并乙，并约定从定从该店店经营的利的利润中，首先保中，首先保证企企业乙的全体乙的全体职工工每月最低生活每月最低生活费的开支的开支3 600元后，逐步元后，逐步偿还转让费(不不计息息)在甲提供的在甲提供的资料中有：料中有：这种消种消费
17、品的品的进价价为每件每件14元；元；该店月店月销量量Q(百件百件)与与销售价格售价格P(元元)的关系如的关系如图所示；所示；每月需每月需各种开支各种开支2 000元元目录目录(1)当当商商品品的的价价格格为每每件件多多少少元元时，月月利利润扣扣除除职工工最最低低生生活活费的余的余额最大？并求最大余最大？并求最大余额；(2)企企业乙只依靠乙只依靠该店，最早可望在几年后脱店，最早可望在几年后脱贫？目录目录目录目录目录目录【方方法法提提炼】(1)求求解解本本题应按按照照解解函函数数应用用题的的一一般般程程序序本本题经过了了三三次次建建模模：根根据据月月销量量图建建立立Q与与P的的函函数数关关系；系；
18、建立利建立利润余余额函数；函数；建立脱建立脱贫不等式不等式(2)本本题的的函函数数模模型型是是分分段段的的一一次次函函数数和和二二次次函函数数，在在实际问题中中，由由于于在在不不同同的的背背景景下下解解决决的的问题发生生了了变化化，因因此此在在不不同同范范围中中，建建立立函函数数模模型型也也不不一一样，所所以以现实生生活活中中分分段段函函数数的的应用非常广泛用非常广泛(3)在构造分段函数在构造分段函数时,分段不合理、不准确分段不合理、不准确,是易出是易出现的的错误目录目录课前前热身身答案：答案：A目录目录目录目录3.从从1 999年年11月月1日日起起，全全国国储蓄蓄存存款款征征收收利利息息税
19、税，利利息息税税的的税税率率为20%，由由各各银行行储蓄蓄点点代代扣扣代代收收，某某人人2 012年年6月月1日日存存入入若若干干万万元元人人民民币，年年利利率率为2%，到到2 013年年6月月1日日取取款款时被被银行扣除利息税行扣除利息税138.64元，元，则该存款人的本金介于存款人的本金介于()A3万万4万元万元 B4万万5万元万元C5万万6万元万元 D2万万3万元万元目录目录4.某某航航空空公公司司规定定，乘乘机机所所携携带行行李李的的质量量(kg)与与其其运运费(元元)由由如如图的的一一次次函函数数图象象确确定定，那那么么乘乘客客可可免免费携携带行行李李的的质量量最大最大为_解解析析：由由图象象可可求求得得一一次次函函数数的的解解析析式式为y30x570，令令30x5700，解得解得x19.答案：答案：19 kg目录目录5.某某人人去去银行行存存款款a万万元元，每每期期利利率率为p，并并按按复复利利计息息，则存存款款n(nN*)期后本利之和期后本利之和为_万元万元解析：第一期到期解析：第一期到期时本利之和本利之和为a(1p)万元万元第二期到期第二期到期时本利之和本利之和为a(1p)2万元万元，第第n期到期期到期时本利之和本利之和为a(1p)n万元万元答案：答案：a(1p)n
