《《高等数学》电子课件（同济第六版）：09第九章 习题课》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》电子课件（同济第六版）：09第九章 习题课（75页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章 习题课12平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容3全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用方向导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念41 1、区域、区域（1）邻域）邻域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2）区域）区域5（3）聚点）
2、聚点（4）n维空间维空间62 2、多元函数概念、多元函数概念定义定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数73 3、多元函数的极限、多元函数的极限8说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4 4、极限的运算、极限的运算95 5、多元函数的连续性、多元函数的连续性10 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界
3、闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介上取得介于这两值之间的任何值至少一次于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理6 6、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质117 7、偏导数概念、偏导数概念121314、高阶偏导数、高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.15、全微分概念、全微分概念16多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数
4、可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导171010、全微分的应用、全微分的应用主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误差估计.181111、复合函数求导法则、复合函数求导法则以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.19201212、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.21隐函数的求导公式隐函数的求导公式1313、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则22232425261414、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方
5、程为切线方程为法平面方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面27()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为281515、方向导数、方向导数记为记为29三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义30梯度的概念梯度的概念31梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系321616、多元函数的极值、多元函数的极值定义定义33多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点343536条件极值条件极值：对自变量有
6、附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值37典型例题典型例题1、求极限法一法一 原式法二法二 令则, 原式法三法三 令则实际上若令则 原式 所以所以极限不存在极限不存在！前面三法均不正确,时，下列算法是否正确是否正确?原式383940解解4142437、证明、证明:提示提示: 利用 在 (0,0) 连续知又在点(0,0)处连续连续且偏导数存在偏导数存在 , 但不可微不可微 .447、证明证明： 在点(0,0)处连续连续且偏导数存在偏导数存在 , 但不可微不可微 .而当时, f 在点(0,0)不可微不可微 ! !458、.已知求出 的表达式. 解法解法1.令即解法解法2. 以下与解法1 相同.则
7、且469 9、解解474810、 设其中 f 与F 分别解法解法1 1. 方程两边对 x 求导,得具有一阶导数或偏导数, 求49解法解法2., 求方程两边求微分,得化简消去 即可得501111、解解51于是可得于是可得,5212.12.设具有二阶连续偏导数, 且求解解:53解解1313、54555657581515、解解分析分析:59得得60611616、在第一卦限内作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,求该切点的坐标. 解解: 设切点为则切平面的法向量为切平面方程为即在三坐标轴上的截距62例例16.16.在第一卦限内作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,求该切点的坐标 . 问题归结为求在条件下的条件极值问题 .设拉格朗日函数63令由实际意义可知为所求切点 .64解解6566测测 验验 题题 67686970717273测验题答案测验题答案7475
