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1、Chapter 1(3)条件概率及重要公式条件概率及重要公式教学要求：教学要求：1. 了解条件概率的定义了解条件概率的定义;2. 掌握概率的乘法公式掌握概率的乘法公式, 全概率公式全概率公式,贝叶斯公式贝叶斯公式;3. 应用以上公式进行概率计算应用以上公式进行概率计算.一、条件概率及性质一、条件概率及性质 1. 实例实例 某种产品，若尺寸与光洁度都合格，就认为是合格的某种产品，若尺寸与光洁度都合格，就认为是合格的. .现有该产品现有该产品100100件，其中合格品件，其中合格品9090件，件，9595件尺寸合格，件尺寸合格，9292件光洁度合格，若从其中任取一件，测得其光洁度件光洁度合格，若从
2、其中任取一件，测得其光洁度合格，求此件产品为合格品的概率合格，求此件产品为合格品的概率. . Solution. 设设A=尺寸合格尺寸合格 ， B=光洁度合格光洁度合格 则则AB=合格品合格品,2. 条件概率的条件概率的定义定义 在在事件事件B已发生的条件下已发生的条件下, 事件事件A发生的概率发生的概率, 称为在事称为在事件件B发生的条件下发生的条件下, 事件事件A发生的条件概率发生的条件概率. 记为记为P(A|B).注意注意: 3. 条件概率的性质：条件概率的性质：ex1.根据历史气象资料统计，某地四月份吹东风的概根据历史气象资料统计，某地四月份吹东风的概 率为率为既吹东风又下雨的概率为既
3、吹东风又下雨的概率为试问吹东风与下雨之间有否密切关系？试问吹东风与下雨之间有否密切关系？Solution. 在在“吹东风吹东风”（A）发生的条件下发生的条件下“下雨下雨”（B）发生发生的概率大小能够说明这两者之间的关系是否密切的概率大小能够说明这两者之间的关系是否密切. 这个概率相当大，所以说在某地这个概率相当大，所以说在某地“吹东风吹东风”与与“下雨下雨”是是有密切关系的有密切关系的. .ex2. 见书中见书中P15/例例1.13 注意注意, 计算条件概率有两种方法计算条件概率有两种方法:二、乘法公式二、乘法公式(定理定理1) Proof. 故可由条件概率的定义得故可由条件概率的定义得 乘法
4、公式给出了乘法公式给出了n个事件个事件 同时发生的概率计算的一般方法同时发生的概率计算的一般方法. . ex3.100件产品中有件产品中有10件次品，随机取三次，每次取一件次品，随机取三次，每次取一件（不放回），求第三次才取到合格品的概率件（不放回），求第三次才取到合格品的概率.Solution. 设设Ai第第i次取出的产品是次品次取出的产品是次品 i=1,2A3第三次取出的产品是合格品第三次取出的产品是合格品现在要求的是现在要求的是同时发生的概率同时发生的概率.0084.Solution. 由乘法公式得由乘法公式得,三、全概率公式三、全概率公式 定义定义(完备事件组完备事件组): 定理定理2
5、: Proof. 注意注意: : (1) 此公式为全概率公式此公式为全概率公式. . (2) 定理中隐含着当定理中隐含着当Bi中其中之一发生时，事件中其中之一发生时，事件A才才 能发生能发生. . (3) 直观解释：直观解释：对一个试验，某一结果发生的可能性对一个试验，某一结果发生的可能性 有多种原因，每一原因对这结果的发生作出一定有多种原因，每一原因对这结果的发生作出一定 的的“贡献贡献”. .此时用全概率公式此时用全概率公式. . ex5.设第一个盒子中有设第一个盒子中有2个白球和个白球和1个黑球，个黑球， 第二个盒子中有第二个盒子中有3个白球和个白球和1个黑球，个黑球， 第三个盒子中有第
6、三个盒子中有2个白球和个白球和2个黑球，个黑球，此三个盒子外形相同此三个盒子外形相同, 某人任取一盒某人任取一盒, 从中任取一球从中任取一球, 试求取得白球的概率试求取得白球的概率.Solution. 设设A表示表示“取得白球取得白球”Bi表示表示“从第从第i个盒子中取球个盒子中取球”i= =1,2,3 由全概率公式得由全概率公式得四、贝叶斯公式四、贝叶斯公式 定理定理3: Proof. 注意注意: : (1) 此公式为贝叶斯公式此公式为贝叶斯公式. . (2) 结果结果A是由原因是由原因B1，B2，Bn 引起的，引起的， 已知已知A已发生，求原因已发生，求原因Bi导致导致A发生的概率发生的概
7、率. . (3) 用于确定犯人，查找引起地震的原因等用于确定犯人，查找引起地震的原因等. . ex6某库内有同型产品某库内有同型产品1000件件, 其中其中500件是甲厂生产件是甲厂生产的的, 300件是乙厂生产的件是乙厂生产的, 200件是丙厂生产的件是丙厂生产的, 已知甲厂已知甲厂产品的次品率为产品的次品率为, 乙厂产品的次品率为乙厂产品的次品率为, 丙厂丙厂产品的次品率为产品的次品率为, 今从库内任取一件产品今从库内任取一件产品.(1)求求“取得次品取得次品”的概率；的概率；(2)若已知取得的是次品若已知取得的是次品, 求取得的产品属于甲厂的产品求取得的产品属于甲厂的产品 的概率的概率.
8、Solution. 设设A表示表示“取得次品取得次品”, ,i表示表示“甲甲or乙乙or丙厂的产品丙厂的产品”i=1,2,3,则则P(B1)=500/1000， P(B2)=300/1000，P(B3)=200/1000，P(A|B1)=1/100， P(A|B2)=2/100， P(A|B3)=4/100(1) 由全概率公式得由全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.019.(2) 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得=0.263.五、例题分析五、例题分析 再次强调乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式在具体再次强调乘法公式、全概率公式、贝
9、叶斯公式在具体应用中的思路应用中的思路. . (1) 如果所求概率是任意如果所求概率是任意n个事件个事件A1 1，A2 2，,An的积的积 事件的概率事件的概率, ,且且P(A1An-1)0,0,则可应用乘法公式则可应用乘法公式. .(2) 如果某一结果如果某一结果(用事件用事件A表示表示)是由多种是由多种“原因原因”所引所引 起的起的(这些这些“原因原因”用事件用事件Bi , i=1,2,=1,2,n表示表示),且作且作 为为“原因原因”的这些事件彼此之间互不相容的这些事件彼此之间互不相容, ,其和事件其和事件 恰为必然事件恰为必然事件, ,则结果则结果A发生的概率用全概率公式发生的概率用全
10、概率公式. . (3) 如果某一事件如果某一事件A的发生是由多种的发生是由多种“原因原因”Bi所引起的所引起的, , 且已知该事件且已知该事件A已经发生，当需要了解已经发生，当需要了解A的发生是的发生是 由某由某Bi所引起的概率有多大时，可用贝叶斯公式所引起的概率有多大时，可用贝叶斯公式. .ex7.玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱2020只，假设各箱含只，假设各箱含0,1,20,1,2只只残次品的概率相应为残次品的概率相应为0.80.8，0.10.1和和0.1.0.1.顾客欲购一箱玻顾客欲购一箱玻璃杯璃杯, ,在购买时在购买时, ,售货员随意取一箱售货员随意取一箱, ,而顾客开箱随机
11、地而顾客开箱随机地察看察看4 4只只, ,若无残次品若无残次品, ,则买下该箱玻璃杯则买下该箱玻璃杯, ,否则退回否则退回, ,试求：试求：(1)顾客买下该箱的概率；顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中在顾客买下的一箱中, ,确实没有残次品的概率确实没有残次品的概率. .Solution. 设设A表示表示“顾客买下所察看的一箱顾客买下所察看的一箱”，Bi表示表示“箱中恰有箱中恰有i件残次品件残次品”i=0，1，2，(1)由全概率公式有由全概率公式有(2)由贝叶斯公式有由贝叶斯公式有ex8.设某厂实际上有设某厂实际上有96%的产品是正品的产品是正品,使用简易验收使用简易验收方法方法,以以
12、98%的概率把本来是正品的判定为正品的概率把本来是正品的判定为正品,而以而以5%的概率把本来是次品的判定为正品的概率把本来是次品的判定为正品,求经简易验收求经简易验收被认为是正品的产品被认为是正品的产品,确实是正品的概率确实是正品的概率.Solution. 设设A表示表示“产品判为正品产品判为正品”，B1表示表示“产品为正品产品为正品”，B2表示表示“产品为次品产品为次品”由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得ex9.某类产品每百件成批某类产品每百件成批, 出厂验收时出厂验收时, 规定从每批中规定从每批中任意挑选任意挑选5件为样品件为样品, 若样品中发现有废品若样品中发现有废品, 则整批不则整批不予出厂
13、予出厂, 今有一批产品今有一批产品100件件, 其中有其中有6件废品件废品, 问该批问该批产品被拒绝出厂的概率有多大？产品被拒绝出厂的概率有多大？Solution 1. 设设A表示表示“该批产品被拒绝出厂该批产品被拒绝出厂”,Bi表示表示“5件产品中恰有件产品中恰有i件废品件废品” i=1,2,3,4,5；由全概率公式得由全概率公式得Solution 2. 设设A表示表示“该批产品被拒绝出厂该批产品被拒绝出厂”，则，则表示表示“5件受验产品中无废品件受验产品中无废品”，若设若设Bi表示表示“第第i个受验产品是合格品个受验产品是合格品”，则，则六、注意事项及课堂练习六、注意事项及课堂练习 1.
14、注意事项注意事项 在实际问题中在实际问题中, ,容易把积事件的概率误认为是条件概容易把积事件的概率误认为是条件概率率, ,而把条件概率误认为是积事件的概率而把条件概率误认为是积事件的概率. .应该记住应该记住, ,条件概率中作为条件的事件是已经发生的事件条件概率中作为条件的事件是已经发生的事件, ,而积而积事件中的诸事件则要求一起发生事件中的诸事件则要求一起发生(或都发生或都发生). .比如：比如： 一批计算器共有一批计算器共有100100只只, ,次品率为次品率为1010, ,接连两次从接连两次从其中任取一个其中任取一个(不放回抽样不放回抽样), 求第二次才取到正品求第二次才取到正品的概率的概率. . 解：解：设设A表示表示“第一次取到次品第一次取到次品”, ,B表示表示“第二次取第二次取 到正品到正品”, ,C表示表示“第二次才取到正品第二次才取到正品”; ;则则 请问以上两个表达式哪个正确？请问以上两个表达式哪个正确？The end
