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1、 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 5.2 5.2 牛顿牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式5.3 5.3 定积分的计算定积分的计算5.4 5.4 广义积分广义积分5.1 5.1 定积分的概念和性质定积分的概念和性质5.5 5.5 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用5.6 5.6 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用5.1 定积分的概念和性质abxyo实例实例1 1 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积 A .一一. . 问题的提出问题的提出 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用abxyoabxyo用矩形的面积近似代替曲边梯形的面积用矩形的面积近似代替曲边梯形的面积显然，小
2、矩形越多，显然，小矩形越多，（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）小矩形的面积之和就越小矩形的面积之和就越接近曲边梯形的面积接近曲边梯形的面积abxyo（1）分割）分割（2）近似代替）近似代替（3）求和）求和（4）取极限）取极限曲边梯形面积为曲边梯形面积为求曲边梯形面积所用的方法步骤：求曲边梯形面积所用的方法步骤：分割、分割、近似代替、近似代替、求和、求和、取极限取极限 .实例实例2 2 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程 .（1）分割）分割（3）求和）求和（4）取极限）取极限（2）近似代替）近似代替定义二二. . 定积分的定义定积分的定义被被积积函函数数积积分分变变量
3、量积分上限积分上限积分下限积分下限积积积积分分分分和和和和 被被积积表表达达式式积积积积分分分分号号号号 定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值aboyxabxyoabxyo注注: （证明略）（证明略）例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解三. 定积分的性质对定积分的对定积分的补充规定补充规定:性质性质 1性质性质 2性质性质 3性质性质 4性质性质 5证证解解由积分中值定理，有由积分中值定理，有使使证证由积分中值定理，由积分中值定理，考察定积分考察定积分记作记作积分上限函数积分上限函数5.2 牛顿-莱布尼兹公式一一. .积分上限函数
4、积分上限函数活动上限定积分活动上限定积分牛顿（牛顿（Newton , 1642-1727）, 英国数学家英国数学家 .莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz , 1646-1716）, 德国数学家德国数学家 .（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理的重要意义：定理的重要意义：（1）连续函数一定存在原函数）连续函数一定存在原函数 .（2）初步揭示了微积分学中的）初步揭示了微积分学中的定积分定积分与与原函数原函数之间的关系之间的关系 （ 微积分学第一基本定理微积分学第一基本定理 ）（即（即积分学积分学与与微分学微分学之间的关系）之间的关系）.证证由积分中值定理得由积分中值定理得 （ 牛顿一莱布尼兹公
5、式牛顿一莱布尼兹公式 ）证证二. 牛顿-莱布尼兹公式例例 1 1 计算下列各题：计算下列各题：解解（型不定式）（型不定式）例例 2 2 注：注：例例 3 3 计算下列极限：计算下列极限：例例4 4 求求 例例5 5 设设 , 求求 . 原式原式解解解解 5.3 5.3 定积分的计算定积分的计算 （ 换元积分法换元积分法 ）注意注意: 一一. . 定积分的换元积分法定积分的换元积分法证证 证毕证毕例例 1 1 求求解解例例 2 2证证例例3 3 计算计算奇函数奇函数解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积证证 令令令令证证证证例例5 证明若函数证明若函数 是周期为是周期为 的连续函数，则
6、的连续函数，则 二二. . 定积分的分部积分法定积分的分部积分法分部积分公式分部积分公式证证 （ 分部积分法分部积分法 ）证毕证毕例例 6 6 计算计算解解“反幂反幂”型型例例 7 7 求求 解解问题的提出：问题的提出：推广：推广：5.4 广 义 积 分一一. .无穷积分无穷积分定义定义例例1 1 计算无穷积分计算无穷积分解解例例2 2 解解例例3 3 例例4 4 解解解解 二二. . 瑕瑕 积积 分分定义定义例例1 1 解解例例2 2 解解解解证证1证证2证证 5.5 定积分在几何上的应用一一. . 微元法微元法分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限微元法微元法 （元素法）（元素法）二
7、. 平面图形的面积1. 直角坐标系直角坐标系解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量解解 求两曲线的交点求两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量,若选若选 为积分变量为积分变量如果曲线如果曲线 C 为参数方程为参数方程2. 参数方程参数方程（证明略）（证明略）解解椭圆的参数方程为椭圆的参数方程为:由对称性由对称性 ,面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积3. 极坐标系极坐标系解解由对称性由对称性例例 4解解 1利用对称性知利用对称性知例例 5三. 体 积1. 已知平行截面面积立体的体积已知平行截面面积立体的体积 如果一个立体介于垂直于如果一个立体介于垂直于 轴的两个平面轴的
8、两个平面 解解 1取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为:截面面积截面面积 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台2. 2. 旋转体的体积旋转体的体积解解解解四.平面曲线的弧长1. 参数方程情形参数方程情形2. 直角坐标系直角坐标系3. 极坐标情形极坐标情形解解解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性解解 5.6 定积分在物理上的应用一一. 变力作功变力作功FS解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为第
9、一次锤击时所作的功为设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为:依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等次击入的总深度为次击入的总深度为第第 次击入的深度为次击入的深度为例例1 1 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入铁钉击入1 厘米，若每次锤击所作的功相等，问第厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？解解1二. 水压力解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图三. 引 力解解 如图建立坐标系，如图建立坐标系，将典型区间小段近似看成质点将典型区间小段近似看成质点,小段的质量为小段的质量为引力大小引力大小小段与质点小段与质点 的距离为的距离为引力大小引力大小水平方向的分力元素水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为四. 函数的平均值
