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1、 第第2章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.1 概述2.2 逻辑函数及其表示法2.3 逻辑代数的基本定律和规则2.4 逻辑函数的公式化简法2.5 逻辑函数的卡诺图化简法退出退出事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有和和两种逻辑两种逻辑值，有值，有与、或、非与、或、非与、或、非与、或、非三种基本逻辑运算，还有三种基本逻辑运算，还有与或、与非、与或与或、与非、与
2、或与或、与非、与或与或、与非、与或非、异或非、异或非、异或非、异或几种导出逻辑运算。几种导出逻辑运算。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。 逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。2.1 2.1 概述概述2.2.1 2.2.1 基本逻辑函数及运算基本逻辑函数及运算基本逻辑函数及运算基本逻辑函数及运算2.2.2 2.2.2 几种导出的逻辑运算几种导出的逻辑运算几种导出的逻辑运算几种导出的逻辑运算2.2.3
3、 2.2.3 逻辑函数及其表示法逻辑函数及其表示法逻辑函数及其表示法逻辑函数及其表示法退出退出退出退出2.2 2.2 逻辑函数及其表示法逻辑函数及其表示法2.2.4 2.2.4 逻辑函数表示法之间的相互转换逻辑函数表示法之间的相互转换逻辑函数表示法之间的相互转换逻辑函数表示法之间的相互转换1 1、与逻辑（与运算）、与逻辑（与运算）与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：开关A，B串联控制灯泡Y2.2.1 基本逻辑函数及运算基本逻辑函数及运算两个开关必须同时接通，两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：灯才亮。逻辑表达式为：A、B
4、都断开，灯不亮。都断开，灯不亮。A断开、断开、B接通，灯不亮。接通，灯不亮。A接通、接通、B断开，灯不亮。断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。都接通，灯亮。这种把所有可能的条件组合及其对应这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做结果一一列出来的表格叫做真值表真值表。将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：功能表功能表实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：真真值值表表逻辑符号逻辑符号2 2、或逻辑（或运算）、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。
5、表达式为：开关A，B并联控制灯泡Y两个开关只要有一个接通，两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：灯就会亮。逻辑表达式为：+A、B都断开，灯不亮。都断开，灯不亮。A断开、断开、B接通，灯亮。接通，灯亮。A接通、接通、B断开，灯亮。断开，灯亮。A、B都接通，灯亮。都接通，灯亮。实现或逻辑的电实现或逻辑的电路称为或门。或路称为或门。或门的逻辑符号：门的逻辑符号：Y=A+B真值表真值表功能表功能表逻辑符号逻辑符号3 3、非逻辑（非运算）、非逻辑（非运算）非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：开关A控制灯泡Y实现非逻辑的
6、电路称为非门。非门的逻辑符号：Y=AA断开，灯亮。断开，灯亮。A接通，灯灭。接通，灯灭。真真值值表表功功能能表表逻辑符号逻辑符号1、与非运算：逻辑表达式为：2、或非运算：逻辑表达式为：2.2.2 2.2.2 几种导出的逻辑运算几种导出的逻辑运算几种导出的逻辑运算几种导出的逻辑运算3、异或运算：逻辑表达式为：4、 与或非运算：逻辑表达式为：2.2.3 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法1 1、真值表真值表真值表：是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2i种不同的取值，将这2i种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律
7、）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。例如：当A=B=1、或则B=C=1时，函数Y=1；否则Y=0。2 2、逻辑表达式逻辑表达式逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。函数的标准与或表达式的列写方法：将函数的真值表中那些使函数值为1的最小项相加，便得到函数的标准与或表达式。3 3、卡诺图卡诺图卡诺图：是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形。逻辑函数卡诺图的填写方法：在那些使函数值为1的变量取值组合所对应的小方格内填入1，其余的方格内填入0，便得到该函数的卡诺图。4 4、逻辑图逻辑图逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图
8、形。、波形、波形图图波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。2.2.4 逻辑函数表示方法之间的转换逻辑函数表示方法之间的转换1 1、由真值表到、由真值表到逻辑图的转换逻辑图的转换真值表真值表逻辑表逻辑表达式或达式或卡诺图卡诺图 1 1 最简与或最简与或表达式表达式化简 2 或 2 &画逻辑图画逻辑图 3 &1ABCA最简与或最简与或表达式表达式&CBBAACABACYACBBAACY&ABCABAC若用与非门实现，若用与非门实现，将最简与或表达将最简与或表达式变换成最简与式变换成最简与非非- -与非表达式与非表达式 3 2 2、由、由逻辑
9、图逻辑图到真值表到真值表的转换的转换逻辑图逻辑图逻辑表达逻辑表达式式 1 1 最简与或最简与或表达式表达式化化简简 2 &A1CBBAACY11 2 从从输输入入到到输输出出逐逐级级写写出出最简与或最简与或表达式表达式 3 真值表真值表 3 2.3 逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则2.3.12.3.1 逻辑代数的基本公式和逻辑代数的基本公式和逻辑代数的基本公式和逻辑代数的基本公式和定律定律定律定律2.3.2 2.3.2 逻辑代数的逻辑代数的逻辑代数的逻辑代数的三个重要规则三个重要规则三个重要规则三个重要规则退出退出退出退出2.3.1 2.3.1 逻辑代数的基本公式和基本定律逻辑
10、代数的基本公式和基本定律 1、常量之间的关系 2、基本公式分别令分别令A=0及及A=1代入这些代入这些公式，即可证公式，即可证明它们的正确明它们的正确性。性。 3、基本定律利用真值表很容易证利用真值表很容易证明这些公式的正确性。明这些公式的正确性。如证明如证明AB=BA：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配律分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等幂律等幂律AA=AAA=A=A(1+B+C)+BC分配律分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+BC0-10-1律律A+1=1A+1=1证明分配律：A+BA=(A+B)(A+C)证
11、明：证明： 4、常用公式分配律分配律A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)互补律互补律A+A=1A+A=10-10-1律律A A1=11=1互补律互补律A+A=1A+A=1分配律分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC0-10-1律律A+1=1A+1=1例如，已知等式 ，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有： 1、代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。2、反反演演规规则则：对对于于任任何何一一个个逻逻辑辑表表达达式式Y，如如果果将将表表达达式式中中的的
12、所所有有“”换换成成“”，“”换换成成“”，“0”换换成成“1”，“1”换换成成“0”，原原原原变变变变量量量量换换换换成成成成反反反反变变变变量量量量，反反反反变变变变量量量量换换换换成成成成原原原原变变变变量量量量，那那么么所所得得到到的的表表达达式式就就是是函函数数Y的的反反函函数数Y（或或称称补补函函数数）。这这个个规则称为反演规则。例如：规则称为反演规则。例如：2.3.2 2.3.2 逻辑代数的逻辑代数的逻辑代数的逻辑代数的三个重要规则三个重要规则三个重要规则三个重要规则3、对对偶偶规规则则：对对于于任任何何一一个个逻逻辑辑表表达达式式Y，如如果果将将表表达达式式中中的的所所有有“”
13、换换成成“”，“”换换成成“”，“0”换换成成“1”，“1”换换成成“0”，而而变变变变量量量量保保保保持持持持不不不不变变变变，则则可可得得到到的的一一个个新新的的函函数数表表达达式式Y，Y称称为为函函Y的的对对偶偶函函数数。这这个个规规则则称称为为对对偶偶规规则则。例例如：如：对对偶偶规规则则的的意意义义在在于于：如如果果两两个个函函数数相相等等，则则它它们们的的对对偶偶函函数数也也相相等等。利利用用对对偶偶规规则则,可可以以使使要要证证明明及及要要记记忆忆的的公公式式数数目目减减少一半。例如：少一半。例如：注意注意注意注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的在运用反演规则和对
14、偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。算，否则容易出错。本节小结本节小结逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。法，解决逻辑电路的分析和设计问题。与与、或或、非非是是3 3种种基基本本逻逻辑辑关关系系，也也是是3 3种种基基本本逻逻辑辑运运算算。与与非非
15、、或或非非、与与或或非非、异异或或则则是是由由与与、或或、非非3 3种种基基本本逻逻辑辑运运算算复复合合而而成成的的4 4种常用逻辑运算。种常用逻辑运算。逻逻辑辑代代数数的的公公式式和和定定率率是是推推演演、变变换换及及化化简逻辑函数的依据。简逻辑函数的依据。2.4 2.4 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法2.4.1 化简的意义与标准化简的意义与标准2.4.2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法退出退出 对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。这样可以节省元器件，优化生产工艺，降低成本，提高系统的可靠性，从而提高产品在市场中的竞争
16、力。2.4.1 化简的意义与标准化简的意义与标准一、化简逻辑函数的意义二、逻辑函数的几种常见形式 一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、 或与表达式、与非-与非表达式、 或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。三、逻辑函数的最简表达式最简与或表达式最简与或表达式1 1、最简与或表达式最简与或表达式乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。2 2、最简与非最简与非-与非表达式与非表达式非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。在最简与或表达式的基础上两次取
17、反用摩根定律去掉下面的非号3 3、最简或与表达式最简或与表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。求出反函数的最简与或表达式利用反演规则写出函数的最简或与表达式4 4、最简或非最简或非-或非表达式或非表达式非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。求最简或非-或非表达式两次取反、最简与或非表达式最简与或非表达式非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。求最简或非-或非表达式用摩根定律去掉下面的非号用摩根定律去掉大非号下面的非号 2.4.2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法一、并项法一、并项法逻辑函数的公式化简法就是运
18、用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。利用公式1，将两项合并为一项，并消去一个变量。若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。运用摩根定律运用分配律运用分配律二、吸收法二、吸收法如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。运用摩根定律（）利用公式，消去多余的项。（）利用公式，消去多余的变量。如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。三、配项法三、配项法（）利用公式（），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。四、消去冗余项法
19、四、消去冗余项法利用冗余律，将冗余项消去。例例：化简函数：化简函数解：先求出Y的对偶函数Y，并对其进行化简。求Y的对偶函数，便得的最简或与表达式。2.5 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法2.5.1 最小项与卡诺图最小项与卡诺图2.5.2 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数2.5.3 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数2.5.4 具有无关项的逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数的化简退出退出2.5.1 最小项与卡诺图最小项与卡诺图一、最小项的定义与性质一、最小项的定义与性质 如果一个函数的某个乘积项包含了函数的 全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量 的形式出现，且仅出现
20、一次，则这个乘积项称 为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。3个变量A、B、C可组成8个最小项：1、最小项的定义 2、最小项的性质：任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。全部最小项的和必为1。ABCABC任意两个不同的最小项的乘积必为0。 通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。3、最小项的表示方法：3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：二、最小项的卡诺图表示1、卡诺图的构成 将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵
21、的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。 2、卡诺图的特点卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的3、最小项的卡诺图表示每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻2.5.2 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数一、逻辑函数的标准与一、逻
22、辑函数的标准与-或式或式 如果一个与或逻辑表达式中的每一个与项都是最小项，则该逻辑表达式称为标准与-或式，也称为最小项表达式。任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和的表达式。对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式AA1 和A(B+C)ABBC来配项展开成最小项表达式。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。m1ABCm5ABCm4ABCm2ABC将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。二、用卡诺图表示逻辑函数二、用卡诺图表示逻辑函数 （1）根据逻辑式中的变量数，画出变量的卡诺图； （2）在卡诺图上有最小项的
23、方格内填入1，其余的方格内填入0 或不填。m1m3m4m6m7m11m14m151、 用卡诺图表示逻辑函数的步骤：用卡诺图表示逻辑函数的步骤：每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的两个相邻最小项可以合并消去一个变量逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并 先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。变换为与或表达式的公因子的公因子的公因子的公因子2、逻辑函数的卡诺图表示
24、、逻辑函数的卡诺图表示说明说明：如果求得了函数的反函数，：如果求得了函数的反函数，则对中所包含的各个最小项，在卡诺图相则对中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入应方格内填入0，其余方格内填入，其余方格内填入1。3 3、卡诺图的性质、卡诺图的性质（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。 相邻最小项的数目必须为 个才能合并为一项，并消去 n 个变量。包含的最小项数目越多，即由这
25、些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。小小 结结2.5.3 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数的方法和步骤： 1、画出逻辑函数的卡诺图； 2、合并卡诺图中的相邻最小项（即将卡诺图中相邻的1方格花在一个圈中） ； 3、将合并化简后的各与项进行逻辑加，便求得逻辑函数的最简与-或式。逻辑表达式逻辑表达式或真值表或真值表卡诺图卡诺图 1 1 化简示例合并最小项合并最小项圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为个。同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。不能漏掉任何一个
26、标的方格。最简与或表达式最简与或表达式冗余项 2 2 3 3 将代表每个圈的乘积项相加两点说明 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。不是最简最简 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。 2.5.4 具有无关项的逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数的化简无关项无关项无关项无关项：函数可以随意取值（可以为函数可以随意取值（可以为函数可以随意取值（可以为函数可以随意取值（可以为0 0，也可以为，也可以为，也可以为，也可以为1 1）或不会出现）或不会出现）或不会出现）或不
27、会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。1 1、逻辑函数中的无关项逻辑函数中的无关项例如：判断一位十进制数是否为偶数。例如：判断一位十进制数是否为偶数。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现 说 明 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 0 1 1 0 10 0 1 0 1 1 1 0 01 0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 1 0 1 01 0
28、0 1 00 1 0 0 10 0 0 0 11 1 0 0 01 0 0 0 0Y A B C DY A B C D输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。A，B，C，D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号“”、“”或“d”表示。随意项之和构成的逻辑表达式叫做 随意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：2 2、利用无关项化简逻辑函数利用无关项化简逻辑函数在化简逻辑函数时，充分利用无关项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑
29、电路也更简单。在化简过程中，无关项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。不利用随意项的化简结果为：利用随意项的化简结果为：本节小结本节小结 逻逻辑辑函函数数的的化化简简有有公公式式法法和和卡卡诺诺图图法法等等。公公式式法法是是利利用用逻逻辑辑代代数数的的公公式式、定定理理和和规规则则来来对对逻逻辑辑函函数数化化简简，这这种种方方法法适适用用于于各各种种复复杂杂的的逻逻辑辑函函数数，但但需需要要熟熟练练地地运运用用公公式式和和定定理理，且且具具有有一一定定的的运运算算技技巧巧。卡卡诺诺图图法法就就是是利利用用函函数数的的卡卡诺诺图图来来对对逻逻辑辑函函数数化化简简，这这种种方方法法简简单单直直观观，容容易易掌掌握握，但但变变量量太太多多时时卡卡诺诺图图太太复复杂杂，该该法法已已不不适适用用。在在对对逻逻辑辑函函数数化化简简时时，充充分分利利用无关项可以得到十分简单的结果。用无关项可以得到十分简单的结果。
