《高等数学A-第1章-8-2（数列的极限）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学A-第1章-8-2（数列的极限）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第第1 1章章 函函数与极数与极限限高等数学高等数学A A1.2 1.2 数列的极限数列的极限1.2.1 数列极限的概念数列极限的概念 1.2.2 数列极限的性质数列极限的性质1.2 1.2 数列的极限数列的极限1.2.1 数列极限的概念数列极限的概念 数列的定义数列的定义数列极限的定义数列极限的定义实例与描述性定义实例与描述性定义数列极限的精确定义数列极限的精确定义数列极限的几何解释数列极限的几何解释用定义验证数列极限用定义验证数列极限步骤步骤数列的极限习例数列的极限习例1-61.2.2 数列极限的性质数列极限的
2、性质极限的唯一性极限的唯一性 收敛数列的有界性收敛数列的有界性收敛数列的保号性收敛数列的保号性 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系数数列列极极限限概念的引入概念的引入一、数列极限一、数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣割，则与圆周合体而无所失矣”(1)(1)割圆术：割圆术：刘徽刘徽正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积(2)(2)截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”1. 数列的定义数列的定义按按一定顺序排列的无穷多
3、个数一定顺序排列的无穷多个数例如例如从从函数观点看，数列是以自然数为自变量的整标函数函数观点看，数列是以自然数为自变量的整标函数从从几何上看，数列是数轴上的动点几何上看，数列是数轴上的动点.数列的单调性数列的单调性: 数列的有界性数列的有界性: 实例分析与描述性定义实例分析与描述性定义 思考思考1:当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?思考思考2:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它.2. 数列极限的定义数列极限的定义数列极限的精确定义数列极限的精确定义 注意注意:(
4、5)数列极限的定义没有给出求极限的方法，只能验证数列极限的定义没有给出求极限的方法，只能验证.数列极限的几何解释数列极限的几何解释 而在其内有而在其内有无穷多项无穷多项. 且且随着随着 越小，越小，N 越大，则在越大，则在(a ，a )外的项就越多，但不管怎么多都只可能是外的项就越多，但不管怎么多都只可能是有限项有限项. 步骤步骤:(3)得出结论得出结论: 3. 用定义验证数列极限用定义验证数列极限用数列极限的定义验证下列数列的极限：用数列极限的定义验证下列数列的极限：证明证明:证明证明:证明证明: 证明证明: 证明证明: 例例6.证明证明:定理定理1(极限的唯一性极限的唯一性) 如果一数列收
5、敛，那么它的极限唯一如果一数列收敛，那么它的极限唯一.证明：证明：用反证法用反证法. 假设：假设：4. 数列极限的性质数列极限的性质这一矛盾证明了这一矛盾证明了:定理定理2(有界性有界性) 收敛数列必有界收敛数列必有界. 证明证明: 推论：无界数列必定发散推论：无界数列必定发散.定理定理3(收敛数列的保号性收敛数列的保号性)证明证明:不妨假设不妨假设 ，推论：推论：如果数列从某项起有如果数列从某项起有 ，且，且 ,定理定理4 注意注意:(1)定理定理1的几何解释：的几何解释：(2)定理定理2为必要条件定理，反过来，有界数列不一定收敛为必要条件定理，反过来，有界数列不一定收敛(5)极限定义中的极限定义中的N是否唯一是否唯一? (6)一数列的两个子数列收敛于不同的极限一数列的两个子数列收敛于不同的极限,则数列发散则数列发散.一个发散一个发散数列可能有收敛的子列数列可能有收敛的子列.
