差分方程式与离散时间系统之脉冲响应课件

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1、數位訊號處理數位訊號處理第第3章離散時間系統時域分析章離散時間系統時域分析第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析2大綱大綱3.1 離散時間線性非時變系統離散時間線性非時變系統 3.1.1 系統定義系統定義 3.1.2 連續時間系統與離散時間系統連續時間系統與離散時間系統3.1.3 線性系統與非線性系統線性系統與非線性系統 3.1.4 時變系統與非時變系統時變系統與非時變系統 3.2 離散時間離散時間LTI系統響應系統響應3.2.1 離散時間離散時間LTI系統之脈衝響應系統之脈衝響應 3.2.

2、2 任意輸日序列的輸出響應任意輸日序列的輸出響應3.3 旋積和運算旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算旋積和運算之計算3.4 離散時間離散時間LTI系統的特性系統的特性 3.4.1 無記憶特性無記憶特性 3.4.2 因果特性因果特性 3.3.3 穩定特性穩定特性 3.5 差分方程式與時間系統差分方程式與時間系統 3.5.1差分方程式描述離散時間系統差分方程式描述離散時間系統 3.5.2差分方程式與離散時間系統之脈衝響應差分方程式與離散時間系統之脈衝響應3.6 總結與參考文獻總結與參考文獻數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統

3、時域分析離散時間系統時域分析3系統定義系統定義l為達成某些特定功能或目的，由某些物件單元組成的物體稱為系統(system)。l系統也可看成一種描述輸入訊號與輸出訊號之關係或過程的一種數學模型。l假設x表示系統的輸入訊號，y表示系統的輸出訊號，那麼系統可看成某種轉換(transformation)或映射(mapping)將輸入訊號x轉換成輸出訊號y，以數學模型描述此轉換為y=T x其中T 表示某種經過嚴謹定義的運算元運算元(operator)將x轉換成y。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析4：y2x2x1系統數學模型示意圖系統數學模型示意圖

4、系統T x系統T yy1(a)單一輸入/單一輸出訊號系統(b)多重輸入/多重輸出訊號系統 xnym：數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠範例範例3-1：單一輸入單一輸入/輸出連續時間系統之例子輸出連續時間系統之例子RC 電路圖l下圖敘述一個簡單的RC電路，若將電壓源信號視為一連續時間輸入信號，且將電容之端電壓信號y(t)視為一連續時間輸出信號，則此簡單的RC電路即是單一輸入/單一輸出信號連續時間系統之一個例子。其輸入與輸出之關係可用一階常微分方程式描述為：Ry(t)i(t)x(t)+C數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠範例範例3-2：單一輸入單一輸入/輸出離散時間系統之例子輸出離散時間系

5、統之例子l張先生以定期不定額方式準備退休基金，於當月份(或稱第n個月)存入某銀行之金額為xn，假設月利率為0.0025，以複利方式計息，那麼當月份計息後，張先生在該銀行之總存款金額yn為：若將總存款金額yn視為輸出序列，當月存入金額xn視為輸入序列，則張先生的退休基金準備計劃可以視為一個單一輸入/輸出之離散時間系統。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析7線性系統與非線性系統線性系統與非線性系統l線性系統運算元T符合以下特性：l加成性加成性(additivity) ：若Tx1=y1且Tx2=y2則Tx1+x2= y1+y2，任何x1及x2皆成

6、立。l一致性或等比例一致性或等比例(homogeneity or scaling)：若T x=y則T x=y，左式對於任何x及純量常數皆成立。整合成疊加特性疊加特性(superposition property):l若系統符合以上特性者稱為線性系統線性系統(linear system)l若系統不符合以上特性者稱為非線性系統非線性系統(nonlinear system)。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析8x2n線性離散系統示意圖線性離散系統示意圖線性系統x1n線性系統線性系統y1ny2na1x1n+a2x2na1y1n+a2y2n數位訊號

7、處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析9範例範例3-3：線性系統線性系統l假設系統之輸出/輸入關係為:，請說明此系統為一線性系統。假設將任意兩訊號x1n和x2n分別輸入此系統，分別產生之輸出訊號y1n和y2n可表示成檢驗輸入訊號a1x1n+a2x2n對應之輸出訊號符合疊加特性，故此系統為一線性系統。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析10範例範例3-4：非線性系統非線性系統l假設系統之輸出/輸入關係為:，請說明此系統為一非線性系統。假設將任意兩訊號x1n和x2n分別輸入此系統，分別產生之輸出訊號y

8、1n和y2n可表示成檢驗輸入訊號a1x1n+a2x2n對應之輸出訊號不符合疊加特性，故此系統為一非線性系統。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析11時變系統與非時變系統時變系統與非時變系統l若一系統之輸入訊號的輸入時間提前或延後t0(連續時間系統)或n0(離散時間系統)時，其對應的輸出訊號波形與原輸出訊號波形相同，但其輸出訊號也提前或延後t0或n0，此種系統稱為非時變系統(time-invariantsystem)。l不符合以上特性之系統稱時變系統(time-varyingsystem)。非時變系統xnynxn n0非時變系統yn n0數位

9、訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析12範例範例3-5：時變系統時變系統l假設系統之輸出/輸入關係為:，請說明此系統為一時變系統。此系統之輸入訊號與輸出訊號分別為xn和yn，假設輸入訊號之輸入時間延後n0，此時輸入訊號為xdn=xnn0，此情況之系統輸出訊號為檢驗原輸出訊號輸出時間也平移n0之結果為顯然ydn與yn n0不相等，故此系統為一時變系統。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析13範例範例3-6：非時變系統非時變系統l假設系統之輸出/輸入關係為:，請說明此系統為一非時變系統。此系統之

10、輸入訊號與輸出訊號分別為xn和yn，假設輸入訊號之輸入時間延後n0，此時輸入訊號為xdn=xnn0，此情況之系統輸出訊號為檢驗原輸出訊號輸出時間也平移n0之結果為顯然ydn與yn n0相等，故此系統為一非時變系統。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析14大綱大綱3.1 離散時間線性非時變系統離散時間線性非時變系統 3.1.1 系統定義系統定義 3.1.2 連續時間系統與離散時間系統連續時間系統與離散時間系統3.1.3 線性系統與非線性系統線性系統與非線性系統 3.1.4 時變系統與非時變系統時變系統與非時變系統 3.2 離散時間離散時間LT

11、I系統響應系統響應3.2.1 離散時間離散時間LTI系統之脈衝響應系統之脈衝響應 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應任意輸日序列的輸出響應3.3 旋積和運算旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算旋積和運算之計算3.4 離散時間離散時間LTI系統的特性系統的特性 3.4.1 無記憶特性無記憶特性 3.4.2 因果特性因果特性 3.3.3 穩定特性穩定特性 3.5 差分方程式與時間系統差分方程式與時間系統 3.5.1差分方程式描述離散時間系統差分方程式描述離散時間系統 3.5.2差分方程式與離散時間系統之脈衝響應差分方程式與離散時間系統之脈衝響應3.6

12、總結與參考文獻總結與參考文獻數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析1515離散時間離散時間LTI系統脈衝響應系統脈衝響應l考量一離散時間LTI(LinearTimeInvariant)系統的輸入為單位脈衝序列時，其輸出序列的數學模型描述為(3.3)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析16任意輸入序列的輸出響應任意輸入序列的輸出響應(1)l任何輸入序列可以表示為l考量一離散時間LTI系統的輸入為任意序列時，其輸出序列可描述成： (3.4)(3.5)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3

13、章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析17任意輸入序列的輸出響應任意輸入序列的輸出響應(2)l因為是線性系統，利用其疊加特性，(3.5)式可寫成l再考量系統的非時變(time-invariant)特性，由(3.3)式我們可得(3.6)(3.7)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析18任意輸入序列的輸出響應任意輸入序列的輸出響應(3)l因此任意輸入序列的輸出響應可寫成l上式是著名的旋積和(convolutionsum)運算，表示成 (3.8)(3.9)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時

14、域分析19離散時間離散時間LTI系統的輸入系統的輸入/輸出關係示意圖輸出關係示意圖l離散時間LTI系統的輸入/輸出關係示意圖數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析20大綱大綱3.1 離散時間線性非時變系統離散時間線性非時變系統 3.1.1 系統定義系統定義 3.1.2 連續時間系統與離散時間系統連續時間系統與離散時間系統3.1.3 線性系統與非線性系統線性系統與非線性系統 3.1.4 時變系統與非時變系統時變系統與非時變系統 3.2 離散時間離散時間LTI系統響應系統響應3.2.1 離散時間離散時間LTI系統之脈衝響應系統之脈衝響應 3.2.

15、2 任意輸日序列的輸出響應任意輸日序列的輸出響應3.3 旋積和運算旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算旋積和運算之計算3.4 離散時間離散時間LTI系統的特性系統的特性 3.4.1 無記憶特性無記憶特性 3.4.2 因果特性因果特性 3.3.3 穩定特性穩定特性 3.5 差分方程式與時間系統差分方程式與時間系統 3.5.1差分方程式描述離散時間系統差分方程式描述離散時間系統 3.5.2差分方程式與離散時間系統之脈衝響應差分方程式與離散時間系統之脈衝響應3.6 總結與參考文獻總結與參考文獻數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統

16、時域分析離散時間系統時域分析21旋積和運算特性旋積和運算特性(1)l交換律(commutative)l結合律(assciative)l分配律(distributive) (3.10)(3.12)(3.11)(3.13)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析22旋積和運算特性旋積和運算特性(2)l(3.10)式交替特性說明一離散時間LTI系統的輸入序列xn與脈衝響應hn互換，其輸出yn不受影響，即下圖的兩個離散時間LTI系統輸出與完全相同。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析23離散時間離散

17、時間LTI系統的串聯架構系統的串聯架構l離散時間LTI系統的串聯架構：數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析24離散時間離散時間LTI系統的並聯架構系統的並聯架構 l離散時間LTI系統的並聯架構：數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析25範例範例3-7l假定4個離散時間LTI次系統的脈衝響應分別是、與，以此4個次系統合成一個新系統，此新系統的脈衝響應可表示成：l利用前述旋積和運算特性分析其系統架構。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析26

18、範例範例3-7(續續)l離散時間LTI系統的合成架構：數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析27旋積和運算之計算旋積和運算之計算 之計算步驟：之計算步驟：1.將xn的參數n置換成k，即xk，並繪圖。2.將hn的參數n置換成k，即hk，並繪圖。3.將hk翻轉得hk，並繪圖。4.將hk平移n得h(kn)=hnk，並繪圖。5.將xk與hnk兩圖重疊，將xk固定不動，移動時間參數n(從移往)，即移動hnk，針對每一n值，依序變化參數k值所對應之xk與hnk之乘積做累加運算。在此運用兩圖並排主要是有助於決定累加運算的上下限。數位訊號處理數位訊號處理_余

19、兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析28範例範例3-8l假定一離散時間LTI系統的脈衝響應hn與輸入序列xn為：求其輸出序列數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析29範例範例3-8(續續)l步驟1.將xn的參數n 置換成參數k 得到xk，並將序列xk對應k繪圖，如圖(a)所示。l步驟2.將hn的參數n 置換成參數k 得到hk，並將序列hk對應k 繪圖，如圖(b)所示。(a)序列xk(b)序列hk數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析30範例範例3-8(續續)l步驟3

20、.將hk翻轉得圖(c)顯示之hk。l步驟4.將hk平移n 得h (k n)=hn k，並繪圖，如圖(d)所示。(c)序列hk(d)序列hnk數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析31範例範例3-8(續續)l步驟5.將xk與hn k兩圖上下並排，且座標軸對齊，將xk圖固定不動，移動hn k圖，即移動時間參數 n(從移往)，針對每一 n值，依序變化參數 k 值所對應之xk與hn k之乘積做累加運算。分段處理以圖解方式說明，其參數 n分段細節詳述如下：數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析32範例

21、範例3-8(續續)1.當n 0 時，圖(a)顯示在範圍內， xk與hn k的乘積皆為0，所以其累加結果為0，即yn=0，n 0。(a)n6 時，下圖顯示在範圍內， xk與hn k的乘積皆為0，所以其累加結果為0，即yn=0,n 6。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析36範例範例3-8之輸出序列之輸出序列l整合上述結果，輸出訊號可表示為，如下圖所示。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠範例範例3-8之動畫之動畫37xn置換參數得xkhn置換參數得hk -1 0 1 2 3 4 5 6 71h h n n k k h h n n k k h

22、 h k k 將將 hk作翻作翻轉成為轉成為 h-k平移平移 n n 得得 h h n-kn-k n-3 nh h- -k k 4 3 2 1xk與hn k之乘積做累加運算(旋積和) -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7n6n-3 nn-3 nn-3 nn-3 nn-3 nn-3 nn-3 nn-3 nn-3 n數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析38範例範例3-9l給定一個離散時間LTI系統的輸入訊號與脈衝響應分別表示為請計算此系統的輸出訊號yn。l此系統的輸出訊號可由下列四種方式求得。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章

23、章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析39範例範例3-9 (續續)l方式一方式一：利用(3.6)式並運用單位步階序列之定義直接計算輸出訊號數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析40範例範例3-9 (續續)l方式二方式二：利用(3.9)式並運用單位步階序列之定義直接計算輸出訊號數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析41範例範例3-9 (續續)l方式三方式三：利用(3.6)式並運用圖解法(參考範例3-6)計算輸出訊號。l步驟1：將序列xn及hn，參數n皆置換成參數k，如圖(a)、(b)所示

24、。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析42範例範例3-9 (續續)l步驟2：將hk翻轉得到h k如圖(c)所示，再將h k平移n得到hn k，如圖(d)所示。l步驟3：將xk與hn k兩圖上下並排，且座標軸對齊，將 xk圖固定不動，移動hn k圖，即移動時間參數 n (從移往)，針對每一 n 值，依序變化參數 k 值所對應之 xk與hn k之乘積做累加運算，參數 n 分段細節詳述如下：數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析43範例範例3-9 (續續)1.當n 0 時，觀察下頁圖(e)顯示在

25、k 範圍內，xk與hn k的乘積皆為0，所以其累加結果為0，即yn=0,n 0。2.當n 0時，觀察下頁圖(f)，針對每一 n 值，依參數 k 值所對應之xk與hn k之乘積做累加運算，只有k =0到k = n這個範圍內 xk與hn k之乘積不為0，累加這n +1個不為0之乘積可得yn，依此方式可以計算yn。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析44範例範例3-9 (續續)l整合上述結果，輸出訊號可表示為(e)n 0的情況(f)n 0的情況數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析45範例範例3

26、-9 (續續)l方式四方式四：利用(3.6)式並運用圖解法(參考範例3-6)計算輸出訊號。l步驟1：將序列hn及xn，參數n皆置換成參數k，如圖(a)、(b)所示。hk數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析46範例範例3-9 (續續)l步驟2：將xk翻轉得到xk如圖(c)所示，再將xk平移n得到 xn k如圖(d)所示。l步驟3：將hk與xn k兩圖上下並排，且座標軸對齊，將hk圖固定不動，移動xn k圖，即移動時間參數 n (從移往)，針對每一 n 值，依序變化參數 k 值所對應之hk與 xn k之乘積做累加運算，參數 n 分段細節詳述如下

27、數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析47範例範例3-9 (續續)1.當n 0 時，觀察下頁圖(e)顯示在k範圍內，hk與xn k的乘積皆為0，所以其累加結果為0，即yn=0,n 0。2.當n 0時，觀察下頁圖(f)，針對每一 n 值，依參數 k 值所對應之hk與xn k之乘積做累加運算，只有k =0到k = n這個範圍內hk與xn k 之乘積不為0，累加這n+1個不為0之乘積可得 yn，依此方式可以計算yn。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析48範例範例3-9 (續續)l整合上述結果，

28、輸出訊號可表示為(e)n 0的情況(f)n 0的情況數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析49範例範例3-9 (續續)l討論討論：本題使用四種方式計算輸出訊號。建議使用方式3或方式4之圖解法，比較不會出錯。仔細比較方式3與方式4還是有點小差異，方式3要找出，方式4直接用，似乎方式4又較容易些。最後以=0.6為例，用MATLAB繪製輸出訊號圖。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析50範例範例3-10 l給定一離散時間LTI系統其脈衝響應與輸入序列分別描述如圖(a)與圖(b)，請計算此系統的輸

29、出訊號。l本題與範例3-8類似，圖解法留作練習。在此提供一種針對有限序列較快速的計算旋積和之方法。(b)輸入序列(a)脈衝響應hnxn數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析51範例範例3-10 (續續)lxn表示為輸入輸出l利用線性與非時變特性，輸出訊號可表示成hnhnhn+數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析52範例範例3-10 (續續)l利用直式乘法直接表示旋積和，其架構如下圖所示。；l由上述直式乘法結果可得輸出訊號。注意：與一般直式乘法不同，每一縱行數值之相加不必進位。數位訊號處理數

30、位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析53範例範例3-11 l給定一離散時間LTI系統，其輸入序列與脈衝響應分別為請計算輸出訊號yn。l採用直式乘法直接計算旋積和可得輸出訊號為數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析54範例範例3-12l假定一離散時間LTI系統的脈衝響應hn，輸入序列為一步階序列：求其輸出序列，此輸出序列也稱為步階響應步階響應(step response)，以sn表示之。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析55範例範例3-12(續續)l

31、本例題可直接用(3.7)式及其交換律求得輸出訊號由定義注意到變數參數是k數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析56範例範例3-12(續續)l或由下圖決定上述累加運算的上限為n ，也就是說因此輸出訊號sn可改寫成數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析57範例範例3-12(續續)l觀察本範例求得輸入為步階序列之輸出序列是直接將離散時間LTI系統的脈衝響應累加而得；反過來說，將離散時間LTI系統的步階響應做差分可得到離散時間LTI系統的脈衝響應，即(3.15)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠

32、第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析58大綱大綱3.1 離散時間線性非時變系統離散時間線性非時變系統 3.1.1 系統定義系統定義 3.1.2 連續時間系統與離散時間系統連續時間系統與離散時間系統3.1.3 線性系統與非線性系統線性系統與非線性系統 3.1.4 時變系統與非時變系統時變系統與非時變系統 3.2 離散時間離散時間LTI系統響應系統響應3.2.1 離散時間離散時間LTI系統之脈衝響應系統之脈衝響應 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應任意輸日序列的輸出響應3.3 旋積和運算旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算旋積和運算之計

33、算3.4 離散時間離散時間LTI系統的特性系統的特性 3.4.1 無記憶特性無記憶特性 3.4.2 因果特性因果特性 3.3.3 穩定特性穩定特性 3.5 差分方程式與時間系統差分方程式與時間系統 3.5.1差分方程式描述離散時間系統差分方程式描述離散時間系統 3.5.2差分方程式與離散時間系統之脈衝響應差分方程式與離散時間系統之脈衝響應3.6 總結與參考文獻總結與參考文獻數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析59無記憶特性無記憶特性(1)l一系統的輸出序列只與同一時間的輸入序列有關，此種系統稱為無記憶系統無記憶系統；反之，若輸出序列與其他時

34、間的輸入序列有關，此系統即稱為記憶系統記憶系統。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析60無記憶特性無記憶特性(2)l一離散時間LTI系統的脈衝響應表示系統的輸入序列為n，若此離散時間LTI系統不具記憶特性，那麼一定要符合以下條件：因為輸入序列表示只在n =0時有序列，加上線性特性的條件，一離散時間無記憶離散時間LTI系統的脈衝響應可寫成：K 為常數數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析61無記憶特性無記憶特性(3)l接著利用(3.9)式可描述此系統的輸入為任意序列所得到的輸出序列：l以上分

35、析可知，若一離散時間LTI系統不具記憶特性時，系統的輸出入關係為或其脈衝響應為K為常數。l顯然輸出入關係代表此系統是一個理想的放大器()、緩衝器()、全通濾波器()或衰減器()。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析62因果特性因果特性(1)l若一系統的輸出序列只與目前或之前的輸入序列有關，此系統稱為因果系統因果系統(causalsystem)；反之，若輸出序列與未來時間的輸入序列有關，此系統即稱為非因果系統非因果系統(non-causalsystem)。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分

36、析63因果特性因果特性(2)l一離散時間LTI系統的脈衝響應表示系統的輸入序列為 n，若此離散時間LTI系統具因果特性，那麼一定要符合以下條件：(因為輸入序列 n表示只在n =0時才有序列輸入，因此在n =0之前不能有輸出序列。)l一離散時間因果LTI系統的輸入為任意序列xn時，其輸出序列為(3.16)(3.17)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析64因果特性因果特性(3)1.使用(3.16)式之因果特性可得2.直接用旋積和運算之交換律求得輸出序列：l一離散時間LTI系統若具因果特性時，系統的輸出入關係仍如(3.9)式之旋積和運算所述，但

37、積分上下限已改變，如(3.18)式或(3.19)式所示。(3.19)(3.18)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析65穩定特性穩定特性(1)l若一系統之輸入序列的數值有限，其對應的輸出序列值也有限，此種系統稱BIBO (bounded input bounded output)穩定系統穩定系統，反之，輸入有限數值的序列而輸出無限值之系統為不穩定系統不穩定系統。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析66穩定特性穩定特性(2)l我們分析一個BIBO穩定的離散時間LTI系統，其脈衝響應要符合什

38、麼條件?l假定輸入序列大小為有限值：l若系統穩定則其輸出序列要符合以下條件：(3.20), 對所有n(3.21)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析67穩定特性穩定特性(3)l條件(3.18)式可改寫為：l換言之，一個離散時間LTI系統的脈衝響應若符合條件(3.22)式，則此離散時間LTI系統是BIBO穩定。(3.22)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析68範例範例3-13l一離散時間LTI系統的脈衝響應，討論其特性。1.因為系統的脈衝響應hn不符合系統無記憶條件：，也就是說；系統具記

39、憶特性。2.具因果特性，因為脈衝響應hn符合條件：3.系統不穩定，因為，不符合BIBO穩定系統之定義。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析69範例範例3-14l一離散時間LTI系統的脈衝響應討論其系統特性。1.具記憶特性，因為脈衝響應不符合系統無記憶條件：，也就是說當時仍有數值。2.具因果特性，因為脈衝響應符合因果條件，即3.系統穩定，因為系統符合BIBO穩條件。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析70大綱大綱3.1 離散時間線性非時變系統離散時間線性非時變系統 3.1.1 系統定義系統

40、定義 3.1.2 連續時間系統與離散時間系統連續時間系統與離散時間系統3.1.3 線性系統與非線性系統線性系統與非線性系統 3.1.4 時變系統與非時變系統時變系統與非時變系統 3.2 離散時間離散時間LTI系統響應系統響應3.2.1 離散時間離散時間LTI系統之脈衝響應系統之脈衝響應 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應任意輸日序列的輸出響應3.3 旋積和運算旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算旋積和運算之計算3.4 離散時間離散時間LTI系統的特性系統的特性 3.4.1 無記憶特性無記憶特性 3.4.2 因果特性因果特性 3.3.3 穩定特性穩定

41、特性 3.5 差分方程式與時間系統差分方程式與時間系統 3.5.1差分方程式描述離散時間系統差分方程式描述離散時間系統 3.5.2差分方程式與離散時間系統之脈衝響應差分方程式與離散時間系統之脈衝響應3.6 總結與參考文獻總結與參考文獻數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析71差分方程式描述離散時間系統差分方程式描述離散時間系統l除了以脈衝響應、步階響應及旋積和運算分析時域的離散時間LTI系統，此外，一個線性常係數差分方程式：也可以描述一時域的離散時間系統的輸出序列與輸入序列的關係，其中yn k與xn k分別表示yn與xn延遲k個單位時間。(3

42、.23)ak 和bk為常數 數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析72範例範例3-15l一離散時間系統由一單位延遲元件與一放大器所組成，如下圖所示。請寫出描述輸出與輸入之關係的差分方程式。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析73範例範例3-15 (續續)l觀察上頁圖可知單位延遲元件的輸出可表示為 yn1，並且輸出yn可以表示成或可寫成 這是一階常係數差分方程式。(3.24)(3.25)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析74範例範例3-

43、16l一離散時間系統由兩個單位延遲元件與兩個放大器所組成，如下圖所示。請寫出描述輸出與輸入之關係的差分方程式。單位延遲單位延遲數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析75範例範例3-16 (續續)l觀察上頁圖可知兩個單位延遲元件(由左至右)的輸出可分別標示為與，並且輸出可以表示成或可寫成 這是二階常係數差分方程式。(3.26)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析76差分方程式與離散時間系統之脈衝響應差分方程式與離散時間系統之脈衝響應(1)lN階差分方程式改寫成另一種形式：(以遞迴方程式(re

44、cursive equation) 計算現在輸出的方法)l接著將(3.27)式之輸入序列改成脈衝序列，其輸出即是系統之脈衝響應(3.27)(3.28)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析77差分方程式與離散時間系統之脈衝響應差分方程式與離散時間系統之脈衝響應(2)l考量(3.27)式的一個特例，即當時，(3.27)式簡化成l此特殊情況，不再以遞迴方式計算輸出。其對應系統之脈衝響應可寫成l(3.30)式脈衝響應項次有限，稱為有限脈衝響應 (finite impulse response, FIR) 系統，反之，若一離散時間LTI系統的脈衝響應

45、項次無限(因為遞迴的關係)，稱為無限脈衝響應(infinite impulse response, IIR) 系統。(3.29)(3.30)數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析78範例範例3-17l找出下列差分方程式所描述的因果離散時間LTI系統之脈衝響應，並判定是FIR系統或IIR系統。1.2.3.數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析79範例範例3-17 (續續)l參照(3.27)式與(3.28)式，離散時間LTI系統之脈衝響應方程式可寫成l系統具因果特性，並依脈衝響應定義，將上式改寫

46、成以下遞迴方程式此離散時間LTI系統之脈衝響應因為系統的脈衝響應有無限多項，因此是IIR系統。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析80範例範例3-17 (續續)l參照(3.27)式與(3.28)式，離散時間LTI系統之脈衝響應方程式可寫成l系統具因果特性，並依脈衝響應定義，將上式改寫成以下遞迴方程式此離散時間LTI系統之脈衝響應因為系統的脈衝響應只有1項，因此是FIR系統。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析81範例範例3-17 (續續)l參照(3.29)式與(3.30)式，可直接寫出離

47、散時間LTI系統之脈衝響應。或表示成因為系統的脈衝響應只有4項，因此是FIR系統。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析82大綱大綱3.1 離散時間線性非時變系統離散時間線性非時變系統 3.1.1 系統定義系統定義 3.1.2 連續時間系統與離散時間系統連續時間系統與離散時間系統3.1.3 線性系統與非線性系統線性系統與非線性系統 3.1.4 時變系統與非時變系統時變系統與非時變系統 3.2 離散時間離散時間LTI系統響應系統響應3.2.1 離散時間離散時間LTI系統之脈衝響應系統之脈衝響應 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應任意輸日序列的輸

48、出響應3.3 旋積和運算旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算旋積和運算之計算3.4 離散時間離散時間LTI系統的特性系統的特性 3.4.1 無記憶特性無記憶特性 3.4.2 因果特性因果特性 3.3.3 穩定特性穩定特性 3.5 差分方程式與時間系統差分方程式與時間系統 3.5.1差分方程式描述離散時間系統差分方程式描述離散時間系統 3.5.2差分方程式與離散時間系統之脈衝響應差分方程式與離散時間系統之脈衝響應3.6 總結與參考文獻總結與參考文獻數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析83總結總結l

49、系統時域分析主要是建立系統輸入與輸出之關係。一離散時間LTI系統之輸入為單位脈衝訊號時，此系統之輸出稱脈衝響應。那麼利用旋積和運算可求得此離散時間LTI系統之任意輸入訊號所產生的輸出訊號，本章已詳細介紹旋積和運算，並以此討論離散時間LTI系統之特性。l另外，本章也簡略討論以差分方程式描述離散時間系統輸入與輸出之關係，請注意到，以差分方程式描述離散時間系統並未侷限是一離散時間LTI系統。數位訊號處理數位訊號處理_余兆棠余兆棠第第3章章 離散時間系統時域分析離散時間系統時域分析84參考文獻參考文獻1.余兆棠、李志鵬著，訊號與系統，滄海，2007年1月。2.HweiP.Hsu,Signals and Systems,McGraw-Hill,1995.3.V.K.IngleandJ.G.Proakis,Digital Signal Processing using MATLAB,ThomsonLearning,Inc.2007.4.陳后金編著， 數位訊號處理，新文京，2005年6月。