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1、第八篇平面解析几何第八篇平面解析几何( (必修必修2 2、选修选修1-1) 1-1) 第第1 1节直线与方程节直线与方程 最新考纲最新考纲1.1.在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,结合具体图形掌结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素握确定直线位置的几何要素. .2.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念理解直线的倾斜角和斜率的概念, ,掌握掌握过两点的直线斜率的计算公式过两点的直线斜率的计算公式. .3.3.能根据两条直线的斜率判定这两条直能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直线平行或垂直. . 4.4.掌握确定直线的几何要素掌握确定直线的几何要素, ,掌掌握直线方程的三种形式握直线方
2、程的三种形式( (点斜点斜式、两点式及一般式式、两点式及一般式),),了解斜截了解斜截式与一次函数的关系式与一次函数的关系. .5.5.能用解方程组的方法求两相交能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标直线的交点坐标. .6.6.掌握两点间的距离公式、点到掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式直线的距离公式, ,会求两平行直会求两平行直线间的距离线间的距离. . 编写意图编写意图 直线与方程是平面解析几何的基础直线与方程是平面解析几何的基础, ,高考中一般不单独命高考中一般不单独命题题, ,多渗透在圆与圆锥曲线的相关考题中多渗透在圆与圆锥曲线的相关考题中, ,试题难度适中试题难度适中, ,三
3、种题型都有三种题型都有涉及涉及. .本节围绕高考命题的几个方面设置了四个考点本节围绕高考命题的几个方面设置了四个考点: :直线的倾斜角与直线的倾斜角与斜率及其应用、直线方程位置关系、两直线位置关系、两直线的交点斜率及其应用、直线方程位置关系、两直线位置关系、两直线的交点和距离问题等和距离问题等, ,并精选例题和练习并精选例题和练习, ,注重例题的变式及即时训练注重例题的变式及即时训练, ,注意培注意培养学生应用知识的能力养学生应用知识的能力. .考点突破考点突破多维审题多维审题夯基固本夯基固本夯基固本夯基固本 抓主干抓主干 固双基固双基知识梳理知识梳理正向正向 向上向上 00,180,180)
4、 ) tan tan 正切值正切值 质疑探究质疑探究1:1: 如何理解直线的倾斜角与斜率的关系如何理解直线的倾斜角与斜率的关系? ?( (提示提示: :(1)(1)每条直线都有倾斜角每条直线都有倾斜角, ,但不一定有斜率但不一定有斜率; ;2.2.直线方程的五种形式直线方程的五种形式y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0) ) Y=Y=kx+bkx+b x=xx=x0 0 Ax+By+CAx+By+C=0=0质疑探究质疑探究2:2:截距是距离吗截距是距离吗? ?( (提示提示: :不是不是. .直线在直线在x(yx(y) )轴上的截距是直线与轴上的截距是直线与x(yx(y) )轴交点
5、的横轴交点的横( (纵纵) )坐标坐标, ,它是一个实数它是一个实数, ,可正、可负、可为零可正、可负、可为零) )质疑探究质疑探究3:3:过点过点P(xP(x1 1,y,y1 1) )与与x x轴平行或垂直的直线方程是什么轴平行或垂直的直线方程是什么? ?( (提示提示: :与与x x轴平行的直线方程为轴平行的直线方程为y=yy=y1 1, ,与与x x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为x=xx=x1 1) )4.4.两条直线位置关系的判定两条直线位置关系的判定K K1 1k k2 2=-1=-1 A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 100 A A1 1A A2 2+B+B1
6、1B B2 2=0=0 (1)(1)若方程组有唯一解若方程组有唯一解, ,则则l l1 1与与l l2 2 , ,此解就是此解就是l l1 1、l l2 2交点的坐标交点的坐标; ;(2)(2)若方程组无解若方程组无解, ,则则l l1 1与与l l2 2 ; ;(3)(3)若方程组有无数组解若方程组有无数组解, ,则则l l1 1与与l l2 2重合重合. .相交相交平行平行基础自测基础自测B B 2.2.直线直线l l过点过点(-1,2)(-1,2)且与直线且与直线2x-3y+4=02x-3y+4=0垂直垂直, ,则则l l的方程是的方程是( () )(A)3x+2y-1=0(A)3x+2
7、y-1=0 (B)3x+2y+7=0 (B)3x+2y+7=0(C)2x-3y+5=0(C)2x-3y+5=0 (D)2x-3y+8=0 (D)2x-3y+8=0A A3.3.已知直线过点已知直线过点A(1,1),A(1,1),在在x x轴上的截距为轴上的截距为2,2,则直线的方程为则直线的方程为( () )(A)x+y-2=0(A)x+y-2=0(B)x-y+2=0(B)x-y+2=0(C)x-y-2=0(C)x-y-2=0(D)x+y+2=0(D)x+y+2=0A A答案答案: :(1)D(1)D(2)-9(2)-9D D (2)(2)若三条直线若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+
8、5=0y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点相交于同一点, ,则则m m的值为的值为. . 解析解析: :直线倾斜角的范围为直线倾斜角的范围为0,),0,),故故(1)(1)错错. .当一条直线的斜率不存在时当一条直线的斜率不存在时, ,其直线方程不能用点斜式及截距式表示其直线方程不能用点斜式及截距式表示, ,故故(2)(3)(2)(3)错错;(4);(4)显然正确显然正确. .若一若一条直线斜率为条直线斜率为0,0,另一条直线斜率不存在另一条直线斜率不存在, ,则这两条直线垂直则这两条直线垂直, ,故故(5)(5)错错. .答案答案: :(4)(4)考点突破考点突破 剖典例剖典
9、例 找规律找规律考点一考点一 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率【例例1 1】(1)(1)如如图, ,若若图中直中直线l l1 1、l l2 2、l l3 3的斜率分的斜率分别是是k k1 1、k k2 2、k k3 3, ,则( () )(A)k(A)k1 1kk2 2kk3 3 (B)k(B)k2 2kk1 1kk3 3(C)k(C)k3 3kk2 2kk1 1 (D)k(D)k1 1kk3 3kk2 2(2)(2)已知已知A(2,0),B(-3,1),A(2,0),B(-3,1),若若过点点P(0,-2)P(0,-2)的直的直线l l与与线段段ABAB没没有公共点有公共点, ,则直直线
10、l l的斜率的取的斜率的取值范范围是是. .解析解析: :(1)(1)根据直线根据直线l l1 1、l l2 2斜率为正斜率为正, ,且直线且直线l1l1的倾斜角大于的倾斜角大于l l2 2的倾斜角的倾斜角, ,可得可得0k0k2 2kk1 1, ,又直线又直线l l3 3的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角, ,得得k30,k30,所以得所以得k k3 3kk2 2k1 12 2(B)(B)1 12 23 3(C)(C)3 32 21 1(D)(D)2 21 13 3(2)(2)例例1(2)1(2)中若直线中若直线l l与线段与线段ABAB有公共点有公共点, ,其他条件不变其他条件不变, ,则直线则
11、直线l l的倾斜角的的倾斜角的取值范围为取值范围为. .(2)(2)求斜率或倾斜角取值范围时要注意结合图象求斜率或倾斜角取值范围时要注意结合图象, ,从旋转角度求解从旋转角度求解. .考点二考点二 直线的方程直线的方程解解: :(1)(1)显然显然A A、B B的横坐标相同的横坐标相同, ,故直线故直线ABAB与与y y轴平行轴平行, ,其方程为其方程为x=-3;x=-3;(5)(5)由题意可设所求直线方程为由题意可设所求直线方程为3x+2y+n=0.3x+2y+n=0.将将A(-1,2)A(-1,2)代入上式得代入上式得n=-1.n=-1.故所求直线方程为故所求直线方程为3x+2y-1=0.
12、3x+2y-1=0.(4)(4)因为所求直线与直线因为所求直线与直线2x-3y+4=02x-3y+4=0平行平行, ,故设为故设为2x-3y+m=0.2x-3y+m=0.因为点因为点A A在直线上在直线上, ,所以所以2 2(-1)-3(-1)-32+m=0,2+m=0,解得解得m=8.m=8.故所求直线方程为故所求直线方程为2x-3y+8=0.2x-3y+8=0.反思归纳反思归纳 (1)(1)求直线方程的常用方法有求直线方程的常用方法有: :直接法直接法: :直接求出方程中系数直接求出方程中系数, ,写出直线方程写出直线方程; ;待定系数法待定系数法: :先根据已知条件设出直线方程先根据已知
13、条件设出直线方程, ,再根据已知条件构造关于待再根据已知条件构造关于待定系数的方程定系数的方程( (组组) )求系数求系数, ,最后代入求出直线方程最后代入求出直线方程. .(2)(2)求直线方程时求直线方程时, ,应注意分类讨论思想的应用应注意分类讨论思想的应用, ,如直线的斜率是否存在、直如直线的斜率是否存在、直线在两坐标轴上的截距是否为线在两坐标轴上的截距是否为0 0等等. .(3)(3)求直线方程时求直线方程时, ,如果没有特别要求如果没有特别要求, ,则求出的直线方程应化为一般式则求出的直线方程应化为一般式Ax+By+CAx+By+C=0,=0,且且A0.A0.考点三考点三 两条直线
14、平行与垂直两条直线平行与垂直【例例3 3】(1)(1)已知两直线已知两直线l l1 1:x+m:x+m2 2y+6=0,ly+6=0,l2 2:(m-2)x+3my+2m=0,:(m-2)x+3my+2m=0,若若l l1 1ll2 2, ,求实数求实数m m的的值值; ;(2)(2)已知两直线已知两直线l l1 1:ax+2y+6=0:ax+2y+6=0和和l l2 2:x+(a-1)y+(a:x+(a-1)y+(a2 2-1)=0,-1)=0,若若l l1 1ll2 2, ,求实数求实数a a的值的值. .反思归纳反思归纳 (1)(1)两直线平行与垂直的充要条件两直线平行与垂直的充要条件若
15、两条不重合的直线若两条不重合的直线l l1 1,l,l2 2的斜率都存在的斜率都存在, ,则则l l1 1ll2 2k k1 1=k=k2 2;l;l1 1ll2 2k k1 1k k2 2=-1.=-1.若两直线的方程分别为若两直线的方程分别为l l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0;l=0;l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0(A=0(A1 1与与B B1 1,A,A2 2与与B B2 2均均不同时为零不同时为零),),则则l l1 1ll2 2A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0.l=0.l1 1ll2 2A A1 1
16、B B2 2=A=A2 2B B1 1且且A A1 1C C2 2AA2 2C C1 1. .(2)(2)判断两直线平行与垂直时判断两直线平行与垂直时, ,应注意直线的斜率不存在或斜率等于应注意直线的斜率不存在或斜率等于0 0的情况的情况, ,避免漏解避免漏解, ,利用一般式方程可避免此类问题利用一般式方程可避免此类问题. .【即时训练即时训练】(1)(1)过点过点(1,0)(1,0)且与直线且与直线x-2y-2=0x-2y-2=0平行的直线方程是平行的直线方程是( () )(A)x-2y-1=0(A)x-2y-1=0(B) x-2y+1=0(B) x-2y+1=0(C) 2x+y-2=0(C
17、) 2x+y-2=0(D) x+2y-1=0(D) x+2y-1=0(2)(2)已知两条直线已知两条直线y=ax-2y=ax-2和和y=(a+2)x+1y=(a+2)x+1互相垂直互相垂直, ,则实数则实数a=a=. .解析解析: :(1)(1)设所求直线方程为设所求直线方程为x-2y+c=0,x-2y+c=0,代入点代入点(1,0),(1,0),可求得可求得c=-1.c=-1.从而所求直从而所求直线的方程为线的方程为x-2y-1=0.x-2y-1=0.故选故选A.A.(2) (2) 由题意知由题意知(a+2)a=-1,(a+2)a=-1,所以所以a a2 2+2a+1=0,+2a+1=0,则
18、则a=-1.a=-1.答案答案: :(1)A(1)A(2)-1(2)-1考点四考点四 距离问题距离问题 反思归纳反思归纳 (1)(1)点到特殊直线的距离点到特殊直线的距离点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )到直线到直线x=ax=a的距离为的距离为d=|xd=|x0 0-a|;-a|;点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )到直线到直线y=by=b的距离为的距离为d=|yd=|y0 0-b|.-b|.答案答案: :(1)D(1)D(2)2x+4y-11=0(2)2x+4y-11=0或或2x+4y+9=02x+4y+9=0或或2x-4y+9=02x-4y+9=0或或2x-4y-11=02x
19、-4y-11=01.1.借助正切函数研究直线的倾斜角与斜率的关系借助正切函数研究直线的倾斜角与斜率的关系, ,注意对倾斜角的范围及斜注意对倾斜角的范围及斜率是否存在的讨论率是否存在的讨论. .2.2.根据题干条件确定合适的直线方程形式写直线方程根据题干条件确定合适的直线方程形式写直线方程, ,同时注意各种方程的同时注意各种方程的适用范围适用范围. .3.3.判断两直线位置关系或由位置关系求参数时注意斜率不存在的情况判断两直线位置关系或由位置关系求参数时注意斜率不存在的情况. .4.4.求两平行线之间的距离时应先将两条直线方程化为一般式且求两平行线之间的距离时应先将两条直线方程化为一般式且x,y
20、x,y的系数对的系数对应相等应相等. .助学微博助学微博多维审题多维审题 拓思维拓思维 明思路明思路 与直线方程相关的最值问题与直线方程相关的最值问题审题审题视角一视角一: :所求问题与直线和两轴所围成的三角形面积相关所求问题与直线和两轴所围成的三角形面积相关, ,故可设故可设直线方程的截距式直线方程的截距式, ,然后代入点的坐标然后代入点的坐标, ,表示出表示出ABOABO的面积的面积, ,然后利用基本然后利用基本不等式求最值不等式求最值, ,并求出此时的直线方程并求出此时的直线方程; ;视角二视角二: :因为直线因为直线l l过点过点P,P,故可设直线故可设直线l l的斜率的斜率k,k,利
21、用点斜式设出直线方程利用点斜式设出直线方程, ,并并求出直线与两轴的交点坐标求出直线与两轴的交点坐标, ,表示出表示出ABOABO的面积的面积, ,根据解析式的特征求解最值根据解析式的特征求解最值及对应的直线方程及对应的直线方程; ;视角三视角三: :可设可设PAO=,PAO=,利用定点利用定点P P将将ABOABO分解为两个直角三角形和一个矩形分解为两个直角三角形和一个矩形. .分别求出对应的面积分别求出对应的面积, ,然后根据然后根据ABOABO面积的表示式求解最值和相应的直线面积的表示式求解最值和相应的直线. .法三法三如图所示如图所示, ,过过P P分别作分别作x x轴轴,y,y轴的垂
22、线轴的垂线PM,PN,PM,PN,垂足分别为垂足分别为M,N.M,N.点评点评 (1)(1)设直线方程时要参考两个方面设直线方程时要参考两个方面, ,一是已知条件中直线所具备的特一是已知条件中直线所具备的特征征, ,如该题中如该题中, ,直线过点直线过点P,P,故可考虑点斜式故可考虑点斜式; ;二是所求问题与直线的特征的关二是所求问题与直线的特征的关系系; ;如该题中如该题中, ,涉及到直线与两轴围成的三角形的面积涉及到直线与两轴围成的三角形的面积, ,故可利用截距式方程故可利用截距式方程. .(2)(2)本题将面积表示为直线相关特征数据的函数本题将面积表示为直线相关特征数据的函数, ,然后利
23、用基本不等式求最然后利用基本不等式求最值值. .方程选择不同方程选择不同, ,参数就有差异参数就有差异, ,但求最值的方法应首先考虑基本不等式但求最值的方法应首先考虑基本不等式, ,然后是利用函数的单调性、换元等方法然后是利用函数的单调性、换元等方法. .【即时训练即时训练】过点过点P(2,1)P(2,1)作直线作直线l,l,分别与分别与x x、y y轴的正半轴交于轴的正半轴交于A A、B B两点两点. .(1)(1)当当|OA|+|OB|OA|+|OB|取最小值时取最小值时, ,求直线求直线l l的方程的方程; ;(2)(2)当当|PA|PA|PB|PB|取最小值时取最小值时, ,求直线求直线l l的方程的方程. .点击进入课时训练
