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1、1.二阶常系数线性齐次方程二阶常系数线性齐次方程2.二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程 形如形如二阶常系数线性微分方程：二阶常系数线性微分方程：的微分方程称为的微分方程称为二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程其中其中p和和y + +py + +qy= =f( (x) ) （* *） 称为二阶常系数线性称为二阶常系数线性齐次齐次微分方程；微分方程；方程方程y + +py + +qy=0 =0 （*） q是常数，是常数， f( (x) )是已知函数。是已知函数。1.二二阶常系数常系数线性性齐次方程次方程 一一般般通通过过求求特特征征根根的的方方法法求求出出方方程程（*）的的两两个个特
2、特解解y1 1与与y2 2，特特征征根根是是由由特特征征方方程程求求得得。特特征征方方程程是是指指由由方方程程（*）的的系系数数构构成成的的二二次次代数方程代数方程定理定理1 1 如果如果y1 1与与y2 2是方程（是方程（*）的两个特解，）的两个特解，而且而且 不等于常数，则不等于常数，则y* *= = C1 1 y1 1+ + C2 2 y2 2为为(*)(*)的通解。其中的通解。其中C1 1、C2 2为任意常数。为任意常数。y1 1y2 2特征方程的根与通解的关系：特征方程的根与通解的关系： 两个不相等的实根r1、r2两个特解通解特征方程特征方程r2 pr q 0的两个根的两个根r1、r
3、2微分方程ypyqy0的通解 两个相等的实根r1=r2两个特解通解 一对共轭复根r1, 2a ib两个特解通解 第一步 写出微分方程的特征方程 r 2 pr q 0 第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况，按照写出微分方程的通解特征方程的根与通解的关系：特征方程的根与通解的关系：特征方程r2prq0的两个根r1、r2微分方程ypyqy0的通解 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1r2 一对共轭复根r1, 2a ib，求二阶常数系数齐次线性微分方程的通解的步骤：yeax (C1cos b x C2sin b x) 例例413 求方程y3y10y0
4、的通解。 解 所给微分方程的特征方程为r23r100，其根r 12，r 25是两个不相等 的实根，因此所求通解为y*C1e 2xC2e 5x特征方程的根与通解的关系：特征方程的根与通解的关系：特征方程r2prq0的两个根r1、r2微分方程ypyqy0的通解 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1r2 一对共轭复根r1, 2a ib，yeax (C1cos b x C2sin b x) 解解 特征方程r2 4r40， 其根r1r22是两个相等的实根。因此，原微分方程的通解为y*(C1C2x)e 2x 例例414 求方程y4y4y0的通解。特征方程的根与通解的关系：特征方程的根与通解的关系
5、：特征方程r2prq0的两个根r1、r2微分方程ypyqy0的通解 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1r2 一对共轭复根r1, 2a ib，yeax (C1cos b x C2sin b x) 解 所给方程的特征方程为r24r130，其根r1, 223i为一对共轭复根因此所求通解为ye 2x(C1cos 3xC2sin 3x) 例例415 求方程y4y13y 0的通解特征方程的根与通解的关系：特征方程的根与通解的关系：特征方程r2prq0的两个根r1、r2微分方程ypyqy0的通解 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1r2 一对共轭复根r1, 2a ib，yeax (C1
6、cos b x C2sin b x)2 2、二阶常系数线性非齐次方程、二阶常系数线性非齐次方程 即：设齐次方程即：设齐次方程 y py qy00的通解为的通解为y Y(x)，非齐次方程，非齐次方程y py qy f(x)的一个特解为的一个特解为y y*(x)，则非齐次方程的，则非齐次方程的通解通解为为y Y(x) y*(x) 求非齐次线性方程（求非齐次线性方程（*）的特解的方法）的特解的方法参参数变异法。数变异法。设齐次方程（*）的通解为即设是方程（*）的解。把此解代入非齐次线性方程方程（*）使其恒等。我们不难验证，在满足方程组从而由定出非齐次线性方程(*)的一个特解。 例例416 求非齐次方
7、程y3y2y0的通解。 解：解：不难求出对应齐次方程的通解是y*C1e xC2e 2x设原方程有特解或解得因此 于是求得原方程的特解为 所以原方程的通解为 或者写成 二阶常系数线性微分方程应用是广泛的，下面举一例二阶常系数线性微分方程应用是广泛的，下面举一例从一个侧面来说明。从一个侧面来说明。（1）如果不计摩擦力、介质阻力以及物体的重力，则物体在任意位置所受的力只有弹簧的恢复力f，由力学知识可知，f与位移x成正比：由牛顿第二定律，得整理得此方程代表的振动叫此方程代表的振动叫无阻尼的自由振动无阻尼的自由振动或叫或叫简谐振动。简谐振动。 在这种情况下，物体所受的总外力为弹簧的恢复力及阻力之和，则物体运动的微分方程为化为此方程代表的振动叫此方程代表的振动叫阻尼的自由振动。阻尼的自由振动。此时物体运动方程为或 上面两个方程依次分别叫做上面两个方程依次分别叫做无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动微分方程和有阻尼强迫振动微分方程微分方程和有阻尼强迫振动微分方程。课堂小结课堂小结 1.二阶常系数线性齐次方程 2.二阶常系数线性非齐次方程作业：作业：P119练习4.3 1（3） 2（3） 3
