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1、第二节第二节 换元积分法换元积分法第一换元积分法第一换元积分法第二换元积分法第二换元积分法第四章第四章 不定积分不定积分1解决方法解决方法将积分变量换成将积分变量换成令令因为因为一、第一换元积分法一、第一换元积分法换元积分法换元积分法2性质：性质：若若 ，u为为x的任意的任意第四章第四章 不定积分不定积分可微函数，则有：可微函数，则有：3换元积分法换元积分法(凑微分法凑微分法)1.公式公式例例4例例 法一法一 法二法二解解换元积分法换元积分法5 法三法三换元积分法换元积分法6换元积分法换元积分法2.常用凑微分等式常用凑微分等式7小结小结换元积分法换元积分法8 求求解解换元积分法换元积分法例例
2、求求解解3 例例 9例例 求求解解换元积分法换元积分法例例 求求解解10解解换元积分法换元积分法例例 求求11例例 求求解解换元积分法换元积分法12例例 解解 换元积分法换元积分法例例 解解 13例例 求求换元积分法换元积分法解解例例 求求原式原式解：解：14例例 求求解解换元积分法换元积分法例例 求求解解15例例 解解 换元积分法换元积分法16例例 解解原式原式=换元积分法换元积分法17例例 求求解解换元积分法换元积分法18例例 求求解解换元积分法换元积分法19例例 求求解解换元积分法换元积分法20例例 求求解解换元积分法换元积分法21例例 求求解解换元积分法换元积分法22例例 求求解解换元
3、积分法换元积分法23例例 求求解解 法一法一换元积分法换元积分法24法二法二换元积分法换元积分法25例例 解解 原式原式=某些三角函数某些三角函数换元积分法换元积分法26例例 求求解解 法一法一换元积分法换元积分法27法二法二换元积分法换元积分法类似可推出类似可推出28例例 求求解解换元积分法换元积分法29例例 求求解解凑微分凑微分;用用倍角公式倍角公式降幂降幂,再积分再积分. 注注换元积分法换元积分法30例例 求求解解 不同角度的正弦、余弦之积的积分常用不同角度的正弦、余弦之积的积分常用积化和差公式来化简积化和差公式来化简.注注换元积分法换元积分法31二、第二换元积分法二、第二换元积分法有根
4、式有根式解决方法解决方法 消去根式消去根式,困难困难即即则则 回代回代换元积分法换元积分法根式代换根式代换32换元积分法换元积分法1.公式公式33例例 求求解解 令令回代回代换元积分法换元积分法2. 例例 题题34例例 求求解解 令令辅助三角形辅助三角形 回回代代换元积分法换元积分法35例例 求求解解 令令 回回代代辅助三角形辅助三角形换元积分法换元积分法36注注当当被积函数被积函数中含有中含有令令令令令令一般规律一般规律:换元积分法换元积分法37例例 求求解解令令法一法一原原式式= 回回代代换元积分法换元积分法38法二法二 原原式式=回回 代代换元积分法换元积分法39例例 令令解解 回回代代
5、换元积分法换元积分法40法一法一回代回代换元积分法换元积分法例例 41令令解解 法二法二回代回代 换元积分法换元积分法倒代换倒代换注注可用来消去分母中的变量可用来消去分母中的变量.42法三法三换元积分法换元积分法43例例令令解解换元积分法换元积分法44为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） 注注当被积函数含有两种或两种以上当被积函数含有两种或两种以上的根式的根式时，时， 可采用令可采用令（其中（其中换元积分法换元积分法45两类换元积分法两类换元积分法凑微分凑微分三角代换、根式代换三角代换、根式代换小结小结换元积分法换元积分法第一第一换元积分法换元积分法:第二第二换元积分法换元积分法:46
