《高等数学：11-3 复合函数微分法(1-17)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：11-3 复合函数微分法(1-17)（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.3 复合函数微分法复合函数微分法1链式法则链式法则定理定理处的所有偏导数都存在处的所有偏导数都存在(2) (3) z = f (u , v) 在在 ( u0 , v0) 处可处可微微则复合函数则复合函数 z = f(u(x , y) , v(x , y) 在在 (x0 , y0) 处处的的所有偏导数都存在所有偏导数都存在 , 且且(1) 设设 u = u(x , y) , v = v(x , y) 在在 ( x0 , y0 ) (1)(2)证明证明我们仅证我们仅证 (1)给给 x0 一增量一增量x , 则 u , v 有相有相应的的增量增量 因为因为 f (u , v) 在在 ( u0
2、, v0) 处可微处可微 , 则则有有又因又因 存在存在 , u = u(x , y) , v = v(x , y) 关于变量关于变量 x 在在 x0 处连续处连续 所以所以 , 当当 x 0 时时 , u 0 , v 0 , 于是于是 说明说明(1) 式式 (1) , (2) 也可表示为也可表示为链式图链式图(2) 式式 (1) , (2) 对其他多元函数也成立对其他多元函数也成立其复合函数其复合函数 的各偏导数的各偏导数例例设设 求求 解解 利用链式法则有利用链式法则有解解例例设设 , 试证试证:设设 , 则则利用链式法则有利用链式法则有例例设设 求求 解解设设 , 利用链式法则有利用链式
3、法则有例例设设 求求 全导数全导数 如果如果 z = f (x , y) , x = x(t) , y = y(t) , 则其复合则其复合 函数为函数为 (一元函数一元函数) 对对 t 的导数称为的导数称为全导数全导数 其链式法则为其链式法则为说明说明:上式可推广到上式可推广到 n 维的情形维的情形复合函数复合函数 : 其中其中例例设设 , 求求 解解解解例例设设 , 求求 由于由于 是是 x的一元函数的一元函数 , 利用链式法则有利用链式法则有2 微分形式的不变性微分形式的不变性下面证明下面证明: 当当 x , y 为中间变量时为中间变量时 , (3) 式仍然成立式仍然成立 设设 z = f (x , y) , 当当 x , y 为自变量时为自变量时 , 其全微分其全微分(3)设设 x = x (s , t ) , y = y (s , t ) , 则复合函数则复合函数则其全微分则其全微分代入上式有代入上式有即即 (3)不论不论 x , y 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量 , (3) 式始终成立式始终成立 , 这一性质称为这一性质称为微分形式的不变性微分形式的不变性全微分的四则运算性质全微分的四则运算性质:(1) d(cu) = cdu (2)(3)(4)解解例例设设 , 求求 解解例例设设 , 求求
