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1、第五章三角函数第十课时解三角形的应用第十课时解三角形的应用考纲要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.知识梳理知识梳理一、实际问题中的相关术语、名称1方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角(如下图(1)2方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏北60等3仰角与俯角：指视线与水平线的夹角，视线在水平线上方的角叫仰角视线在水平线下方的角叫俯角(如下图(2)二、用正、余弦定理解决实际问题距离或宽度(有障碍物)、高度(底部或顶部不能到达)、角度(航海或航空定位)、面积等基础自测基础自测1某市在“旧城改造”中计划在一块如下图所示的三
2、角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要 ()A450a元 B225a元C150a元 D300a元C2(2011年合肥模拟)据中新社2010年9月25日报道，强台风“凡亚比”在广东登陆台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给该区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，树尖折成与底面成45角，树干也倾斜为与底面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树杆底部的距离是 ()A3(2011年杭州模拟)如右图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得 BCD15，BDC30，CD30米，并在点C 测
3、得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_米解析：由正弦定理得：BC 15(米)在RtABC中，ABBCtan 60答案：154(2010年成都模拟)代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续_小时2.5 如右图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155的方向航行为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80.求此时货轮与灯
4、塔之间的距离(得数保留最简根号)思路分析：准确理解方位角的含义，根据所给方位角可求得三角形的内角，又BC边可求，于是根据正弦定理可求AC即货轮与灯塔之间的距离解析：在ABC中，ABC15512530，BCA18015580105，BAC1803010545，BC 5025，由正弦定理，得 AC (海里)，答：船与灯塔间的距离为 海里点评：航海、航空常需测量角度，利用方位角、方向角、经度、纬度等求三角形的内角是关键变式探究变式探究1(2010年佛山二模)已知海岸边A，B两海事监测站相距60海里，为了测量海平面上两艘油轮C，D间距离，在A，B两处分别测得CBD75，ABC30，DAB45，CAD6
5、0(A，B，C，D在同一个水平面内)请计算出C，D两艘轮船间距离(结果保留根式)解析：在ABD中，由正弦定理得：AD同理，在ABC中，由正弦定理得：计算出AD，AC后，再在ACD中，应用余弦定理计算出C，D两点间的距离：C，D两艘轮船相距30 海里2(2010年贵阳调研)如右图，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得CAB75，CBA45，且AB100米(1)求sin 75；(2)求该河段的宽度(结果保留根号)解析：(1)sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45 (2)CAB75，CBA45ACB1
6、80CABCBA60，由正弦定理得：BC如右图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度在RtBDC中，BCDCBA45，sinBCD ，BDBCsin 45 sin 45该河段的宽度 米 测量实验探究：用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和，已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度思路分析：在RtEGA中求解EG，只有角一个条件，需要再有一边长被确定，而EAC中有较多已知条件，故可在EAC中考虑EA边长的求解，而在EAC中有角，EAC180两角与ACa一边，故可以利用正弦定理求解EA.解析：在ACE中，AC
7、BDa，ACE，AEC，根据正弦定理，得AE 在RtAEG中，EGAEsin EFEGb b，答：气球的高度是 b.点评：此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下：设EGx，在RtEGA中，利用cot 表示AG；在RtEGC中，利用cot 表示CG，而CGAGCABDa，故可以求出EG，又GFCDb，故EF高度可求变式探究变式探究3测量实验探究： 如右图所示：现有测角仪、皮尺两种测量工具，有一底部B不可到达的铁塔AB，A为塔的最高点设计一种测量铁塔AB高度的方法及计算公式解析：(1)如下图：先选取一条水平基线HG，使H、G、B三点共线，在H、G两点用测角仪测出A的仰角分别是、 ，量出CD
8、a，测角仪器的高度是h, 即可求出铁塔的高AB.在ACD中，根据正弦定理可得：AC ，ABAEhACsin h h. 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如右图)的东偏南(cos )方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风侵袭？受到台风侵袭的时间有多少小时？思路分析：本题关键是研究台风中心与城市O的距离与台风侵袭的范围圆形区域的半径的大小关系，当台风中心与城市O的距离小于台风侵袭的范围圆形区域的半径时，该城市受到台风的侵袭解析
9、：设经过t小时台风中心移动到Q点时，台风边沿恰经过O城，由题意可得OP300，PQ20t，OQr(t)6010t，因为cos ，设OPQ45，所以sin ，cos .由余弦定理可得：OQ2OP2PQ22OPPQcos 即(6010t)23002(20t)2230020t ，即t236t2880, 解得t112，t224，t2t112.答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间有12小时点评：与几何有关的计算题的解题思路是：理解问题的实际背景，转化成解三角形问题要注意采集信息，利用正弦、余弦定理等知识建立数学模型求解，注意取近似值或估算变式探究变式探究4据气象台预报，距S岛正东方向
10、300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由思路分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化，S岛是否受台风影响可转化为SB270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在ABS中，由余弦定理可求SB.解析：设台风中心经过t小时到达B点，由题意，SAB903060，在SAB中，SA300，AB30t，SAB60，由余弦定理得SB2SA2AB22SAABcosS
11、AB3002(30t)2230030tcos 60若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|270，即SB22702，化简整理得，t210t190，解之得5 t5 所以从现在起，经过5 小时S岛开始受到影响，(5 )小时后影响结束持续时间：(5 )(5 )2 小时答：S岛受到台风影响，从现在起，经过(5 )小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2 小时应用正弦定理、余弦定理解三角形的应用题的一般步骤1分析：审题，理解题意，分清已知与未知，根据题意作出示意图2建模：确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素，列方程(组)3求解：选择正弦、余弦定理及面积公式等有序的解出三角形，求得数学模
12、型的解4检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解1(2010年福建卷)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解析：解法一：(1)如图(1)，设相遇时小艇航行的距离为S
13、海里，则即小艇以30 海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v30时，t取得最小值，且最小值等于 ，此时，在OAB中，有OAOBAB20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向设小艇与轮船在C处相遇(如图(2)在RtOAC中，OC20cos 3010 ，AC20sin 3010. 又AC30t，OCvt.此时，轮船航行时间即小艇以30 海里/时的速度航行
14、，相遇时小艇的航行距离最小(2)猜想v30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时ADDO30t.又OAD60，所以ADDOOA20，解得t ，据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇证明如下：如右图(3)，由(1)得OC10，AC10，故OCAC，且对于线段AC上任意点P，有OPOCAC，而小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇设COD(090)，则在RtCOD中，CD10 tan ，OD由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 t从而，3090.由于30时，tan 取得最
15、小值，且最小值为 .于是，当30时，t 取得最小值，且最小值为 .解法三：(1)同解法一或解法二(2)设小艇与轮船在B处相遇依据题意得：v2t2400900t222030tcos(9030)，(v2900)t2600t4000.若0v .若v30，则t .综合、可知，当v30时，t取最小值，且最小值等于 ，此时，在OAB中，OAOBAB20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇2(2010年江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m) ，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已测得一组、的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精度若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时， 最大？因此，算出的电视塔的高度H是124 m.(2)由题设知dAB，故当d55 时，tan()最大因为0 ，则0 ，所以当d55 时，最大故所求的d是55 m.祝祝您
