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1、会计学1二面角的求法精华二面角的求法精华(jnghu)第一页，共16页。 考点分析： 立体几何是历年高考必考的热点，试题难度中等(zhngdng)，命题的热点主要有空间线面位置关系的证明和空间角的求解；试题背景有折叠问题，探索性问题等，考查同学们的空间想象能力、逻辑思维能力以及转化与化归思想的应用能力，解决此类问题一般有常规方法和向量方法，用向量法解决此类问题可以化繁为简，降低题目的难度第1页/共15页第二页，共16页。 从一条直线出发(chf)的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.二面角的定义二面角的定义(dngy):(dngy):复复
2、习习:2、二面角的表示、二面角的表示(biosh)方法方法AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCDABCEFD二面角二面角CAB E1、定义、定义第2页/共15页第三页，共16页。二面角的平面角二面角的平面角: : ABP l二面角的平面角必须二面角的平面角必须(bx)满足：满足： 3）角的两边都要垂直于二面角的棱角的两边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 二面角的平面角的范围二面角的平面角的范围(fnwi): 0180 二面角的大小二面角的大小(dxio)用它的平面角的大小用它的平面角的
3、大小(dxio)来度量来度量 以二面角的棱上任意一点为端点以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条在两个面内分别作垂直于棱的两条射线射线, 这两条射线所成的角叫做二面这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。角的平面角。A1B1 P1 注意注意: :(与顶点位置无关与顶点位置无关) APB= A1P1B1第3页/共15页第四页，共16页。一、几何一、几何(j h)法：法：1、定义、定义(dngy)法法:以二面角的棱以二面角的棱a a上任意一点上任意一点O O为端点，在两个面内为端点，在两个面内分别作垂直于分别作垂直于a a 的两条射线的两条射线(shxin)OA,OB(shx
4、in)OA,OB，则，则AOBAOB就是此二面角的平面角。就是此二面角的平面角。aOAB在一个平面在一个平面 内选一点内选一点A A向另一平面向另一平面 作垂线作垂线ABAB，垂足为，垂足为B B，再过点，再过点B B向棱向棱a a作垂线作垂线BOBO，垂足为，垂足为O O，连结，连结AOAO，则，则AOBAOB就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。3、垂面法、垂面法:过二面角内一点过二面角内一点A作作AB 于于B，作，作AC 于于C，面，面ABC交棱交棱a于点于点O，则，则BOC就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。aABCO2、三垂线法、三垂线法:ABOa第4页/共15页第五页，共16
5、页。A1B1C1ABC 4. 4.射影射影(shyng)(shyng)面面积法积法 第5页/共15页第六页，共16页。二、平面(pngmin)法向量法:求二面角的大小，先求出两个半平面求二面角的大小，先求出两个半平面(pngmin)的的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。补求出二面角的大小。mn如图：二面角的大小等于如图：二面角的大小等于第6页/共15页第七页，共16页。求二面角的大小，先求出两个半平面求二面角的大小，先求出两个半平面(pngmin)的的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互法向量的夹角，然后根据二面
6、角与其大小相等或互补求出二面角的大小。补求出二面角的大小。 mn如图：二面角的大小等于如图：二面角的大小等于 -二、平面二、平面(pngmin)法向量法向量法法:第7页/共15页第八页，共16页。几点说明几点说明(shumng)：（1）定义法是选择一个）定义法是选择一个(y )平面内的一点（一般为这个面的平面内的一点（一般为这个面的 一个一个(y )顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个(y )面内面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。算，不是我们首选的方法。（2）三
7、垂线法是从一个平面）三垂线法是从一个平面(pngmin)内选一点（一般为这个面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上的垂足。此法得出的平面个点和棱上的垂足。此法得出的平面(pngmin)角在直角三角形角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。中，计算简便，所以我们常用此法。（3）垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为）垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为 这一点这一点不好选择，所以此法一般不用不好选择，所以此法一般不用。以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角以
8、上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。第8页/共15页第九页，共16页。 （5）当空间直角坐标系容易建立时，用向量法较为(jio wi)简洁明快用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的夹角大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以根据图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是比较明显的（4 4）射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面）射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积积(min j)(min j)公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式, ,这这种方法避免了找平面角，
9、如果面积种方法避免了找平面角，如果面积(min j)(min j)计算较简单，可用此方计算较简单，可用此方法。法。第9页/共15页第十页，共16页。SDCBA例：如图例：如图, ,在底面是一直在底面是一直(yzh)(yzh)角梯形的四棱锥角梯形的四棱锥S-ABCDS-ABCD中，中， ADBC,ADBC, ABC=90 ABC=90，SASA平面平面ACAC，SA=AB=BC=1SA=AB=BC=1，AD= .AD= . 求面求面SCDSCD与面与面SABSAB所成的角的大小。所成的角的大小。解法解法1 1：可用射影面积法来求，这里只要求 出SSCD与SSAB即可，故所求的二面角应满足=第10
10、页/共15页第十一页，共16页。SDCBA解法解法2 2：（三垂线定理法）：（三垂线定理法） 延长延长CDCD、BABA交于点交于点E E，连结，连结(lin ji)SE(lin ji)SE，SESE即平面即平面CSDCSD与平面与平面BSABSA的交线的交线. .又又DADA平面平面SABSAB，过过A A点作点作SESE的垂线交于的垂线交于F.F.如图如图. .EF且ADBC AD BCADEBCE EAABSA又SAAE SAE为等腰直角三角形， F为中点(zhn din)， 又DA平面SAE，AFSE 由三垂线定理得DFSE DFA为二面角的平面角 ,tanDFA 即所求二面角的正切值
11、 . 评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计算求出相应的角。算求出相应的角。 例：例：如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， ADBC, ABC=90，SA平面AC，SA=AB=BC=1，AD= . 求面SCD与面SAB所成的角的大小。第11页/共15页第十二页，共16页。则A(0，0，0)，B(0，-1，0)，C(-1，1，0)， D(0， ，0)，S(0，0，1)， 易知平面SAB的法向量为 =(0， ，0)； SDCB
12、A例：如图例：如图, ,在底面是一直角梯形的四棱锥在底面是一直角梯形的四棱锥(lngzhu)S-ABCD(lngzhu)S-ABCD中，中， ADBC,ADBC,ABC=90ABC=90，SASA平面平面ACAC，SA=AB=BC=1SA=AB=BC=1，AD= .AD= .求面求面SCDSCD与面与面SABSAB所成的角的大小。所成的角的大小。解法解法(ji f)3(ji f)3：（向量法）：（向量法） 如图，建立空间直角坐标系，如图，建立空间直角坐标系， 设平面SDC的法向量为 =(x，y，z)， 得 令得即=(1，2，1)=评注：评注：通过此例可以看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角
13、通过此例可以看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角或其补角）的常规方法是构造三角形求解，其关键又是作出二面角的或其补角）的常规方法是构造三角形求解，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系，避开了平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系，避开了“作、证作、证”两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。第12页/共15页第十三页，共16页。向量向量(xingling)法法第13页/共15页第十四页，共16页。第14页/共15页第十五页，共16页。内容(nirng)总结会计学。第1页/共15页。二面角CAB E。APB= A1P1B1。二、平面法向量法:。例：如图,在底面是一直角梯形的四棱锥(lngzhu)S-ABCD中， ADBC,。出SSCD与SSAB即可，。ADEBCE。EAABSA。又DA平面SAE，AFSE。评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角。谢谢。第14页/共15页第十六页，共16页。
