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1、11.4 二项分布与正态分布高考理数高考理数考点一条件概率、相互独立事件及二项分布考点一条件概率、相互独立事件及二项分布1.条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)=.(2)条件概率具有的性质(i)0P(B|A)1;(ii)如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).2.相互独立事件(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相互独立事件.知识清单(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P
2、(B).(3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.3.独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,此时称随机变量X服从二项分布,记作XB(n,p)计算公式用Ai(i=1,2,n)表示第i次试验结果,则P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)4.二项分布的均值与方差若XB(
3、n,p),则EX=np,DX=np(1-p).考点二正态分布及其应用考点二正态分布及其应用1.正态曲线及其特点(1)正态曲线的定义函数,(x)=,x(-,+)(其中实数和(0)为参数)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(2)正态曲线的特点(i)曲线位于x轴上方且与x轴不相交;(ii)曲线是单峰的,它关于直线x=对称;(iii)曲线在x=处达到峰值;(iv)曲线与x轴之间的面积为1;(v)当一定时,曲线随着的变化而沿x轴移动;(vi)当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”;越大,曲线越“矮胖”.2.正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P
4、(aXb)=,(x)dx,则称X的分布为正态分布,记作XN(,2).(2)正态分布的三个常用数据(i)P(-X+)=0.6826;(ii)P(-2X+2)=0.9544;(iii)P(-3X+3)=0.9974.1.利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=.2.当基本事件适合有限性和等可能性时,可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数,即n(AB),得P(B|A)=.例1(2017湖北襄阳五中一模,15)抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.当已知蓝色骰子的点
5、数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的概率为.条件概率的求法条件概率的求法方法1方法技巧解析设x为掷红色骰子得到的点数,y为掷蓝色骰子得到的点数,则所有可能的事件与(x,y)建立一一对应的关系,共有36个基本事件.显然,P(A)=,P(B)=,P(AB)=.解法一:P(B|A)=.解法二:P(B|A)=.答案1.n次独立重复试验中事件A恰好发生k(k=0,1,2,n)次可看作是个互斥事件的和,其中每一个事件都可看作是k个A事件与n-k个事件同时发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都是pk(1-p)n-k(p为事件A发生的概率).因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为pk(1-p)
6、n-k.2.判断某随机变量是否服从二项分布的方法:(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.独立重复试验及二项分布问题的求解方法独立重复试验及二项分布问题的求解方法方法2例2(2017河北“五个一名校联盟”二模,18)空气质量指数(AirQuali-tyIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级:050为优;51100为良;101150为轻度污染;151200为中度污染;201300为重度污染;300以上为严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎
7、叶图如图.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI100)的天数;(2)将频率视为概率,从六月中随机抽取3天,记三天中空气质量为优良的天数为,求的分布列和数学期望.解析(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2,空气质量为良的天数为4,该样本中空气质量为优良的频率为=,从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30=18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为,的所有可能取值为0,1,2,3,且B.P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,的分布列为E=3=1.8.解题关键判断出服从二项分布是解第(2)问的关键.1.在正态分布N(,2)中,的意义分别是期望和
8、标准差,在正态分布曲线中确定曲线的位置,而确定曲线的形状.如果给出两条正态分布曲线,我们可以根据正态分布曲线的位置和形状判定相应的和的大小关系.2.对正态分布曲线的性质考查最多的是其对称性,即正态分布曲线关于直线x=对称,也可以推广到P(+0).例3(2014课标,18,12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:正态分布及其应用方法正态分布及其应用方法方法3(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其
9、中近似为样本平均数,2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX.附:12.2.若ZN(,2),则P(-Z+)=0.6826,P(-2Z+2)=0.9544.解析(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)(i)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.6826.(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知XB(100,0.6826),所以EX=1000.6826=68.26.评析本题主要考查了频率分布直方图、正态分布及二项分布问题,考查学生的识图能力及阅读理解能力,理解和掌握基础知识是解题关键.
