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1、普遍的光振动的复振幅表达式：普遍的光振动的复振幅表达式：U(P) = a(P) e jj j(P)光强分布光强分布:I = UU*球面波的复振幅表示（三维空间）：球面波的复振幅表示（三维空间）：(P(x,y,z)0zyx源点源点S(rk球面波的复振幅表示（球面波的复振幅表示（x-y 平面）：平面）：z对给定平面对给定平面是常量是常量随随x, y变化的二次位相因子变化的二次位相因子球面波特征位相球面波特征位相（续）平面波的复振幅（三维空间）：平面波的复振幅（三维空间）：线性位相因子线性位相因子常量振幅常量振幅平面波的复振幅平面波的复振幅 (在与原点相距为在与原点相距为 z 的平面上的平面上):光
2、波的数学描述光波的数学描述4、平面波的空间频率、平面波的空间频率在与原点相距为在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的位相分布的平面上考察平面波的位相分布.等位相等位相线是平行直线族线是平行直线族. 为简单计为简单计, 先看先看k在在x-z平面内平面内: cosb b =0等位相面是平行于等位相面是平行于y 轴的一系列平面轴的一系列平面, 间隔为间隔为l lz等位相面与等位相面与x-z平面相交平面相交形成平行直线形成平行直线等位相面与等位相面与x-y平面相交平面相交形成平行于形成平行于y轴的直线轴的直线复振幅分布复振幅分布:沿沿x方向的等相线方向的等相线间距间距:空间周期空间周期光波的数学描述
3、光波的数学描述四、平面波的空间频率四、平面波的空间频率复振幅分布复振幅分布:定义定义 复振幅分布在复振幅分布在x方向的空间频率方向的空间频率: 复振幅分布可改写为复振幅分布可改写为:Y = , fy=0对于在对于在x-z平面内传播的平面波平面内传播的平面波, 在在y方向上有方向上有:光波的数学描述光波的数学描述平面波的空间频率平面波的空间频率: 一般情形一般情形定义定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率平面波在平面波在x和和y方向的空间频率分别为方向的空间频率分别为:cosa a, cosb b 为波为波矢的方向余弦矢的方向余弦引入空间频
4、率概念后引入空间频率概念后, 单色平面波单色平面波在在xy 平面的复振幅分布可以表示为平面的复振幅分布可以表示为 光波的数学描述光波的数学描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念对于传播方向与对于传播方向与z轴夹角为轴夹角为-30 的情况的情况,再解上题再解上题.练习练习 3振幅为振幅为1, 波长为波长为l l =500=500nm 的单色平面波的单色平面波, 传播方向在传播方向在xz平面内平面内, 并与并与z轴夹角为轴夹角为30 . 写出其复振幅表达式写出其复振幅表达式, 并求出并求出z = z1平面上复振幅在平面上复振幅在x方向和方向和y方向的空间
5、周方向的空间周期期Tx和和Ty, 以及相应的空间频率以及相应的空间频率 fx 和和 fy.练习练习 2光波的数学描述光波的数学描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念空间频率的单位空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周周/mm, 条数条数/mm 等等空间频率的正负空间频率的正负:表示传播方向与表示传播方向与x(或或y)轴的夹角小于或大于轴的夹角小于或大于90 在给定的座标系在给定的座标系, 任意单色平面波有一组对应的任意单色平面波有一组对应的fx和和fy,它仅决定于光波的波长和传播方向它仅决定于光波的波长和传播方向.反之反之, 给定一组给定一组f
6、x和和fy, 对于给定波长的单色平面波就能对于给定波长的单色平面波就能确定其传播方向确定其传播方向cosa a =l l fx , , cosb b =l lfy 要与光的时间频率严格区分开要与光的时间频率严格区分开空间是有形的空间是有形的, 比时间更具体比时间更具体,更直观更直观.在在xy 平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期分布分布,即即复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.二维二维F.T.在光学上的意义在光学上的意义:光波的数学描述光波的数学描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信
7、息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为 :三个空间频率不能相互独立：三个空间频率不能相互独立： 因此因此 在任一距离在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在的平面上的复振幅分布，由在 z =0 =0平面上的复平面上的复振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决了最基础的平面波衍射问题了最基础的平面波衍射问题 平面波振幅平面波振幅2.1 平面波的角谱一
8、、一、“平面波角谱平面波角谱”概念概念设：有一列单色光波沿设：有一列单色光波沿 z 方向投射到（方向投射到（x，y，z1）平面上）平面上平面上光场平面上光场复振幅复振幅可视为可视为 无穷多个无穷多个平面波分量平面波分量 加权加权 的的 叠加叠加xyzz1平面波位相平面波位相傅里叶逆变换的数学表达式傅里叶逆变换的数学表达式2-1 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播2-1-5、复振幅分布的角谱、复振幅分布的角谱根据根据可将频谱函数可将频谱函数A(fx, fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量：用表示各平面波传播方向的角度为宗量：称为称为xyz平面上复振幅分布的角谱平面上
9、复振幅分布的角谱, 表示不表示不同传播方向同传播方向(a,ba,b)的单色平面波的振幅的单色平面波的振幅(|A|)和初位相和初位相(argA)角谱是角谱是xyz平面上复振幅分布平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱的空间频谱, 其空其空间频率宗量用间频率宗量用传播矢量的方向余弦传播矢量的方向余弦表示表示平面波分量的平面波分量的空间频率空间频率复振幅分布的角谱：复振幅分布的角谱： 例例在在x-y平面上平面上, 光场复光场复振幅分布为余弦型振幅分布为余弦型:可以分解为可以分解为:U(x,y)的空间频谱函数的空间频谱函数:U(x,y)的空间的空间角谱角谱函数函数:2.2 基尔霍夫衍射理论基尔霍夫
10、衍射理论惠更斯菲涅尔原理与基尔霍夫衍射惠更斯菲涅尔原理与基尔霍夫衍射公式公式惠更斯菲涅尔原理与叠加积分惠更斯菲涅尔原理与叠加积分一一 惠更斯原理惠更斯原理表述：任何时刻的波面上的每表述：任何时刻的波面上的每 一点都可作为发射子波的波源，一点都可作为发射子波的波源，各自发出球面子波。其后任一时刻所有子波波面的包络面形成各自发出球面子波。其后任一时刻所有子波波面的包络面形成整个波动在该时刻的新波面。整个波动在该时刻的新波面。优点：优点： 可以直观描述波的传播并解释衍射产生的原因。可以直观描述波的传播并解释衍射产生的原因。 可由已知波面求另一时刻的波面。可由已知波面求另一时刻的波面。不足：对衍射仅有
11、定性解释，无法用波长、振幅、位相等物理不足：对衍射仅有定性解释，无法用波长、振幅、位相等物理量对衍射结果作定量描述。量对衍射结果作定量描述。2.2 惠更斯惠更斯菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式二二惠更斯菲涅耳原理惠更斯菲涅耳原理目的：以子波相干叠加的方法对衍射结果进行定量描述。目的：以子波相干叠加的方法对衍射结果进行定量描述。研究方法：单色点光源研究方法：单色点光源S发出的球面波波面为发出的球面波波面为 ，波面半径为，波面半径为R，光波传播空间内任意一点，光波传播空间内任意一点P的振动应是波面的振动应是波面 上发出的所有子上发出的所有子波在该点振动的相干叠加。波在该点振
12、动的相干叠加。RSQPrZZ/三三 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式基尔霍夫的贡献：基尔霍夫的贡献：1.给出了倾斜因子给出了倾斜因子 2.给出了常数给出了常数C的具体形式的具体形式方法：将光场当作标量处理，只考虑电场的一个横向分量的标量方法：将光场当作标量处理，只考虑电场的一个横向分量的标量 振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法处理，忽略电振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法处理，忽略电 磁场矢量间的耦合特性，称之为标量衍射理论。磁场矢量间的耦合特性，称之为标量衍射理论。标量衍射理论适用条件：标量衍射理论适用条件： （1）衍射孔径比波长大得多）衍射孔径比波长大得多 （2）观察平面远离孔径平
13、面）观察平面远离孔径平面主要研究问题：主要研究问题： 研究光源研究光源S发出的球面波照明无限大的不透明屏上的孔，发出的球面波照明无限大的不透明屏上的孔，计算孔径右边空间衍射场中某点计算孔径右边空间衍射场中某点P的场值小孔衍射问题的场值小孔衍射问题第二章 标量衍射理论 2.12.1 数学公式二、亥姆霍兹方程二、亥姆霍兹方程 Helmholtz自由空间单色波自由空间单色波 u（p，t）满足标量波动方程）满足标量波动方程将将u(P) =U(P)exp(j2pn pn t)代入：代入：波数波数在自由空间传播的任何单色光波的复振幅必满足在自由空间传播的任何单色光波的复振幅必满足亥姆霍兹亥姆霍兹方程方程可
14、以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场 意义：意义：其中为其中为拉普拉斯算符拉普拉斯算符To p19意义：所有球面子波的相干叠加，就可以得到观察平面的光场分布。z2-3 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播1、平面波角谱的传播、平面波角谱的传播Propagation of Plane-Wave Angular Spectrum 光场分布光场分布U0(x,y,0)光场分布光场分布U (x,y,z)孔径平面（孔径平面（ z =0）P(x,y,0)观察平面（观察平面（ z =z）P(x,y,z)U0(x,y,0)与与U
15、(x,y,z)的关系如何？的关系如何？传播的问题传播的问题先找到相应的角谱先找到相应的角谱A(fx, fy,0)和和A(fx, fy,z)之间的关系之间的关系角谱的传播角谱的传播角谱是角谱是xy平面上复振幅分布平面上复振幅分布U(x,y)的空间频谱的空间频谱, 其空间其空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示频率宗量用传播矢量的方向余弦表示按角谱的观点按角谱的观点: 孔径平面和观察平面上的光场孔径平面和观察平面上的光场, 均看成许多不同方均看成许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合向传播的单色平面波分量的线性组合.每一平面波的相对振幅和位每一平面波的相对振幅和位相取决于相应的角谱相取决于相应的
16、角谱二、角谱的传播二、角谱的传播x0y00xyzU0(x0,y0,0)Uz(x,y,z)傅里叶傅里叶分解分解平面波平面波分量分量传播传播傅里叶傅里叶叠加叠加U0A0F.T.Az角谱传播角谱传播UzF.T.-12.3 2.3 平面波的角谱平面波的角谱?A zUzF.T.-1U0A0F.T. 3.33.3 平面波的角谱数学表述数学表述Uz 满足亥姆霍兹方程：满足亥姆霍兹方程：A0Az角谱传播角谱传播计算可大大简化计算可大大简化 3.33.3 平面波的角谱数学推导数学推导Re : p11结果：结果：解方程（解方程（2-54） ，得一基本解：，得一基本解：一个特解，与一个特解，与 z 无关无关意味着角
17、谱的振幅与距离无关意味着角谱的振幅与距离无关数学推导数学推导 3.33.3 平面波的角谱 3.3 3.3 平面波的角谱物物 理理 意意 义义1 1 角谱在传播过程中仅发生了位相的改变，角谱在传播过程中仅发生了位相的改变， 而振幅不变而振幅不变 空间频率越大的分量，位相延迟越小，空间频率越大的分量，位相延迟越小， 频率大的分量先到达，频率小的分量后到达频率大的分量先到达，频率小的分量后到达（1）cos2+cos2 1 的分量，的分量，根号内的值小于根号内的值小于0 表示这些分量的振幅在表示这些分量的振幅在 z 方向按负指数规律迅速衰减，方向按负指数规律迅速衰减， 这些分量称为这些分量称为 倏逝波
18、倏逝波实实数数shu（2-55）传递函数概念传递函数概念改写为：改写为：其中其中传递函数传递函数 1 表征光的传播在表征光的传播在 频域频域 中的特性中的特性2.4 2.4 平面波的角谱平面波的角谱传递函数的性质传递函数的性质1）|H（fx，fy）| = 1表示角谱的传播过程表示角谱的传播过程不影响频谱的振幅不影响频谱的振幅只影响频谱的位相只影响频谱的位相2）倏逝波倏逝波意味着意味着 频域中频域中：频率大于频率大于 1 / 的信息的信息无法向无法向 z 方向传递方向传递 1fx2 + fy2 光波在自由空间传播时，携带信息的能力有限光波在自由空间传播时，携带信息的能力有限结论结论2.4 平面波
19、的角谱2、平面波角谱的传播、平面波角谱的传播传播现象作为线性空不变系统传播现象作为线性空不变系统 1/lfxfy0系统的系统的传递函数传递函数:把光波的传播现象看作一个带宽有限把光波的传播现象看作一个带宽有限的空间滤波器。在频率平面上的半径的空间滤波器。在频率平面上的半径为为1/1/l l的圆形区域内，传递函数的模为的圆形区域内，传递函数的模为1 1，对各频率分量的振幅没有影响。但，对各频率分量的振幅没有影响。但要引入与频率有关的相移。在这一圆要引入与频率有关的相移。在这一圆形区域外，传递函数为零。形区域外，传递函数为零。对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率对空域中比波长还要小的精细
20、结构，或者说空间频率大于大于1/1/l l的信息，在单色光照明下不能沿的信息，在单色光照明下不能沿z z方向向前传方向向前传递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。 1关于关于 倏逝波倏逝波空间频率很高的空间频率很高的 物体物体例如例如 超大规模集成电路板超大规模集成电路板 线宽度线宽度 d 200nm 左右左右考虑一维情况考虑一维情况当当 600 nm时时显然显然: d 1 u = 在自由空间无法向在自由空间无法向 z 方向传递方向传递 不能得到几何像不能得到几何像客客观观存存在在解决办法解决办法1）取较短波长的光波照明）取较短波长的光
21、波照明2）用矢量理论解决）用矢量理论解决可能吗？可能吗？三、衍射孔径对角谱的影响三、衍射孔径对角谱的影响研究研究存在衍射孔时，频谱的传播有何特点？存在衍射孔时，频谱的传播有何特点？ 后的光场后的光场衍射孔衍射孔 的的透过率函数透过率函数t（x,y）=10内内外外Ut （x,y） = Ui （x,y） t（x,y）AtAiF.T.F.T.F.T.=*（2-58）T2.3 2.3 平面波的角谱平面波的角谱（x,y）UiUttz无穷大不透明屏幕无穷大不透明屏幕讨讨 论论v 孔径无限大孔径无限大T = AtAi=v 孔径很小时孔径很小时 T 展宽展宽 At也展宽也展宽Ui （x,y）= 1Ai = A
22、t = * T = TAtAi=* T结论结论1）孔径被平面波照明时，孔径后光场是孔径）孔径被平面波照明时，孔径后光场是孔径 的傅里叶变换的傅里叶变换2）孔径）孔径使角谱展宽使角谱展宽，增加了高频分量，增加了高频分量衍射波衍射波 3.3 3.3 平面波的角谱平面波的角谱t = 1v 特例特例 孔径由单位振幅平面波垂直照明孔径由单位振幅平面波垂直照明 孔径的影响是：孔径的影响是： 使角谱展宽使角谱展宽2-3 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用、衍射孔径对角谱的作用Ui (x0,y0)Ut(x0,y0)例例: 单位振幅平面波垂直入射照明一矩孔单位振幅平
23、面波垂直入射照明一矩孔, 求角谱的变化求角谱的变化At (fx,fy) = d d (fx,fy) T (fx,fy) = T (fx,fy) 角谱展宽角谱展宽孔径限制了入射波面的范围孔径限制了入射波面的范围, 展宽了入射角谱展宽了入射角谱故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。 Ai (fx,fy)= d d (fx,fy)Ui (x0,y0) = 1 T (fx,fy)=absinc(afx)sinc(bfy)t (
24、x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b) 复振幅分布的角谱复振幅分布的角谱练习练习: P117, 3.1第一步第一步: 写出屏的透过率函数写出屏的透过率函数 t(x,y):第二步第二步: 写出入射波的复振幅分布写出入射波的复振幅分布U0(x,y ,0) 单位振幅的单色平面波垂直入射照明单位振幅的单色平面波垂直入射照明, U0(x,y,0)=1第三步第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y , 0) U (x,y, 0)=U0(x,y, 0) t(x,y)= t(x,y)第四步第四步: 求出求出U(x,y,0)的频谱的频谱A
25、(fx, fy)第五步第五步: 利用利用 将将 A(fx, fy)改写成角谱改写成角谱例例 题题已知：单位振幅平面波垂直照明一个宽度为已知：单位振幅平面波垂直照明一个宽度为 a 的狭缝的狭缝 求：孔径后光场的角谱求：孔径后光场的角谱解：解：1）写出孔径的透过率函数）写出孔径的透过率函数2）由照明情况，得到）由照明情况，得到At = * T = T3）孔径后光场的角谱孔径后光场的角谱等于等于 孔径的傅里叶变换孔径的傅里叶变换At = T = t（x，y）习习 题题 二二已知：波长为已知：波长为的单位振幅平面波垂直照明孔径的单位振幅平面波垂直照明孔径 求：紧贴孔径后光场的求：紧贴孔径后光场的 角谱
26、角谱1、半径为、半径为 1 的圆孔的圆孔2、宽度为宽度为 a 的单缝的单缝3、长、宽分别为长、宽分别为 a ，b 的矩孔的矩孔4、直径为直径为 1 的不透明圆屏的不透明圆屏5、宽度为、宽度为 a ，间隔为，间隔为 d 的双狭缝的双狭缝2-3 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用、衍射孔径对角谱的作用Effect of Diffraction Aperture on Angular Spectrum孔径的复振幅透过率：孔径的复振幅透过率：t (x0,y0) = 1 在在 内内0 其它其它光场通过衍射屏后的变化：光场通过衍射屏后的变化：Ut (x0,y0
27、) = Ui (x0,y0) t (x0,y0) 角谱的变化：角谱的变化：At (fx,fy) = Ai (fx,fy) T (fx,fy) F.T.由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入衍射孔径使由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入衍射孔径使入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。(2)衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P P 的复的复振幅振幅 U(P) 能否用光场中各源点的复振幅表示出来。能否用光场中各源点的复振幅表示出来。 3-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 几几何何阴阴影影区区平平面面波波入入射射衍射现象衍射现象
