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1、四、概率的公理化定义四、概率的公理化定义例3 某城市共发行A、B、C三种报纸.调查表明,居民家庭中订购C报的占30%,同时订购A、B两报，A、C两报，B、C两报的分别各占10%，8%，5%，三种报纸都订的占3%.今在该城市中任找一户,问(1)该户只订A和B两种报纸的概率是多少?(2)该户只订C报的概率是多少?第三节第三节 条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式全概率公式与贝叶斯全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式小结小结 在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率
2、.一、条件概率与乘法公式一、条件概率与乘法公式如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概率，发生的概率，将此概率记作将此概率记作P(A|B). 一般地一般地 P(A|B) P(A) P(A )=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能 结果构成的集合就是结果构成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有中共有3个元素个元素,它们的出现是等它们的出现是等 可能的可能的,其中只有其中只有1个在集个在集A中中.容易看到容易
3、看到P(A|B)于是于是例例1 一批产品一批产品100件件70件正品件正品30件次品件次品甲厂生产甲厂生产40件件乙厂生产乙厂生产30件件甲厂生产甲厂生产20件件乙厂生产乙厂生产10件件从中任取从中任取1件件,记记A=“取到正品取到正品”,B=“取到甲厂产品取到甲厂产品”, 试计算试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).解解 设设A、B是两个事件，则称是两个事件，则称 1. 条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.为在为在事件事件A发生发生的条件下的条件下,事件事件B的条件概率的条件概率.2. 条件概率的
4、性质条件概率的性质(自行验证自行验证)条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB)的区别和联系联系:事件A,B都发生了.区别: (1)条件概率P(A|B)是在实验E的条件下增加条件B发生后,求此时事件A发生的概率.而积事件P(AB)是在实验E的条件下AB同时发生的概率。 (2)样本空间不同,在P(A|B)中样本空间是缩减样本空间 ; 而P(AB)的样本空间还是 .条件概率的计算方法由定义 ，计算P(B|A). 在事件A 发生的条件下将原样本空间 缩 减为事件A所包含的样本点的集合 ,然后在缩减的样本空间中计算事件B发生的概率,从而求得P(B|A). 例例2 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出
5、生算起活到20年以上的概年以上的概率为率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现年问现年20岁的岁的这种动物，它能活到这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解解 设设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为所求为 P(B|A) .思考：现年思考：现年20岁的这种动物，它不能活岁的这种动物，它不能活25年年 以上的概率呢？以上的概率呢？例2. 100件产品中有5件次品,现从中接连 任取两件而不放回,求在第一次取得正品的 条件下,第二次取得次品的概率. 由条件概率的定义：
6、由条件概率的定义：即即 若若P(B)0, 则则 P(AB)=P(B)P(A|B) (1)若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB).即即 若若P(A)0 , 则则 P(AB)=P(A)P(B|A) (2) (1)和和(2)式都称为式都称为乘法公式乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率4. 乘法公式乘法公式同样同样, ,由由可以反求可以反求P (AB) 一批产品共有一批产品共有9090件产品，其中有件产品，其中有1010件次品，件次品，其余为正品其余为正品. . 现依次进行不放回抽取三次，求现依次进行不放回抽取三次，求 第
7、三次才取到正品的概率第三次才取到正品的概率. .乘法公式应用举例乘法公式应用举例例例3 3答案答案某人忘记电话号码最后一位数字，因而任意地按某人忘记电话号码最后一位数字，因而任意地按最后一个数试求：最后一个数试求： （1）不超过不超过4次能打通电话的概率次能打通电话的概率（2）若已知最后一位数字是偶数则不超过若已知最后一位数字是偶数则不超过3次能次能打通电话的概率是多少？打通电话的概率是多少？ 乘法公式应用举例乘法公式应用举例例例4 4答案答案袋内有袋内有 n 个球个球( (n1个白球，个白球，1个红球个红球) )，n 个人个人依次从袋中各随机地取一球，并且每人取出一球后依次从袋中各随机地取一
8、球，并且每人取出一球后 不再放回袋中，试求第不再放回袋中，试求第 k 人取得红球的概率人取得红球的概率. .乘法公式应用举例乘法公式应用举例例例5 5答案答案抽签原理抽签原理抓阄问题抓阄问题例例 五个阄五个阄, 其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字字, 三个阄内不写字三个阄内不写字 , 五人依次抓取五人依次抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是否相字阄的概率是否相同同?解解则有则有抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关? 依此类推依此类推故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.例4. 猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6,如果第一次未击中,则进行第二次射击.但由于动物逃跑而
9、使距离变为150米;如果第二次又没击中,则进行第三次射击,这时距离变为200米.假定击中的概率与距离成反比,求猎人最多射击三次的情况下击中动物的概率.小结小结条件概率的概念条件概率的概念概率的乘法公式概率的乘法公式要求：在计算概率时经常使用，需要牢固掌握！要求：在计算概率时经常使用，需要牢固掌握！有三个箱子有三个箱子,分别编号为分别编号为1,2,3；1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球个白球,2号箱装有号箱装有2红红3白球白球 , 3号箱装有号箱装有3 红球红球. 某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任取一箱,从中从中任意摸出一球任意摸出一球,求取得红球的概率求取得红球的概率.解解 记记 Ai
10、=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，123其中其中 A1、A2、A3两两互斥两两互斥看一个例子看一个例子:二、全概率公式与贝叶斯二、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式 将将此此例例中中所所用用的的方方法法推推广广到到一一般般的的情情形形，就就得到在概率计算中常用的得到在概率计算中常用的全概率公式全概率公式.对求和中的每对求和中的每一项运用乘法一项运用乘法公式得公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到
11、运用加法公式得到即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B 两两互斥两两互斥1. 样本空间的划分样本空间的划分一个事件发生一个事件发生.2. 全概率公式全概率公式 运用全概率公式的关键在于找出样本空间一个运用全概率公式的关键在于找出样本空间一个 恰当的划分恰当的划分. .说明说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复全概率公式的主要用途在于它可以将一个复 杂事件的概率计算问题杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概分解为若干个简单事件的概 率计算问题率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果最后应用概率的可加性求出最终结果. 某某一一事事件件B的的发发生生有有
12、各各种种可可能能的的原原因因 ，如如果果B是由原因是由原因Ai (i=1,2,n) 所引起，则所引起，则B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发发 生的概率是各原因引起生的概率是各原因引起B发生概率的总和，发生概率的总和， 即全概率公式即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P( B |Ai )全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解 由由此此可可以以形形象象地地把把全全概概率率公公式式看看成成为为“由由原原因因推推结结果果”，每每个个原原因因对对结结果果的的发发生生有有一一定定的的“作作用用”，即即结结果果发发
13、生生的的可可能能性性与与各各种种原原因因的的“作作用用”大大小小有有关关. 全全概概率率公公式式表表达达了了它它们们之之间间的的关关系系 .A1A2A3A4A5A6A7A8B诸诸Ai是原因是原因B是结果是结果全概率公式的使用要点1.如果所考虑问题的试验分两步,第一步试验结果可确定为样本空间的一个划分,求与第二步试验结果有关的事件的概率,此时可用全概率公式解决.2.用全概率公式的关键是确定样本空间的一个划分,这可以从第一步试验的结果确定.例例. 有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别是车、坐飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4.若坐
14、火车来，迟到的概率是若坐火车来，迟到的概率是0.25；坐船来，迟到；坐船来，迟到的概率是的概率是0.3；坐汽车来，迟到的概率是；坐汽车来，迟到的概率是0.1；坐飞机来，则不会迟到。问此人迟到的概率有坐飞机来，则不会迟到。问此人迟到的概率有多大？多大？ 例6：某保险公司认为，人可以分为两类，第一类是容易出事故的，另一类，则是比较谨慎，保险公司的统计数字表明，一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为多少？ 例例7 7 甲箱中有甲箱中有5 5个正品个正品3 3个次品个次品
15、, ,乙箱中乙箱中有有4 4个正品个正品3 3个次品个次品, ,从甲箱中任取从甲箱中任取3 3个产品个产品放入乙箱放入乙箱, ,然后从乙箱中任取一个产品然后从乙箱中任取一个产品, ,求求这个产品是正品的概率这个产品是正品的概率. . 例例8. 某间房门上锁的概率为某间房门上锁的概率为0.5,这个门这个门上的钥匙是架子上的上的钥匙是架子上的12把钥匙中的一把把钥匙中的一把,有人在架子上任意取有人在架子上任意取2把钥匙去开门把钥匙去开门.求求他能打开门的概率他能打开门的概率.例例9一商店出售的是某公司三个分厂生产的同型一商店出售的是某公司三个分厂生产的同型号空调器，而这三个分厂的空调器比例为号空调
16、器，而这三个分厂的空调器比例为3:1:2，它它们的不合格品率分别们的不合格品率分别 , 现在某顾客从现在某顾客从这批这批空调器中任意选购一台空调器中任意选购一台试求：（试求：（1 1）顾客购到不合格空调器的概率）顾客购到不合格空调器的概率; ;（2 2）若已知顾客购到不合格的空调器，）若已知顾客购到不合格的空调器，试问这台空调器是哪一个分厂生产的可能性较大试问这台空调器是哪一个分厂生产的可能性较大？该球取自哪号箱的可能性该球取自哪号箱的可能性最大最大? 这一类问题是这一类问题是“已知结果求原因已知结果求原因”. 在实际中更在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生为常见，它所求的是
17、条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小条件下，探求各原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意摸某人从任一箱中任意摸出一球，出一球，发现是红球发现是红球,求该球求该球是取自是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:看一个例子看一个例子:3. 贝叶斯公式贝叶斯公式接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红个红球球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红红球球. 某人从三箱中任取一箱，从中
18、任意摸出一球，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率 .1231红红4白白?某人从任一箱中任意摸出一球，某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自发现是红球，求该球是取自1号号箱的概率箱的概率. 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球求求P(A1|B)运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白? 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯 (Bayes) 给出给出. 它是它是
19、在观察到事件在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的发生的每个原因的概率每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中有很多应用贝叶斯公式在实际中有很多应用. 它可以帮助人们确定某结果（事件它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最）发生的最可能原因可能原因. 例例 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一，患者对一种试验反应是阳性的概率为种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试，正常人对这种试验反应是阳性的概率为验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大验反应是阳性，问此人
20、是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. 已知已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04求解如下求解如下: 设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C |A).现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义. .由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无
21、意义？例例8 8答案答案商店出售一批收音机共商店出售一批收音机共10台，其中有台，其中有3件次品，件次品，其余为正品其余为正品. 某顾客去选购时，商店已售出某顾客去选购时，商店已售出2台，台，该顾客从余下的该顾客从余下的8台中任选购一台试求：台中任选购一台试求：（1 1）该顾客购得正品收音机的概率；）该顾客购得正品收音机的概率； （2）若已知顾客购到正品收音机，则已售出的）若已知顾客购到正品收音机，则已售出的两台都是次品的概率是多少？两台都是次品的概率是多少？例例答案答案根据对以往数据分析根据对以往数据分析, 结果表明结果表明: 当机器调整良好当机器调整良好时时, 产品的合格品率为产品的合格品
22、率为90%; 而当机器未调整良好时而当机器未调整良好时,合合格品率仅为格品率仅为30%. 通常通常, 每天早上机器开动时每天早上机器开动时, 机器处于机器处于调整良好状态的概率为调整良好状态的概率为75%. 若某天早上机器生产的第若某天早上机器生产的第一件产品是合格品一件产品是合格品, 则这天机器处于调整良好状态的概则这天机器处于调整良好状态的概率是多少率是多少?例例9 已知男子中有已知男子中有5%是色盲患者，女子有是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率挑选一人，恰好是色盲患者
23、，问此人是男性的概率是多少？是多少？例. 已知玻璃杯成箱出售，每箱20个，假设各箱含有0，1，2个残次品的概率相应为0.8，0.1，0.1.一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地查看4个，若无残次品，则买下该玻璃杯，否则退货。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。例例10 在无线电通信中接连不断地发送信号在无线电通信中接连不断地发送信号0和和1，假设其中假设其中0占占60%，1占占40%；由于存在干扰，发；由于存在干扰，发送信号送信号0时接收信号可能是时接收信号可能是0，1和和x（模糊信号），（模糊信号），概率相应为概率相应为0.7，0.1和和0.2；发送信号；发送信号1时接收信号时接收信号也可能是也可能是0，1和和x（模糊信号），概率相应为（模糊信号），概率相应为0.05，0.85和和0.1。问接收到模糊信号。问接收到模糊信号x时译成哪个信号为时译成哪个信号为好？好？例11. 某地区有61%的人抽烟,有24%的人不抽烟,有15%的人曾经抽过烟.已知以上三种情况死于肺癌的概率依次为0.5、0.1、0.2.求一个死于肺癌的病人,他是不抽烟的概率是多少?
