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1、一、离散型一、离散型随机变量随机变量的函数的分布的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布2.42.4随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布问题的提出问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣. .求截面面积求截面面积 A A = = 的分布的分布. .例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d d 的分布，的分布，已知已知t=tt=t0 0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V V的分布，的分布，求功率求功率 W=VW=V2 2/R/R ( (R R为电阻）的分布等为电阻）的分布等. .这这类类问题无论在实践中
2、还是在理论上都是重要的问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. .问题的一般提法问题的一般提法一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布下面举例说明解决办法下面举例说明解决办法 设设X X是离散型随机变量，则是离散型随机变量，则Y=g(X)Y=g(X)一般也一般也是离散型随机变量。是离散型随机变量。 此时，只需由此时，只需由X X分布律求得分布律求得Y Y的分布律即可。的分布律即可。Y 的可能值为的可能值为 即即 0, 1, 4.解解例例1 1 设X的分布率为故故Y 的分布律为的分布律为由此可得离散由此可得离散型随机变量函型随机变量函数分布的求法数分布的求法离散型随机变量的函
3、数的分布离散型随机变量的函数的分布X -1 0 1 2 3 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 求求(1)Y=X-1; (2)Y= -2X2的分布律的分布律 练习练习: : 设离散型随机设离散型随机 变量变量X X的分布律为的分布律为 解: 由X的分布律可得下表 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 X -1 0 1 2 3X-1 -2 -1 0 1 2-2X2 -2 0 -2 -8 -18(1)Y=X-1的分布律为的分布律为 Y -2 -1 0 1 2 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 （2）Y= -2X2的分布律为 Y -18 -8 -
4、2 0 P 3/10 3/10 3/10 1/10 二、连续型随机变量函数的分布再由FY(y)求导可求出Y的概率密度 设X为连续型随机变量，具有概率密度fx(x)，求Y=g(X) （g连续）的概率密度。 因为FY(y)=PYy=Pg(X)y，1 1一般方法一般方法分布函数法分布函数法可先求出可先求出Y的分布函数的分布函数FY(y)：下面举例说明此法也叫“分布函数法” 设ly=x|g(x)y则第二步第二步 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度. .第一步第一步 解解例例2例例3 设设 X 具有概率密度具有概率密度 ,求求Y=X2的概率密度的概率密度.求导得求导得当当 y0 时时, 注意到注意
5、到 Y=X2 0，故当故当 y 0时，时，解：解： 设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，若若则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：称称Y Y服从自由度为服从自由度为1 1的的 分布。分布。练练 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求Y=sinX的概率密度的概率密度.当当 y 0时时, 当当 y 1时时, 当当时时故故解：注意到解：注意到,当当00(x)0的情况。此时的情况。此时g(x)g(x)在在(-,+ (-,+ )严格单调增加，它的反函数严格单调增加，它的反函数h(y)h(y)存在，且在存在，且在(，)严格单调增加，可导，现在先来求严格单调增加，可导，现
6、在先来求Y Y的的分布函数分布函数F FY Y(y)(y)。因为因为Y=g(X)Y=g(X)在在(，)取值，故当取值，故当yy时，时， F FY Y(y)=PYy=0(y)=PYy=0；此定理的证明与前面的解题思路类似此定理的证明与前面的解题思路类似. .当当yy时，时， F FY Y(y)=PYy=1(y)=PYy=1；当当yy0(x)0(或恒有或恒有g g (x)0)(x)0)，此时此时 若若g g (x)0, (x)0, 同理可证同理可证证证X 的概率密度为的概率密度为例例4解解例例5思考思考1：思考思考1，2的举例见附录！的举例见附录！ 若在上题中若在上题中在在(0(0，)上服从均匀分
7、布，因为上服从均匀分布，因为此时此时v=g()=v=g()=AsinAsin在在(0(0，)上不是单调函数，上不是单调函数，上述定理失效，此时方法如何？上述定理失效，此时方法如何？ 思考思考2：小结：小结：求随机变量函数的分布的方法：求随机变量函数的分布的方法：2.2. 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的的密度函数为密度函数为 X X(x), y=f(x)(x), y=f(x)连续连续, , 求求Y= f(X)Y= f(X)的密度函数的方法有三种：的密度函数的方法有三种：1.1.设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为 PX=xPX=xi i=p=pi i，i=1,2,
8、i=1,2,n ,n , 又又y=f(x)y=f(x)是是x x的连续函数，则的连续函数，则Y=f(X)Y=f(X)是是随机变量，随机变量，其分布律为其分布律为 PY=PY=f(xf(xi i)=p)=pi i，i=1,2,n , i=1,2,n , 若若某些某些f(xf(xi i) )相等，将它们作适当并项即可。相等，将它们作适当并项即可。（1 1）分布函数法；）分布函数法；（2 2）公式法：公式法：若若y=y=f(xf(x) )严格单调可导，则其反函数严格单调可导，则其反函数严格单调可导，此时可用公式法；严格单调可导，此时可用公式法；* *（3 3）若若y=y=f(xf(x) )在不相重叠
9、的区间在不相重叠的区间I1,I2,I1,I2,上逐段上逐段严格单调可导，其反函数分别为严格单调可导，其反函数分别为g1(y), g2(y), g1(y), g2(y), , ,且且g g 1(y), g 1(y), g 2(y), 2(y), , ,均为连续函数，则均为连续函数，则Y= Y= f(Xf(X) )是连续型随机变量，是连续型随机变量， 其密度函数为其密度函数为 在求在求Y Y= =g g( (X X) ) 分布时，分布时，关键步是把关键步是把事件事件 g g( (X X) ) y y 转化为转化为X X在一定范围内取值的形在一定范围内取值的形式式，从而可以利用，从而可以利用 X X
10、 的分布来求的分布来求 P P g g( (X X) y y . .本章小结附附 录录思考题思考题1，2举例举例思考思考1 1：例：例 设设X X在在0,0,服从均匀分布，求：服从均匀分布，求：Y=Y=sinXsinX的的分布函数分布函数F FY Y(y(y) )和概率密度和概率密度. . （2 2）y=y=sinxsinx在在0,0,不不单调，但可分为两单调区间单调，但可分为两单调区间 （0,/2 0,/2 ）(/2 , )(/2 , )解：解：（1 1）（3）求：FY(y)=PYy ，当0y1时，FY(y) =PsinXy =P0 Xarcsiny +P -arcsiny X yy0 x /2 xx1=arcsinyx2=-arcsiny思考思考2 2：例如，例如，所以所以
