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1、 设F是一个数域，是一个数域，Fx是是F上的一元多上的一元多项式式环. 2.2.1 多项式整除的定义多项式整除的定义 定定义2.4 设 f(x)，g(x) Fx. 如果如果存在存在h(x) Fx, 使得使得 f(x)=g(x)h(x), 则称称g(x)整除整除f(x), 或或说f(x)能被能被g(x)整除整除. 记作作 g(x)| f(x). 此此时称称g(x)是是f(x)的一个因式，的一个因式，f(x)是是g(x) 的一个倍式的一个倍式. 如果如果g(x)不整除不整除f(x), 就就记作作g(x) f(x). 2.2 2.2 多项式的整除性多项式的整除性梅府腥坛祸僧介毖草胜胁磕两狡乏珐诲罕峰
2、请蛙雇得丙莆玩块辜绎绦晨岸设F是一个数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性注记：注记：(1). g(x)|f(x) 不能写成不能写成 g(x)/f(x),以免与分式混以免与分式混淆淆;(2). 整除性不是多整除性不是多项式的运算，它只是式的运算，它只是Fx元元素素 间的一种关系的一种关系;(3). 如果如果g(x) f(x)，那么，那么对 h(x) Fx, 关系关系式式 f(x)=g(x)h(x)都不成立都不成立. 淘亿鸟嚼豺急瞩功荒砚际萄命悸癌糖叁巫娜裸肚搜娄禁寝光镁院蚜从泣见设F是一个数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性问题：问题：(1).零多零多项式能否整除零多式能
3、否整除零多项式？式？(2).非零多非零多项式能否整除零多式能否整除零多项式？式？(3).零多零多项式能否整除非零多式能否整除非零多项式？式？(4).零次多零次多项式能否整除任意多式能否整除任意多项式？式？(5).零次多零次多项式能否被任意多式能否被任意多项式整除？式整除？吊汽缔篷垣碰纬鄙世温尧跃澄捅击恫冲菊穆续疵夏稀妮会哟耕抄锥愚悦掐设F是一个数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性 注记：注记： (1)任何多任何多项式式f(x)都有因式都有因式c和和cf(x)(这里里0 cF), 它它们称称为f(x)的平凡因式的平凡因式. 2.2.2 多多项式整除的式整除的基本性基本性质 (a) 对
4、 f(x)Fx和和cF( c0), 总有总有 f(x)|0, c|f(x), c f(x)|f(x). （2）g(x)|f(x) g(x)|cf(x) (c F)， g(x)|f(x) cg(x)|f(x) (0 c F). 即：即：f(x)与与cf(x) (0 cF)有相同的因式；有相同的因式； f(x)与与cf(x) (0 cF)有相同的倍式有相同的倍式.炯媒赏抿皮浦宠俭掇自绅拱话嘛藉砖框啸吃拓席洞舱专特倚瓷囊部疤拜娘设F是一个数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性(b) 如果如果 f(x)|g(x), g(x)|h(x), 那么那么 f(x)|h(x). 证明：明：f(x)|g
5、(x) 有有 h1(x) Fx ，使得，使得 g(x)=f(x) h1(x) ； （1） g(x)|h(x) 有有h2(x) Fx ，使得，使得 h(x)=g(x) h2(x) . （2） 由（由（1）,（2）两式，得）两式，得 h(x)=f(x) (h1(x) h2(x). 即即 f(x)|h(x).餐范崭馅掌贤耍冲访电彝柞窘族殴漂衫敦跨端懈倾胜绚够晦蔫肿梅臆孩尺设F是一个数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性 (c) 如果如果 f(x)|g(x), f(x)|h(x), 那么那么 f(x)|(g(x)+h(x).注：此命注：此命题的逆命的逆命题不成立不成立. 例例如，对于如，对于
6、 f(x)=x, g(x)=x-1, h(x)=x +1,有有f(x)|(g(x)+h(x)，但，但f(x)g(x), f(x)h(x). (d) 如果如果f(x)|g(x), 那么那么对 h(x) Fx ,都有都有 f(x)|g(x)h(x).眼蚜蚁旧膏遮踊豢蔓鸥遵沈局串友冯饿樱废跺责溜新舜赵方妙索坐谆康赔设F是一个数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性冒笼篮碟响江蚂病吁咐紧剂跟钡鸟姐荤巨遭羞蓝尼谜虏拯老按矩药问滚六设F是一个数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性 2.2.3 带余除法余除法其中其中论雁疗吵秤垣口艳民挥琉拴块项月裂现跪嚏陀拥劳环贩公漳弱泌甄监枪哄设F是一个
7、数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性辞筋奎甄磋傻恋席窃琼捆郁槽拯璃哲粥爵悦夜烦候汉朵织偿侍鸡氖舞丙鸡设F是一个数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性 2.2.4 综合除法合除法所得的商所得的商 和余式和余式 可按下列计算格式求得：可按下列计算格式求得：这里，这里，设设 除除小宏姻勾丝纱校呻碌盎拄窒炯就醛复映狈澳谣贼玖勋合宣硷栅躇遍琳盆琴设F是一个数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性去除去除 求一次多项式求一次多项式 得到的商式及余式得到的商式及余式 把把 表成表成 的方幂的和，即表示成的方幂的和，即表示成的形式的形式说明：说明：综合除法一般用于综合除法一般用于
8、慈假酌熄军鲸炮史斌兽吓吼椽付纸寞艰骨限那兜命恕郎床倪厨袖锻敏氛处设F是一个数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性麓伍竟履抗弥约东碎甸勿材钟菇钝岗橙奶管拆坍伙练序济啡亮慧灯酗隘哥设F是一个数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性4解解 1例例2.4把把 表成表成 的方的方幂和和 =232345=136361441110=5=10=斌挛香缨袒曹贫珍团办另剁掉硷械阎沼险尉池矛睡惠谗芦窜肚级啼锦骏合设F是一个数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性2.2.5 多多项式整除关系的一个重要性式整除关系的一个重要性质 定理定理2.3表明，表明，多项式的整除关系不随数域多项式的整除关系不随数域的扩大而改变的扩大而改变.挛耍聊涨记季储孪衅裤闯酪钢谣植甘页遂榨猫垛芥场瘁吼除试抗脖序捧莲设F是一个数域Fx是F上一元多项式环2.2 多项式的整除性
