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1、 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)(Chapter Six )Deflection of Beamshuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)61 61 概述概述（Basic concepts)一一一一. . . . 工程实例工程实例工程实例工程实例huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 工工工工程程程程中中中中的的的的弯弯弯弯曲曲曲曲变变变变形形形形问问问问题题题题吊车梁吊车梁行行车
2、车电葫电葫芦芦huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)4 4弯曲变形弯曲变形huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)研究目的：研究目的：对梁作刚度校核；对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。 工工工工程程程程中中中中的的的的弯弯弯弯曲曲曲曲变变变变形形形形问问问问题题题题huse弯曲变形武汉理工
3、大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 但在另外一些情况下但在另外一些情况下但在另外一些情况下但在另外一些情况下, ,有时却要求构件具有较大的有时却要求构件具有较大的有时却要求构件具有较大的有时却要求构件具有较大的弹性变形弹性变形弹性变形弹性变形, ,以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要. .n 例如例如例如例如, ,车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧, ,要求有足够大的变形要求有足够大的变形要求有足够大的变形要求有足够大的变形, ,以缓解以缓解以缓解以缓解车辆受到的冲
4、击和振动作用车辆受到的冲击和振动作用车辆受到的冲击和振动作用车辆受到的冲击和振动作用. .huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 挠挠度度(w): 横横截截面面形形心心(即即轴轴线线上上的的点点)在在垂垂直直于于x轴轴方向的线位移方向的线位移, 称为该截面的称为该截面的挠度挠度(Deflection) 。n 取梁的左端点为坐标原点取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴梁变形前的轴线为线为x轴
5、轴, 横截面的铅垂对称轴为横截面的铅垂对称轴为y轴轴, xy平面为平面为纵向对称平面。纵向对称平面。 x yBABCC1挠度w挠度符号？huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) x yBABCC1转角符号？ 转角 转转角角( ): 横横截截面面绕绕中中性性轴轴(即即Z轴轴)转转过过的的角角度度（或或角角位位移移）, 称称为为该该截截面面的的转转角角(Slope rotation angle) 。huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams
6、)n挠度和转角符号的规定：挠度和转角符号的规定：挠度：在图示坐标系中挠度：在图示坐标系中, 向上为正向上为正, 向下为负向下为负。转角：转角： 逆时针转向为正逆时针转向为正,顺时针转向为负。顺时针转向为负。yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)Fhuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)必须注意必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后梁轴线弯曲成曲线后, 在在x轴方向轴方向也有线位移。也有线位移。yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)F但但在在小小变变形形情情况况下下, 梁梁的的挠挠度度远远小小于于跨跨长长, 横横截
7、截面面形形心心沿沿x轴轴方方向向的的线线位位移移与与挠挠度度相相比比属属于于高阶微量高阶微量, 可略去不计可略去不计。huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)挠曲线挠曲线：梁变形后的轴线称为：梁变形后的轴线称为挠曲线挠曲线。挠曲线方程挠曲线方程:式中式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该为该点的挠度。点的挠度。yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)挠曲线挠曲线Fhuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of
8、 Beams)n挠度与转角的关系：挠度与转角的关系：yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)Fhuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 推导纯弯梁横截面正应力时，得到挠曲线的曲推导纯弯梁横截面正应力时，得到挠曲线的曲率公式：率公式： 忽略剪力对变形的影响，也可忽略剪力对变形的影响，也可用上式计算横力弯曲梁的变形：用上式计算横力弯曲梁的变形：以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然，在以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然，在纯弯曲时，曲率为常数，其挠曲线为一圆弧。在横力纯弯曲时，曲率为常数，其挠曲线为一圆
9、弧。在横力弯曲时，曲率与弯矩成正比。弯曲时，曲率与弯矩成正比。PDhuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)横横力力弯弯曲曲时时, M和和 都都是是x的的函函数数。略略去去剪剪力力对对梁梁的位移的影响的位移的影响, 则则纯弯曲时纯弯曲时曲率与弯矩的关系为曲率与弯矩的关系为由几何关系知由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作平面曲线的曲率可写作huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)曲线向上凸曲线向上凸 时：时： w0, M0因此因此, M
10、与与w的正负号相同。的正负号相同。MMM0w0MM曲线向下凸曲线向下凸 时：时： w0, M0Oxyhuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)由由于于挠挠曲曲线线是是一一条条非非常常平平坦坦的的曲曲线线, w2远远比比1小小, 可以略去不计可以略去不计, 于是上式可写成于是上式可写成此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。梁的挠曲线近似微分方程。(Approximately differential equation of the deflection curve)称为称为近似近似的原因的原因: (1) 略去了剪
11、力的影响略去了剪力的影响; (2)略略去了去了w2项。项。huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)63 63 梁的刚度计算梁的刚度计算一、微分方程的积分一、微分方程的积分一、微分方程的积分一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )Integrating the differential equation )若为等截面直梁若为等截面直梁若为等截面直梁若为等截面直梁, , 其抗弯刚度其抗弯刚度其抗弯刚度其抗弯刚度EIEI为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成
12、为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)2 2 2 2、再积分一次再积分一次再积分一次再积分一次, , , , 得挠度方程得挠度方程得挠度方程得挠度方程(Integrating again gives the equation for the deflection)(Integrating again gives the equation for the deflection)二、积分常数的确定二、积分常数的确定二、积分常数的确定二、积分常数的确定（Evaluating t
13、he constants of integration)Evaluating the constants of integration)1 1 1 1、边界条件、边界条件、边界条件、边界条件（boundary conditions)boundary conditions) 2 2 2 2、连续条件、连续条件、连续条件、连续条件 (continuity conditions)(continuity conditions) 1 1 1 1、积分一次得转角方程积分一次得转角方程积分一次得转角方程积分一次得转角方程(The first integration gives th equation for
14、 the slope )(The first integration gives th equation for the slope )huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 讨论：讨论： （1 1）梁的弯矩）梁的弯矩M(x)M(x)可用一个函数描述时，积分可用一个函数描述时，积分常数仅常数仅2 2个，由支承约束条件确定；个，由支承约束条件确定； （2 2）梁上有突变荷载将梁分成几段，则各段梁的）梁上有突变荷载将梁分成几段，则各段梁的弯矩方程弯矩方程M(x)M(x)不同，因而各段的转角和挠度具有不同不同，因而各
15、段的转角和挠度具有不同的函数形式，应分段积分，每一段的积分常数有的函数形式，应分段积分，每一段的积分常数有2 2个，个，这些常数由这些常数由支承约束条件支承约束条件和分段点和分段点连续光滑连续光滑条件确定。条件确定。 huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)2. 2. 2. 2. 求积分常数求积分常数求积分常数求积分常数PD（1 1）支点位移条件：支点位移条件：（2)2)连续条件：连续条件：(3)(3)光滑条件：光滑条件：PABChuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsD
16、eflection of Beams)huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)（1 1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。（2 2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。（3 3）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。个截面挠度相等、转角相等。4 4、确定挠曲线方程和转角方程、确定挠曲线方程和转角方程5 5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大
17、值。、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。1 1、根据荷载分段列出弯矩方程、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。）。2 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。积分法计算梁变形的步骤积分法计算梁变形的步骤边界条件：边界条件：连续性条件：连续性条件：huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 讨论讨论： 适用于小变形、线弹性、细长构件的平
18、面弯曲适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲 用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形边界条件确定积分常数由挠曲线变形边界条件确定 优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁缺点：计算较繁huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 例题例题例题例题1:1:1:1:图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI EI 的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁, , 在自由端受一在自由端受一
19、在自由端受一在自由端受一集中力集中力集中力集中力 F F 作用作用作用作用. .试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程, , 并确定其并确定其并确定其并确定其最大挠度最大挠度最大挠度最大挠度 和最大转角和最大转角和最大转角和最大转角 ABxFw whuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)(1) (1) 弯矩方程为弯矩方程为弯矩方程为弯矩方程为解：解：解：解：(2) (2) 挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为挠
20、曲线的近似微分方程为xwABxF对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为边界条件为边界条件为边界条件为边界条件为 : :将边界条件代入将边界条件代入将边界条件代入将边界条件代入(3) (4)(3) (4)(3) (4)(3) (4)两式中两式中两式中两式中, , , ,可得：可得：可得
21、：可得：huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)BxyAF（ ）都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处和和和和（ ）huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)例题例题例题例题2:2:2:2:图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI EI 的简支梁的简支梁的简支梁的简支梁, ,在全梁上受集度为在全梁上受集度为在全梁上受集度为在全梁上受集度为q q 的的的的均布荷载作
22、用均布荷载作用均布荷载作用均布荷载作用. .试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程, ,并确定其并确定其并确定其并确定其和和和和ABql lhuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)解解解解: : 由对称性可知，梁的由对称性可知，梁的由对称性可知，梁的由对称性可知，梁的两个支反力为两个支反力为两个支反力为两个支反力为ABql lRARBx此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分
23、方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)梁的转角方程和挠曲线方程分梁的转角方程和挠曲线方程分梁的转角方程和挠曲线方程分梁的转角方程和挠曲线方程分别为别为别为别为: :边界条件为边界条件为边界条件为边界条件为 : :, ,时时时时 xABql lRARB A B在在在在 x x=0 =0 和和和和 x x= =l l 处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，最大转角和最大挠度分别为最
24、大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为: :wmax在在在在梁跨中点梁跨中点梁跨中点梁跨中点 处有最大挠度值处有最大挠度值处有最大挠度值处有最大挠度值huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)例题例题例题例题3:3:图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EIEI的简支梁的简支梁的简支梁的简支梁, , 在在在在D D点处受一集中点处受一集中点处受一集中点处受一集中力力力力F F的作用的作用的作用的作用. .试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转
25、角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程, ,并求其最大并求其最大并求其最大并求其最大挠度和最大转角挠度和最大转角挠度和最大转角挠度和最大转角. .ABFDabl lhuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)解解解解: : 梁的两个支反力为梁的两个支反力为梁的两个支反力为梁的两个支反力为RARBABFDabl l12xx两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsD
26、eflection of Beams)两段梁的挠曲线方程分别为：两段梁的挠曲线方程分别为：两段梁的挠曲线方程分别为：两段梁的挠曲线方程分别为：1( 0 ( 0 x x a a) )挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程转角方程转角方程挠度方程挠度方程挠度方程挠度方程huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程转角方程转角方程挠度方程挠度方程挠度方程挠度方程( ( a a x x l l ) )2huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Def
27、lection of BeamsDeflection of Beams)D D点的连续条件点的连续条件点的连续条件点的连续条件: :边界条件边界条件边界条件边界条件: :在在在在 x x = = a a 处处处处在在在在 x x = 0 = 0 处，处，处，处，在在在在 x x = = l l 处，处，处，处，代入方程可解得代入方程可解得代入方程可解得代入方程可解得: :ABFDab12RARBhuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)12huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of Be
28、amsDeflection of Beams)将将将将 x x = 0 = 0 和和和和 x x = = l l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当当当当 a a b b 时时时时, , 右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在简支梁的最
29、大挠度应在简支梁的最大挠度应在处处处处先研究第一段梁先研究第一段梁先研究第一段梁先研究第一段梁, , 令令令令得得得得当当当当 a a b b时时时时, , x x1 1 a a 最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)梁中点梁中点梁中点梁中点 C C 处的挠度为处的挠度为处的挠度为处的挠度为结论结论结论结论: : 在简支梁中在简支梁中在简支梁中在简支梁中, , 不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载
30、作用不论它受什么荷载作用, , 只要挠曲线上无只要挠曲线上无只要挠曲线上无只要挠曲线上无 拐点拐点拐点拐点, , 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, , 其精其精其精其精确度是能满足工程要求的确度是能满足工程要求的确度是能满足工程要求的确度是能满足工程要求的. .huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)对各段梁对各段梁对各段梁对各段梁, ,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上都
31、是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的的外力来写弯矩方程的的外力来写弯矩方程的的外力来写弯矩方程的. .所以后一段梁的弯矩方程包含所以后一段梁的弯矩方程包含所以后一段梁的弯矩方程包含所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程前一段梁的弯矩方程前一段梁的弯矩方程前一段梁的弯矩方程. .只增加了只增加了只增加了只增加了( (x-ax-a) )的项的项的项的项. .对对对对( (x-ax-a) )的项作积分时，应该将的项作积分时，应该将的项作积分时，应该将的项作积分时，应该将( (x-ax-a) )项作为
32、积分变量项作为积分变量项作为积分变量项作为积分变量. .从从从从而简化了确定积分常数的工作而简化了确定积分常数的工作而简化了确定积分常数的工作而简化了确定积分常数的工作. .积分法的原则积分法的原则积分法的原则积分法的原则huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 64 64 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 ( Beam deflections by superposition ) ) 梁的变形微小梁的变形微小梁的变形微小梁的变形微小, , 且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工
33、作时且梁在线弹性范围内工作时, , 梁在梁在梁在梁在几项荷载几项荷载几项荷载几项荷载( (可以是集中力可以是集中力可以是集中力可以是集中力, , 集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力) )同时作用下同时作用下同时作用下同时作用下的挠度和转角，的挠度和转角，的挠度和转角，的挠度和转角， 就分别就分别就分别就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. . 当当当当每一项荷载所引起的挠度为每一项荷载所引起的挠度为每一项荷载所引
34、起的挠度为每一项荷载所引起的挠度为同一方向同一方向同一方向同一方向( (如均沿如均沿如均沿如均沿y y轴方向轴方向轴方向轴方向), ), 其转角其转角其转角其转角是在同一平面内是在同一平面内是在同一平面内是在同一平面内( (如均在如均在如均在如均在 xy xy 平面内平面内平面内平面内) )时时时时, ,则则则则叠加就是代数和叠加就是代数和叠加就是代数和叠加就是代数和. . 这就这就这就这就是叠加原理是叠加原理是叠加原理是叠加原理. .一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理 ( (superposition ) ) ：huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection
35、of BeamsDeflection of Beams)1 1 1 1、载荷叠加、载荷叠加、载荷叠加、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形：多个载荷同时作用于结构而引起的变形：多个载荷同时作用于结构而引起的变形：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和. . . .2 2 2 2、结构形式叠加（逐段刚化法）、结构形式叠加（逐段刚化法）、结构形式叠加（逐段刚化法）、结构形式叠加（逐段刚化法）huse弯曲变形武汉
36、理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)1 1 1 1、 按叠加原理求按叠加原理求按叠加原理求按叠加原理求A A点转角和点转角和点转角和点转角和C C点挠点挠点挠点挠度度度度. . . .解解解解:(1):(1):(1):(1)载荷分解如图载荷分解如图载荷分解如图载荷分解如图(2)(2)(2)(2)由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形. . . .BqFACaaF=AB+ABqhuse弯曲变形武汉理工
37、大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) (3)(3)(3)(3)叠加叠加叠加叠加qFF=+AAABBBCaaqhuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)例题例题例题例题5 5: : : :一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为 EI EI 的简支梁受荷载如图的简支梁受荷载如图的简支梁受荷载如图的简支梁受荷载如图 所示所示所示所示. .试按叠加原理试按叠加原理试按叠加原理试按叠加原理求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度
38、w wC C 和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角 A A , , B B 。ABCq qmml lhuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)解：将梁上荷载分为两项简单解：将梁上荷载分为两项简单解：将梁上荷载分为两项简单解：将梁上荷载分为两项简单的荷载的荷载的荷载的荷载, , , ,如图所示如图所示如图所示如图所示ABCqmm(a)l lBAm(c)l lAq(b)Bl lC CC( )( )( )huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of B
39、eamsDeflection of Beams)例题：一抗弯刚度为例题：一抗弯刚度为例题：一抗弯刚度为例题：一抗弯刚度为 EI EI 的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示, , 试按叠加原理并利用附表试按叠加原理并利用附表试按叠加原理并利用附表试按叠加原理并利用附表, ,求截面求截面求截面求截面B B的转角的转角的转角的转角 B B以及以及以及以及A A端和端和端和端和BC BC 中点中点中点中点 D D 的挠度的挠度的挠度的挠度 w wA A 和和和和 w wD D . .ABCDaa2a2qqhuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (D
40、eflection of BeamsDeflection of Beams)解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿 B B 截面截成截面截成截面截成截面截成两段两段两段两段, , , ,将将将将AB AB 段看成段看成段看成段看成 B B 端固定端固定端固定端固定的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁, , , ,BCBC 段看成简支梁段看成简支梁段看成简支梁段看成简支梁. . . .ABCDaa2a2qqBCDq2qa2qAB2qaB B截面两侧的相互作用为：截面两侧的相互作用为：截面两侧的相互作用为：截面两侧的相互作用为：huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflec
41、tion of BeamsDeflection of Beams)就是外伸梁就是外伸梁就是外伸梁就是外伸梁ACAC的的的的 B B,w,wD D简支梁简支梁简支梁简支梁BCBC的受力情况与外的受力情况与外的受力情况与外的受力情况与外伸梁伸梁伸梁伸梁AC AC 的的的的BCBC段的受力情段的受力情段的受力情段的受力情况相同况相同况相同况相同由简支梁由简支梁由简支梁由简支梁BCBC求得的求得的求得的求得的 B B, , , ,w wD D2qaBCDqqBCDBCD简支梁简支梁简支梁简支梁BCBC的变形就是的变形就是的变形就是的变形就是MMB B和和和和均布荷载均布荷载均布荷载均布荷载q q分别引
42、起变形的分别引起变形的分别引起变形的分别引起变形的叠加叠加叠加叠加. . . .huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)由叠加原理得由叠加原理得由叠加原理得由叠加原理得: : : :DBC2qaBCDqDBC(1)(1)(1)(1)求求求求 B B ，w wD Dhuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)(2) (2) (2) (2) 求求求求w wA A由于简支梁上由于简支梁上由于简支梁上由于简支梁上B B截面的转动截面的转动截面的
43、转动截面的转动, , , ,带动带动带动带动ABAB段一起作刚体运动段一起作刚体运动段一起作刚体运动段一起作刚体运动, , , ,使使使使A A端产生挠度端产生挠度端产生挠度端产生挠度w w1 1 悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁ABAB本身的弯曲变形本身的弯曲变形本身的弯曲变形本身的弯曲变形, , , ,使使使使A A端产生挠度端产生挠度端产生挠度端产生挠度w w2 2AA2qB2qa2qaBCDq因此，因此，因此，因此，A A端的总挠度应为端的总挠度应为端的总挠度应为端的总挠度应为huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beam
44、s)二二二二 刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件（stiffness condition)stiffness condition)1 1 1 1、数学表达式、数学表达式、数学表达式、数学表达式（mathematical formula)mathematical formula)2 2 2 2、 刚度条件的应用刚度条件的应用刚度条件的应用刚度条件的应用(application of stiffness condition)(application of stiffness condition)(1)(1)校核刚度校核刚度校核刚度校核刚度（ Check the stiffness of the be
45、am Check the stiffness of the beam）(2)(2)设计截面尺寸设计截面尺寸设计截面尺寸设计截面尺寸（Determine the allowable load on the beamDetermine the allowable load on the beam）(3)(3)求许可载荷求许可载荷求许可载荷求许可载荷（Determine the required dimensions of the beamDetermine the required dimensions of the beam）是构件的许可挠度和转角是构件的许可挠度和转角是构件的许可挠度和转角是构
46、件的许可挠度和转角. .和和和和huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)二、提高梁刚度的主要措施二、提高梁刚度的主要措施挠曲线微分方程：挠曲线微分方程：转角：转角：1 1、选择合理的截面形状，以增大截面惯性矩、选择合理的截面形状，以增大截面惯性矩Iz2 2 2 2、尽量减小梁的跨度或长度，减少弯矩数值尽量减小梁的跨度或长度，减少弯矩数值3 3、改善梁的受力情况改善梁的受力情况改善梁的受力情况改善梁的受力情况4 4 4 4、改变支座形式、改变支座形式、改变支座形式、改变支座形式提提提提高高高高弯弯弯弯曲曲曲曲刚刚刚
47、刚度度度度的的的的措措措措施施施施，就就就就是是是是减减减减小小小小结结结结构构构构的的的的最最最最大大大大变变变变形形形形，根根根根据据据据上上上上面面面面所所所所述述述述的的的的变变变变形形形形公公公公式式式式，可可可可得得得得相相相相应应应应的措施。的措施。的措施。的措施。huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)n对于钢材来说对于钢材来说, 采用高强度钢可以显著提高采用高强度钢可以显著提高梁的强度梁的强度, 但对刚度的改善并不明显但对刚度的改善并不明显, 因高因高强度钢与普通低碳钢的强度钢与普通低碳钢的E值
48、是相近的值是相近的。因此。因此, 为为增大梁的刚度增大梁的刚度, 应设法增大应设法增大I值值。在。在截面截面面积不变的情况面积不变的情况下下, 采用采用适当形状的截面适当形状的截面使使截面面积分布在距中性轴较远处截面面积分布在距中性轴较远处, 以以增大截增大截面的惯性矩面的惯性矩I, 这样不仅可这样不仅可降低应力降低应力, 而且能而且能增大梁的弯曲刚度以增大梁的弯曲刚度以减小位移减小位移。huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)1 1、选择合理的截面形状、选择合理的截面形状 将圆形截面改为工字形、槽形或箱形，可使
49、将圆形截面改为工字形、槽形或箱形，可使A A较小而较小而 I z较大。较大。huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)截面形截面形状状截面面积截面面积(cm2) 截面尺寸截面尺寸(cm)I (cm4)圆 形35.5D=6.72101.3矩形35.5B=4.21H=8.43210.56工字形35.520a 2370n所以工程上钢结构常采用所以工程上钢结构常采用工字形、箱形工字形、箱形等截面。等截面。huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams
50、)2 2 2 2、尽量减小梁的跨度或长度，减小弯矩数值尽量减小梁的跨度或长度，减小弯矩数值qBAlwmaxBqAlwmaxhuse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)3 3、改善梁的受力情况改善梁的受力情况改善梁的受力情况改善梁的受力情况D尽可能地将集中载荷用分布载尽可能地将集中载荷用分布载尽可能地将集中载荷用分布载尽可能地将集中载荷用分布载荷来代替。或者增加辅助梁。荷来代替。或者增加辅助梁。荷来代替。或者增加辅助梁。荷来代替。或者增加辅助梁。huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of B
51、eamsDeflection of Beams)4 4、改变支座形式，减少弯矩数值、改变支座形式，减少弯矩数值huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)采用超静定梁：采用超静定梁：采用超静定梁：采用超静定梁：huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams) 简单超静定梁简单超静定梁1.1.基本概念：基本概念：超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言从维持平衡
52、角度而言, ,多余的约束多余的约束超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。2.2.求解方法：求解方法：解除解除多余约束多余约束，建立建立相当系统相当系统比较变形比较变形，列变列变形协调条件形协调条件由由物理关系物理关系建立补充方程建立补充方程利用利用静力平衡条件求其他约束反力静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6目录huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)解解例例 求梁的支反力，梁的抗求梁的
53、支反力，梁的抗弯刚度为弯刚度为EIEI。1 1）判定超静定次数）判定超静定次数2 2）解除多余约束，建立相当）解除多余约束，建立相当系统系统目录3 3）进行变形比较，列出变）进行变形比较，列出变形协调条件形协调条件huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)4 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 所以所以5 5）由整体平衡条件求其他约束）由整体平衡条件求其他约束反力反力 目录huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)例
54、例 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 处铰接，处铰接，A A、C C 两端固定，梁的抗两端固定，梁的抗弯刚度均为弯刚度均为EIEI，F F = 40kN= 40kN，q q = 20kN/m = 20kN/m。画梁的剪力。画梁的剪力图和弯矩图。图和弯矩图。 从从B B 处拆开，使超静定结处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：FBMMA AF FA AwB1 FBMMC CF FC CwB2物理关系物理关系解解目录6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDe
55、flection of Beams)FB FBMMA AF FA AMMC CF FC CwB1wB2代入得补充方程：代入得补充方程：确定确定A A 端约束力端约束力目录huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)FB FBMMA AF FA AMMC CF FC CwB1wB2确定确定C C 端约束力端约束力目录huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学 (Deflection of BeamsDeflection of Beams)MMA AF FA AMMC CF FC CA A、C C 端约束力已求出端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图最后作梁的剪力图和弯矩图目录huse弯曲变形武汉理工大学出版材料力学
