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1、推广推广第九章第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分学多元函数微分学 第九章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的概念多元函数的概念 一、平面点集一、平面点集定义：定义：坐标平面上满足某种条件T 的点的集合，称为平面点集，记为例如例如, ,表示一矩形及其内部所有点的全体，记为又如又如, , 坐标平面坐标平面二、区域二、区域1. 邻域邻域点集称为点 P0 的
2、邻域邻域例如例如, ,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 区域区域(1) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含属于 E的点也含不属则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称
3、P 为 E 的边界点边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 于E的点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . (2) 聚点聚点若对任意给定的 , ,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束 邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 )所有边界点组成的集合称为边界。所有边界点组成的集合称为边界。或者：或者：点P 的任何领域都含有E 中无穷个点D(3) 开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
4、开集连同其边界一起称为闭集； 若集合 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相 开区域连同它的边界一起称为闭区域.连，则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;例如，例如，在平面上开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 整个平面 点集 是开集， 是最大的开区域 , 也是最大的闭区域；但非区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 o 对点集 E , 若存在正数 M , 使一切点 PE 都在以原 点为圆心，M为半径的圆盘内，则称点集E为有界集否则称 E 为无界点集。注：注：内
5、点、边界点、聚点之间的关系内点、边界点、聚点之间的关系内点聚点边界点思考：有没有点集中的所有点都是聚点，但都不是内点？直线或曲线3. n 维空间维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标坐标 .记作即机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个点点, 当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O .的距离距离记作中点 a 的 邻域邻域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定为 与零元 O 的距离为三、多元函数的概念三、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式机动 目录 上页 下页 返回
6、结束 定义定义1. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 二元函数定义域为圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2. 设 n 元函数点 ,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当
7、n =2 时, 记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 , 总存在正数 ,切例例1. 设求证：证证:故总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 例例2. 设求证：证：证：故总有要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于不存在 .例例3. 讨论函数函数机动 目录 上页 下页
8、返回 结束 例例4. 求解解: 因而此函数定义域不包括 x , y 轴则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 二重极限不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3 目录 上页 下页 返回 结束 四四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续, 此时称为间断点 .则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续, 例如例如, 函数在点(0 , 0) 极限不
9、存在, 又如又如, 函数上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 * (4) f (P) 必在D 上一致连续 .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 解解: : 原式例例5. .求例例6. 求函数的连续域.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 区域 邻域
10、 : 区域连通的开集 2. 多元函数概念n 元函数常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 有3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P11 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8P72 题 3; 4机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示解答提示: :P11 题 2. 称为二次齐次函数 .P11 题 4.P11 题 5(3).定义域P11 题 5(5).定义域机动 目录 上页 下页 返回 结束
11、P12 题 8.间断点集P72 题 3.定义域P72 题 4. 令 y= k x ，若令机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 则 可见极限不存在 作业作业P11 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5), (6) 7，9 , 10第二节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 设求解法解法1 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 .设求解法解法2 令即机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.是否存在？解解：所以极限不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 证明在全平面连续.证证:为初等函数 , 故连续.又故函数在全平面连续 .由夹逼准则得机动 目录 上页 下页 返回 结束
