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1、第三节第三节 Lesbesgue Lesbesgue积分与积分与RiemannRiemann积分的关系积分的关系第五章 积分论yiyi-1LesbesgueLesbesgue积分积分 对值域作分划xi-1 xiRiemannRiemann积分积分 对定义域作分划本节主要内容:l若f(x) Riemann可积，则f(x)在a,b上Lebesgue可积，且积分值相等lf(x) Riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测度集DarbouxDarboux上、下积分上、下积分对a,b作分划序列令（对每个i及n）DarbouxDarboux上积分上积分DarbouxDarboux下积分下积分
2、xi-1 xi引理：设引理：设f(x)f(x)在在a,ba,b上为有界函数，记上为有界函数，记(x)(x)为为a,ba,b上的振幅函数，则上的振幅函数，则故(x)为a,b上的可测函数，从而f(x) L可积。证明：由于f(x)在a,b上为有界函数，故(x)为a,b上有界函数，又对任意实数t， 为闭集，xi-1 xi作函数列对 a,b作分划序列xi-1 xi引理的证明引理的证明1.Riemann1.Riemann可积的可积的内在内在刻画刻画定理：有界函数f(x)在a,b上Riemann可积的充要条件是f(x)在a,b上的不连续点全体为零测度集教材p-104有另一种证明证明：若f(x) Rieman
3、n可积,则f(x) 的Darboux上、下积分相等，上述过程反之也成立。从而f(x)在a,b上的不连续点全体为零测度集，引理：设f(x) 是E上有限实函数，则f(x)在x0E处连续的充要条件是f(x)在x0处的振幅为0证明参照教材p-1022.Lesbesgue2.Lesbesgue积分与积分与RiemannRiemann积分的关系积分的关系( (LebesgueLebesgue积分是对积分是对RiemannRiemann积分的推广积分的推广) ) 定理：若f(x)在a,b上Riemann可积，则f(x)在a,b上Lebesgue可积，且证明： f(x)在a,b上Riemann可积，故f(x)
4、在a,b上几乎处处连续，从而f(x)在a,b上有界可测，并且Lebesgue可积，LesbesgueLesbesgue积分与积分与RiemannRiemann积分的关系的证明积分的关系的证明其次， 对a,b的任一分划根据Lesbesgue积分的可加性，我们有LesbesgueLesbesgue积分与积分与RiemannRiemann积分的关系的证明积分的关系的证明对上式左、右端关于一切分划各取上、下确界，即得xi-1 xi例在有理点处不连续，在无理点处连续（参见：数学分析）lRiemann函数Riemann可积处处不连续lDirichlet函数不Riemann可积0 1注：注：Lebesgue
5、Lebesgue积分与广义积分与广义RiemannRiemann积分无必然联系积分无必然联系例：f(x)有无穷积分, 但不Lebesgue可积.注：注：LebesgueLebesgue积分与广义积分与广义RiemannRiemann积分无必然联系积分无必然联系例： f(x)有暇积分但不Lebesgue可积1/5 1/3 1例例 设设f(x)f(x)是是a,ba,b上上LebesgueLebesgue可积函数，如果对任可积函数，如果对任意实数意实数c(0 c 1)c(0 c 1)总有总有那么那么f(x)=0 a.e.f(x)=0 a.e.于于0,10,1教材p122有另一种证明写法：证明中用到了
6、积分的绝对连续性从而有f(x)在F上几乎处处为0所以f(x)=0 a.e.于0,10,1证明（续）证明（续）第四节第四节 Lesbesgue Lesbesgue积分的几何意义与积分的几何意义与FubiniFubini定理定理第五章 积分论主讲：胡努春重积分与累次积分重积分与累次积分重积分重积分累次积分累次积分f(x,y)连续1.1.截口定理截口定理xEx证明参照教材p-136分六种情况讨论：区间，开集， 型，零集，有界可测集，一般可测集定理1 设 是可测集，则 (1)对Rp中几乎所有的x，Ex 是Rq中的可测集(2)m(Ex)作为x的函数，它在Rp上几乎处处(3)有定义，且是可测函数；2.Le
7、besgue2.Lebesgue积分的几何意义积分的几何意义定理2：设A,B分别是Rp和Rq中的可测集，则AB是Rp+q中的可测集，且m(A B) = mA mB证明参照教材p-139A B2.Lebesgue2.Lebesgue积分的几何意义积分的几何意义证明参照教材p-139则f(x)是E上可测函数当且仅当G(E;f)=(x,y)| xE，0y f(x)是Rn+1中的可测集;并且有定理3 设f(x)为可测集 上的非负函数， f(x)3.Fubini3.Fubini定理定理证明参照教材p-140(1)设 f(p)=f(x,y)在 上可积，则对几乎所有的x A, f(x,y)作为y的函数在B上可积， 作为x的函数在A上可积,且先先重积分重积分后后累次积分累次积分3.Fubini3.Fubini定理定理证明参照教材p-140(2)设f(x)是B上的可测函数， 存在（即|f(x,y)|作为y的函数在B上可积，且 作为x的函数在A上可积），则 f(p)在A B可积 ，且先先累次积分累次积分后后重积分重积分
