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1、第二章平面向量第二章平面向量2.4平面向量的数量积平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义1掌握平面向量的数量积及其几何意义(重点)2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律(重点)3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件(重点、难点)1向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为定义a与b的数量积(或内积)是数量_记法ab_|a|b|cos |a|b|cos (2)零向量与任意向量的数量积规定：_2向量的数量积的几何意义(1)投影的概念向量b在a的方向上的投影为_.向
2、量a在b的方向上的投影为_.(2)数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与_的乘积零向量与任意向量的数量积为零|b|cos |a|cos b在a的方向上的投影|b|cos ab0 |a|b| |a|b| (ab) a(b) acbc 1对数量积的理解(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或180时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a
3、，b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作ab，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“”代替，写成ab.已知|a|3，|b|6，当：ab，ab，a与b的夹角是60时，分别求ab.思路点拨：解答本题可充分利用ab|a|b|cos ，只要确定好夹角的值即可解决平面向量数量积的基本运算求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该
4、向量上的投影，可利用数量积的几何意义求ab.1已知|a|4，|b|5，且向量a与b的夹角为60，求(2a3b)(3a2b)已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)|3a4b|.与向量的模有关的问题求向量模的常见思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路(2)常用公式(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2；|ab|2(ab)2a22abb2.【互动探究】本例中若将“a与b的夹角为120”改为“ab1”，其他条件不变，则|a2b|的值又是什么？已知|a|3，|b|2，向量a，b的夹角为60，c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直向量的夹角与垂直问题 求向量夹角的一般步骤易错误区系列(十五)对向量夹角概念理解模糊致误
