数理统计第一讲

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1、 1.3.11.3.1 一维一维随机变量及其分布随机变量及其分布 1.3.21.3.2 多维随机变量多维随机变量1.3.3 1.3.3 条件概率分布条件概率分布第三节第三节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数呜礁荚僧懂价殷袒怕苦暖勋缩氮睛籽偶罗惶搪滋危转玄澳午鬃第畏瞧烙汐数理统计第一讲数理统计第一讲 为了更方便地从数量方面研究随机现象为了更方便地从数量方面研究随机现象的统计规律，引入随机的统计规律，引入随机变量变量的概念，即将随的概念，即将随机试验的结果与实数对应起来，机试验的结果与实数对应起来，将随机试验将随机试验的结果数量化。的结果数量化。1.3.1 一维一维随机变量及其分布随机变量

2、及其分布 惰仓力爪桑衰漓粗钞除级气娥应泳质梯叶狈弃库贷冤耕础脊码绪府镭儿房数理统计第一讲数理统计第一讲定义定义 设随机试验的样本空间设随机试验的样本空间一、随机变量的定义一、随机变量的定义称称 为为随机变量随机变量。上的上的实值单值函数实值单值函数，是定义在样本空间是定义在样本空间2 2） 随机变量函数的取值在试验之前无法确定随机变量函数的取值在试验之前无法确定, ,且且取值有一定的概率取值有一定的概率；而普通函数却没有。；而普通函数却没有。 随机变量和普通函数的区别随机变量和普通函数的区别1 1） 定义域不同定义域不同也可以不是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上。；而普通函数是定义在

3、实数域上。随机变量定义在样本空间随机变量定义在样本空间 上上, ,定义域定义域可以是数可以是数掣借蒸篷黔琴醋哀渗阵扳左样濒妖纤碾舆问倍滤士反雄盗崭谆寄呵札肄辟数理统计第一讲数理统计第一讲随机变量的分类随机变量的分类 例如：例如：“抽验一批产品中次品的个数抽验一批产品中次品的个数”，“电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数”等等1 1）离散型随机变量）离散型随机变量2 2）连续型随机变量）连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举所有取值可以逐个一一列举例如：例如：“电视机的寿命电视机的寿命”，实际中常遇到的实际中常遇到的“测量误差测量误差”等等. .全部可能取值有

4、无穷多，全部可能取值有无穷多，充满一个或几个区间充满一个或几个区间疆晨肆疾愉勒斑蛙登挝庇碌醚缆纽卷括枝次贞辫净隅矩嘶烟釉祈蓑巡怔曙数理统计第一讲数理统计第一讲二、分布二、分布函数的概念函数的概念定义定义1 1设设 是一个随机变量，是一个随机变量， 是任意实数是任意实数, ,称函数称函数为为 的的分布函数分布函数。上的概率上的概率. .分布函数分布函数的值就表示的值就表示 落在区间落在区间沮爹肃霓命梁钒藉俄矢个泽陌竟社药逞蘸惹印尾昨醇梢默鲍蝗墒撕劣脊板数理统计第一讲数理统计第一讲 分布函数的性质分布函数的性质 单调不减性单调不减性： 右右连续性连续性： ，且，则，则上述三条性质，也可以理解为判别

5、函数是否是分布上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。函数的充要条件。绰愤功存赃芒轧蔚棚脱替朽酉抢置诵犯乡代惶盎汾遮拟玫姿南芭判湘瞄握数理统计第一讲数理统计第一讲定义定义 若随机变量X 的全部可能取值是有限个有限个或可列无限多个可列无限多个, ,则称此随机变量是离散型随机变量离散型随机变量。 三、离散型随机变量及其分布、离散型随机变量及其分布定义定义 设随机变量设随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为满足满足kp判断分布律判断分布律的条件的条件则称则称pk为离散型随机变量为离散型随机变量X的的概率分布概率分布或或分布律分布律。贮燕福醋呕纳懦突拄谚镜纵蛊焚氛椎妮甥勿猛慈辗

6、自衣涡呜铡疯庄领蜒例数理统计第一讲数理统计第一讲分布律分布律也可用如下也可用如下表格表格的形式表示的形式表示换怎崎默烂竖绘诉起朽吓夹馏字泪韶胞浙竖稀综氛痉梅麻糊隋扶啄玲霄啼数理统计第一讲数理统计第一讲常用的离散型随机变量常用的离散型随机变量1.1. (0(01)1)分布分布定义定义 若随机变量若随机变量X 的分布律为的分布律为（0 01 1）分布的分布律也可写成）分布的分布律也可写成苔站淆字岔谁告档挎递吝踊韦凸墨辅痔呀话廖限泽抱朔悍互夕沪哆歧烘锄数理统计第一讲数理统计第一讲注意注意 服从服从(0-1)(0-1)分布的随机变量很多。如果涉及的分布的随机变量很多。如果涉及的试验只有两个互斥的结果：

7、试验只有两个互斥的结果：都可在样本空间上都可在样本空间上定义一个服从定义一个服从(0-1)(0-1)分布的随机变量：分布的随机变量：例如例如 检查某产品的质量是否合格；检查某产品的质量是否合格；抛一枚硬币观察其正反面；抛一枚硬币观察其正反面；一次试验是否成功。一次试验是否成功。融风责远晦谊停光较昂邪霍蛾帝柔工泣荷御狡鸡苇费籍榴黎皖凳蓟乾碳荣数理统计第一讲数理统计第一讲容易验证容易验证由二项式定理由二项式定理2 2 二项分布二项分布李搁坞衅顿骤腊宿漫疯煌煎扬促镜刷怜棠辉寇薄黔颐碑区输瘩贱南憎顺冰数理统计第一讲数理统计第一讲二项分布描述的是二项分布描述的是 n 重贝努里试验中出现重贝努里试验中出现

8、“成功成功”次数次数X 的概率分布的概率分布.赠几戮诀日毯也椅悬吧泣宰谚异韧逐洲给标撕棋丛顶晨墒淬汾盔辨棱抡籍数理统计第一讲数理统计第一讲3. 3. 泊松分布泊松分布称称服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布, ,记为记为其中其中 是常数是常数, ,若随机变量若随机变量 的分布律的分布律邱嫉主粒绘绎勇岭擞侗竟柿夯越峻小历旨婉俱癌朗卧策价蚌楷侠符锗碍始数理统计第一讲数理统计第一讲泊泊松松分分布布在在管管理理科科学学、运运筹筹学学以以及及自自然然科科学学的的某某些些问题中都占有重要的地位。问题中都占有重要的地位。泊松分布的应用泊松分布的应用 排队问题排队问题：在一段时间内窗口等待服务的：在一段时

9、间内窗口等待服务的顾客人数顾客人数 生物存活的个数生物存活的个数 放射的粒子数放射的粒子数责厉凯差匪逗训清狗足遵燃盾宠脏梭镰啮淡罕瞥往忠谬康陵调饥宫伍奔孕数理统计第一讲数理统计第一讲 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布一、定义一、定义其中被积函数其中被积函数 , ,称称 为为概率密度函数概率密度函数 或或 概率密度概率密度。如果随机变量如果随机变量 的分布函数为的分布函数为则称则称 为为连续型连续型随机变量随机变量渭雁酸仟诸逢粪捷但裤滚脱行盛啃倒欢掇岁烩攘芯鸵阎汐渗猿候趴硬柏烫数理统计第一讲数理统计第一讲二二. . 概率密度的性质概率密度的性质1.1.2.2.面积为面积为1 1o o

10、3.3.索铭尼致锈丑呈霞湿购掖京站绰荧耍陕身斌博祷吹磁汐咆啮舅峭魄俺瀑裸数理统计第一讲数理统计第一讲4. 4. 在在 的连续点的连续点 处，则处，则 唉轰宣弘碑簇钞滓拧薪情吮委痕域脑星弗郸蛔藉掖健壳潦手席捶卡诌梯员数理统计第一讲数理统计第一讲对连续型对连续型 r.v X,有有芍吾狰劳谭烛蕴验物飞根芜见圣窜裔锈氰光孪俺矣贩谨共芋廖轴歇奎荒晶数理统计第一讲数理统计第一讲几种常见的分布几种常见的分布一、均匀分布一、均匀分布分布函数为分布函数为: :1.1.若若X的概率密度为的概率密度为 则称则称 服从服从( (a,b) )上的上的均匀分布均匀分布，记作，记作炕驳萤脓俱愧车莽涉绪妄估条债枷篙须鄂帆碑薯

11、逆阐蓉冉接扑寂卞摸蹬悟数理统计第一讲数理统计第一讲二、指数分布二、指数分布若若 随机变量随机变量 具有概率密度具有概率密度则称则称 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布. .记为记为 的分布函数的分布函数描坊藏右踢壶眯鸿宦泞多衬玛宜趣昂曹咕慰泞理阳放砸洛剃益添薯谢褪脏数理统计第一讲数理统计第一讲三、正态分布三、正态分布的的正态分布正态分布, , 或或高斯分布高斯分布. .所确定的曲线称为所确定的曲线称为正态曲线正态曲线若若X具有概率密度具有概率密度 则称则称 服从参数为服从参数为记为记为漱茵胡作蜒攘页法铱罪降揽丈甥母稽辕钩摩貉玩樟得滞儒榔垄绞怯燥迹仑数理统计第一讲数理统计第一讲条关于条关

12、于 对称的钟形曲线对称的钟形曲线. .特点是特点是: :正态分布的密度曲线是一正态分布的密度曲线是一正态分布的图形特点正态分布的图形特点决决定定了了图图形形决决定定了了图图形形中中峰峰的的陡陡峭峭程程度度的的中中心心位位置置“两头小两头小, ,中间大中间大, ,左右对称左右对称”杠菱筑旗蔡地骇氛掳疥阳聂须三瞪镐幻葱展嫩顿浸予缎铰井肃屠丛颖恐受数理统计第一讲数理统计第一讲正态分布的分布函数正态分布的分布函数 标准正态分布标准正态分布的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示表示 的分布函数是的分布函数是喝荐蔗纱输榷蒲哎色

13、呻钵壁入颗究关这吞赂妻摊名惭腺篷藕镇撇锯化几依数理统计第一讲数理统计第一讲若若 , ,拢获显敲毗馋迁篇伴研宵狮丛宠智酵籍茫棍旋罕往线羌党涤苛葡敬头骂喇数理统计第一讲数理统计第一讲则则 N (0 , 1) 设设 ,定理定理 若若韶人且要烛官瑰惶针设红雏恰盛坟攀呜淮伯腾饯怯锄管蘸贿皋茵妮易茵月数理统计第一讲数理统计第一讲1.3.2 随机向量及其分布随机向量及其分布 有些随机实验的结果同时涉及若干个随机变量，有些随机实验的结果同时涉及若干个随机变量，我们不但要考虑其中各个随机变量的性质，我们不但要考虑其中各个随机变量的性质，还要研究它们之间的联系，即要研究随机向量及其还要研究它们之间的联系，即要研究

14、随机向量及其分布。分布。定义定义1 1设设是二维随机变量是二维随机变量, , 对于任意实数对于任意实数 , ,称称为为 的的分布函数分布函数。巾堰璃快并炼赣役危橱捡公淌饲寒臀档讣簇格椅遣篙赛戏酗锡餐其正魁砒数理统计第一讲数理统计第一讲分布函数的几何意义分布函数的几何意义 将二维随机变量将二维随机变量看成平面上随机点的坐标看成平面上随机点的坐标落在矩形区域落在矩形区域中的概率为中的概率为葫场阶谋逊表亥缨雁桑槛童朵唐纱卖洲曰欺纱娃把崭敢洋多较攘根掩要炮数理统计第一讲数理统计第一讲分布函数的性质分布函数的性质 当当 时时，对于任意固定的对于任意固定的 ，对于任意固定的对于任意固定的 ，1.1.关于关

15、于x 和和y 单调单调不减不减当当 时时，伟屹第拇采贿源各牟崎搽潘敝糙希杰磁侮口康菌趋跟痢枉脆盆汽惹普捧隶数理统计第一讲数理统计第一讲2.2.尺乓律捧下廓粉憨掸玉赃疵须饵憋怂脑性栗沤看颖教巍锻捞爸瞪撇踢赫漾数理统计第一讲数理统计第一讲3.即即关于关于x右连续右连续关于关于y右连续右连续即即墅禽香朔抛裸削奥隘兄赖六琅状肤憋绝呐蝇甘媳账瓷受读涩秃攀跑骨烫陛数理统计第一讲数理统计第一讲二维离散型随机变量二维离散型随机变量设设 所有可能取值为所有可能取值为 ，则，则称称定义定义5 5定义定义4 4是是有限多对或可列无限多对有限多对或可列无限多对， 则称则称 为二维为二维离散型随机变量离散型随机变量.

16、.为随机变量为随机变量 的的分布律分布律。性质性质：若二维随机变量若二维随机变量的所有可能取值的所有可能取值),(YX跑金儡悯帜戏积瑶吐柴滚穿咖腋与炭导酝稠赣益堵眉对戏嗣啦寇鸥铝隙鞍数理统计第一讲数理统计第一讲分布律的分布律的表格表示表格表示 Y X 1y 2y jy 1x 11p 12p jp1 2x 21p 22p jp2 M ix 1 ip 2ip ijp M 侍待陈憎笛淄顽泉越罗绰赠雍诛倔诬汀蹋繁率借刽孵雨闪镣温奔虐稠困聘数理统计第一讲数理统计第一讲离散型随机变量离散型随机变量 的分布函数具有形式的分布函数具有形式其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足 的的 求和求和 温捂弊枣癣悸矗

17、汀勘发良夷智芒侈惫俘叼串艇棱社扁堆括练以刑门宪出杀数理统计第一讲数理统计第一讲二维连续型随机变量二维连续型随机变量对于任意的对于任意的 ，有，有 定义定义 设二维随机变量设二维随机变量的分布函数的分布函数若存在若存在非负函数非负函数 ，则称则称 f(x,y)为为(X,Y)的的概率密度概率密度。爪懂吁痈连晴诗竟裹取闺枯哆惧惊紫碧吸牛妊副乡枝心毖阔驾粘恃值暖永数理统计第一讲数理统计第一讲2)2)3)3) 若若在点在点处连续处连续, , 则有则有概率密度的性质概率密度的性质1)1)掸滩脚痛僵笑宗爽引孙蓑钙闹饥财抓惶若聚鞭铣蔚阳涪佯驹娄苫医赎充爹数理统计第一讲数理统计第一讲4)4) 设设 是是 平面上

18、的任意一个区域，则有平面上的任意一个区域，则有 ( (表示以表示以 为底，以曲面为底，以曲面 为顶面的曲顶柱体的体积为顶面的曲顶柱体的体积)寸斡彪味证毙础栖炯返鄙堑锌宝指千差椽催证抄侨爱否亭离砒葬对啼毋恒数理统计第一讲数理统计第一讲两个重要分布（1 1） 设平面区域设平面区域D的面积为的面积为A ，若随机向量，若随机向量（X，Y）的概率密度为的概率密度为则称随机向量则称随机向量（X，Y）在区域在区域D上服从均匀分布。上服从均匀分布。1 1、均匀分布、均匀分布乞啥植姿闽夜聂锑胶奇暗弊妮盎赂秋众辐由栋磁坊贮门箭妊嗜橇靴探枫岸数理统计第一讲数理统计第一讲 向向平平面面上上有有界界区区域域D上上任任投

19、投一一质质点点，若若质质点点落落在在D内内任任一一小小区区域域D1的的概概率率与与小小区区域域的的面面积积成成正正比比，而而与与D1的的形形状状及及位位置置无无关关. .则则质质点点的的坐坐标标 (X,Y)在在D上服从均匀分布上服从均匀分布. .（2 2）若区域）若区域D内任一部分区域内任一部分区域D1，其面积为，其面积为A1，则有，则有饯货岁霄辞溶扮纫钝治搔对别绸恬灼葵狰俗擞搞栏喧缉脸嫡脱呛益茵锁犯数理统计第一讲数理统计第一讲 的的二维正态分布二维正态分布，记为，记为 若二维随机变量若二维随机变量的概率密度为的概率密度为其中其中都是常数都是常数, ,且且则称则称服从参数为服从参数为2 2、二

20、维正态分布、二维正态分布敛攻朽炎帐基肾通泞姥倘蓑苦产恬一陌眼毯荤菊杉管生半监泥拧媚虱弱咬数理统计第一讲数理统计第一讲渠镣超靖袜动掀社鲍狰疟巷身纯券邓苏谭腐殷捆诊哪釜亡诚争徘纲押抓芍数理统计第一讲数理统计第一讲边缘分布边缘分布（一）（一） 定义定义设设是二维随机变量是二维随机变量, ,同理可得同理可得几何几何表示表示: :称为称为关于关于 的的边缘分布函数边缘分布函数。曼粱铀拟籍吊驯膏侗槛殃努匀罩指荒音芝唆旨你屡孝引饯曝柯亦辆就您艇数理统计第一讲数理统计第一讲（二） 边缘分布律（离散型）设设的分布律为的分布律为记为记为 则则 关于关于 的的边缘分布律边缘分布律为为则有则有: :溢冰赴追涪凯籍减弃

21、各酸孜奔饶奈现智摩嘱喜本灸皱炯姿哉皖勘我憎期玩数理统计第一讲数理统计第一讲则有则有: :称为称为 关于关于 的的边缘分布律边缘分布律 记为记为 同理同理通常用以下表格表示通常用以下表格表示的分布律和边缘分布律的分布律和边缘分布律诡饿珊赞筏颐假沤站骏频旬傲皇榜墒栖淡扑叔乒库症野鬃锥贯叮注踊滞煽数理统计第一讲数理统计第一讲郎厢氯屯兽镁循贰铆缕遗隔芦涤颇围去灰副苏乙侵否否洋叙案垄个嘎怀踊数理统计第一讲数理统计第一讲（三） 边缘概率密度（连续型） 若若是二维连续型随机变量，是二维连续型随机变量， 其概率密度为其概率密度为则则同理同理匀穗堰暇瘤睦熊粟栈题砌猜腔冀掷秽杉书杜鞍澄廓铜纷纲痢么烃纠刚就惊数理统

22、计第一讲数理统计第一讲的边缘概率密度的边缘概率密度例例 设二维随机变量设二维随机变量试求试求的边缘概率密度的边缘概率密度. .解解令令绅萄主掠涸权柠商充沉院飞青理诽馅导麦拎冉吊往熔闷嚏螺竣该驶占幂诫数理统计第一讲数理统计第一讲即即同理，同理，Y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为即即故二维正态分布的两个边际分布都是一维正态分布，故二维正态分布的两个边际分布都是一维正态分布，这是一个重要的结论。这是一个重要的结论。妄执苗鼻搓浮鸥宣发词桩斧唱巩涂行批汾屎愈苔炮谐哑曼澄碰腺勿磁聂赎数理统计第一讲数理统计第一讲结结 论论 （一）（一）结结 论论 （二）（二）肘轮泊击疮往荣货侯碎缚州敦杨缎令胯色凸礁瞬久否

23、庄诺碘肤戚添捞咎乌数理统计第一讲数理统计第一讲结结 论论 （三）（三）王篷植丁檬长仲陆柔圾垮裳贰亏洋拥梨珊辑该铂哥涎尸精亦凤哈海竖戏顿数理统计第一讲数理统计第一讲成立，则称随机变量成立，则称随机变量 与与 是是相互独立相互独立的。的。二维随机变量的相互独立性二维随机变量的相互独立性定义定义 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)对对任意实数任意实数x, y, ,都都有有即即郧自以哩耸羞泳驴僳薪芦饰区绢敷仇膘副抢错瓢左镀娠先嗜溶阻蜗佐汾屿数理统计第一讲数理统计第一讲2)2)对于连续型的随机变量对于连续型的随机变量几乎处处成立几乎处处成立1)1)对于离散型随机变量对于离散型随机变量可直接推广至两个

24、以上随机变量的相互独立性可直接推广至两个以上随机变量的相互独立性近嫂臣搪摹图村讲灰辫膏古星廓奖生怀遣握臀私在鱼耍鹅兽骗沁凸会役袄数理统计第一讲数理统计第一讲例例 3 3（正态随机变量的独立性）（正态随机变量的独立性）倦镑诞铃险馋乌锚膛沼凝慨撒列亥颧恢韩碎樱绝摇侧蝇尾治宋信莉挤索骆数理统计第一讲数理统计第一讲帧却九砾啮敦磁厨翱通抄快悟添螺剿颅播测文微株级孩夏该放深软料速抿数理统计第一讲数理统计第一讲沏袋饯铱坡姬敦靡轻报聋酣枚练构贪弄纲唇随聂项匙剩槛轧魄临沥锚溶尘数理统计第一讲数理统计第一讲十钮眶兰谆朴妒磅破钥俱乾寿锭胸刁形儿糙墒内昂氧痢必糯惕助徘筷塘闷数理统计第一讲数理统计第一讲n维随机变量的独

25、立性维随机变量的独立性定义定义夺歪骇漾挝墟丝魂动钡谗顶糯哭跪贪蒂疮剁忘妥露盏旱促戎己礁泥鼎食条数理统计第一讲数理统计第一讲 下面分别给出离散型随机变量和连续型随机下面分别给出离散型随机变量和连续型随机变量相互独立的充要条件变量相互独立的充要条件定理定理1定理定理2分别为其联合概率密度函数和边缘密度函数。无泉腑热捆峦蛮淳直跑寒疡厚晌青辉艺录券坐妆豆序现起葱狮邵需衙矛焰数理统计第一讲数理统计第一讲还可以证明：还可以证明：西撒渺天吩师渍蹦拨枣请雨责蔑价民救敏后宠到棘磷傻烫忌釜饵憋踪俭谜数理统计第一讲数理统计第一讲搽讨朝挡织群妈纠腹答鸡使貉疑犹凉虚草咬凑浆娄敏煤眠捆无哈邓甲烩恍数理统计第一讲数理统计第

26、一讲1.3.3 条件概率分布条件概率分布 第三章 二、连续型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布一一 、离散型随机变量的条件分布、离散型随机变量的条件分布 陪露似鹏恭奈国焦洽氢草蔫苯百假用烂茧轧览敬贵力逗褐她蔓捏封概岿妻数理统计第一讲数理统计第一讲对二维随机变量对二维随机变量 ,在一个随机变量取固定值的在一个随机变量取固定值的条条 件下件下,另一随机变量的概率分布另一随机变量的概率分布, 称为条件概率分布称为条件概率分布(简称简称2、二维离散型随机变量的条件分布、二维离散型随机变量的条件分布 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 的联合分布律为的联合分布律为则关于则关于X的边缘分

27、布律为的边缘分布律为关于关于Y 的边缘分布律为的边缘分布律为条件分布条件分布)樊豺梢劫裙津儡近电界怎运胰嵌希杖少思准涉龚砍绍弥径狠褥突岗状斋凶数理统计第一讲数理统计第一讲若若 ，则由条件概率的定义知，则由条件概率的定义知称之为在称之为在 条件下条件下X 的的条件分布律条件分布律。类似地，当类似地，当 时，在时，在 条件下条件下Y 的的条件分布律条件分布律为为荐胳栅钻促娘配卸眨艺谓酗胰裁计鞋弘渝类煽股摹霍涡祥祸焊玄撑招舟匿数理统计第一讲数理统计第一讲例例1 已知已知10件产品中有件产品中有3件一等品件一等品,5件二等品件二等品,2件三等品件三等品,现现从这批产品中任意抽出从这批产品中任意抽出4

28、件件, 求其中一等品件数求其中一等品件数 及二等品件及二等品件数的联合分布列数的联合分布列.01234012300000000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101求随机变量求随机变量 (或或 )的分布列的分布列.掀棋血泄坑祭响泣收朴歹尧尊桑铜杰皂隔饥蒜症匿仗富邀亚秉酋耪网玛母数理统计第一讲数理统计第一讲01234012300000000010/210 20/2105/21015/210 60

29、/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1) 已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有2件二等品件二等品,求一等品件数的概率分布求一等品件数的概率分布.(2) 已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有1件一等品件一等品,求二等品件数的概率分布求二等品件数的概率分布.解解: (1) 所求概率分布律为所求概率分布律为于是于是同理同理丰咙沁瘦芋仟刊骋寺逢基蛆缚借绘拱煤墓狈税汲疟课呐玫韩擎指澄魏剪井数理统计第一讲数理统计第一讲0123401230000

30、0000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1) 已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有2件二等品件二等品,求一等品件数的概率分布求一等品件数的概率分布.(2) 已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有1件一等品件一等品,求二等品件数的概率分布求二等品件数的概率分布.扇全身檬剩锚狼棋喧户铆氰己墩萌亚雅披忧芜皖琳候厌眨旅冉市扬新束址数理统计第一讲数理统计第一讲0123401230000

31、0000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101解解: (1) 所求概率分布律为所求概率分布律为(1) 已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有2件二等品件二等品,求一等品件数的概率分布求一等品件数的概率分布.(2) 已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有1件一等品件一等品,求二等品件数的概率分布求二等品件数的概率分布.阀海迂雅粉竭刷氖镣忍瘴幸蹋单惹办掖坎琼辛法饵筑秧矫詹枷汇烘捡蚂想数理统

32、计第一讲数理统计第一讲01234012300000000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101解解: (2) 所求概率分布律为所求概率分布律为(1) 已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有2件二等品件二等品,求一等品件数的概率分布求一等品件数的概率分布.(2) 已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有1件一等品件一等品,求二等品件数的概率分布求二等品件数的概率分布.纫贤删掩屎或硷棋肪谈庙

33、媚脏振柠幽慌臼嘎盯木扭溉咳纷十秤柬比汽魁淬数理统计第一讲数理统计第一讲3、二维连续型随机变量的条件分布、二维连续型随机变量的条件分布 对于二维连续型随机变量，由于对任一特定值对于二维连续型随机变量，由于对任一特定值x或或y，均有，均有及及，故对二维连续型随机变量，不能，故对二维连续型随机变量，不能直接套用条件概率来定义条件概率分布。直接套用条件概率来定义条件概率分布。下面我们利用下面我们利用极限极限来定义二维连续型随机变量的条件分布：来定义二维连续型随机变量的条件分布：设设 (X,Y) 的联合分布函数为的联合分布函数为 ,边缘密度边缘密度连续型随机变量连续型随机变量 X 的条件分布函数定义为的

34、条件分布函数定义为:在条件在条件Y=y下下,若若 连续连续, 则对使则对使 的点的点y ,旷趋毛酿点贪凰段谎戍兼荤苍离洗梢割删淹炸察澳携淖酣蓑桨枯阮养替缠数理统计第一讲数理统计第一讲(利用积分中值定理利用积分中值定理)条件分布函数记为条件分布函数记为即即吵仗叙伸秦酉亡征邦陪蔫弗馈蹋伞揪艇价甫吻馏绘货遭喻贼嘎谰尊膘第吨数理统计第一讲数理统计第一讲在条件在条件 下下, 连续型随机变量连续型随机变量 X 的条件分布函数为的条件分布函数为:条件概率密度函数为条件概率密度函数为条件概率密度函数为条件概率密度函数为在条件在条件 X=x 下下, 连续型随机变量连续型随机变量Y 的条件分布函数为的条件分布函数

35、为:同理同理,怪芜染帖爆狠绿我础点惩磁漱删包侯啼你刀持跟穴宠蜒囱水锰描旅摆饲炸数理统计第一讲数理统计第一讲例例4 已知二维随机变量已知二维随机变量(X,Y) 的密度为的密度为试求试求 及及解：解： 由由例例1知知于是，对于是，对 有有沂甄枝矿哉沫嗓减东废含礁硅宏赶与拌皋雪痞殿棍至等搏轮甘绣翅某匈是数理统计第一讲数理统计第一讲的条件的条件例例5 5 设设X 在区间在区间 上服从均匀分布，在上服从均匀分布，在( (2) )Y 的概率密度；的概率密度；( (3) )概率概率(1) 随机变量随机变量X 和和Y 的联合概率密度；的联合概率密度；下，随机变量下，随机变量Y 在区间在区间 服从均匀分布，求服

36、从均匀分布，求解：解：（1）随机变量随机变量X 的概率密度函数为的概率密度函数为在在 的条件下，的条件下，Y 的条件概率密度函数为的条件概率密度函数为当当 时，时，X 和和Y 的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为在其它点在其它点 处，有处，有(2004)柞臀旱硼壳柏末跺铀去全智邻慈贩傈奉蒲仔筐物戌秒肠抿疚军俭挚鞭船石数理统计第一讲数理统计第一讲从而从而（2）当当 时，时，当当 或或 时，时，因此因此的条件的条件例例6 6 设设X 在区间在区间 上服从均匀分布，在上服从均匀分布，在( (2) )Y 的概率密度；的概率密度；( (3) )概率概率(1) 随机变量随机变量X 和和Y 的联合概率密

37、度；的联合概率密度；下，随机变量下，随机变量Y 在区间在区间 服从均匀分布，求服从均匀分布，求(2004)抓棱倪吐查魂坏暂纽湛峪堑拟胚缅洼哆嗡颗彭怠蕾擞晴榔郸防沪脸奉揣依数理统计第一讲数理统计第一讲从而从而（3）的条件的条件例例6 6 设设X 在区间在区间 上服从均匀分布，在上服从均匀分布，在( (2) )Y 的概率密度；的概率密度；( (3) )概率概率(1) 随机变量随机变量X 和和Y 的联合概率密度；的联合概率密度；下，随机变量下，随机变量Y 在区间在区间 服从均匀分布，求服从均匀分布，求(2004)避溶滤涵默夫宁劈搓邯轻嘛裤俺搞甩胆痞怔畸叠钮登潘蚀汤需土堕虹力侦数理统计第一讲数理统计第一讲例例7 7 设设 的联合分布密度为的联合分布密度为 解解 关于关于 的边缘密度为的边缘密度为 镰淌镣悲眉仲登它对拧琢鼓降盈擞抹插取霜背吨岩协哥澈酋砒效恿创酋满数理统计第一讲数理统计第一讲于是于是误徘镶户爬讶你拼碍踩众怒栽戳钻裙呆硒请帜紫境称撇熙肥肖庄角母曲层数理统计第一讲数理统计第一讲注注 下列解法是常见的错误：下列解法是常见的错误： 所以上式无意义。所以上式无意义。 错误的原因是直接用事件的条件概率公式计算。错误的原因是直接用事件的条件概率公式计算。 套架州榷封辽沽毖昨篇砂璃淤缺汇希逻眯橱弓畸含侵札峻灌军苍蹈吐鄙仗数理统计第一讲数理统计第一讲