《现代数学概论2》由会员分享,可在线阅读,更多相关《现代数学概论2(26页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、现代数学概代数学概论-2-24.4 线性空间 许多数学对象。例如几何向量,同型的矩阵,实函数等等,都能相加以及用数相乘,而且满足平常的的计算规则。这种对象通常称为向量。 一.定义与例子 定义定义1 1:令F是一个数域(R、Q、C)。F中的元素用小写字母a,b,c表示。令V是一个非空集合。V中元素用小写希腊字母 来表示。我们把V中的元素叫做向量而把F中的元素叫做纯量。如果下列条件被满足,就称V是F上的一个向量空间: (1) 在V中定义了一个加法,对于V中任意的两个向量 有V中一个唯一确定的向量与之对应,这个向量叫做 (2)有一个“纯量乘法”对于F中每一个数 和V中每一个向量有V中唯一确定的向量与
2、它们对应。这个向量叫做 (3)向量的加法与纯量乘法满足下列算律: 1) 2) 3)在V中存在一个零向量,记作0。对于V中每一个向量 4)对于V中每一向量 ,在V中存在一个向量 ,称为的负向量,使得 5) 6) 7) 8) 则称V为关于所给(+,x)的F上的线性空间。 定义2:由一个线性空间V到另一个线性空间的函数F称为线性的,如果对于V中所有向量 和数 均有 定义3:线性空间V的子集U称为线性子空间,如果对于 当U是由V有限个固定向量的所有线性组合构成时,我们就说U是有限生成的,这些向量称为生成元。记为 二.像与校定理 三.不变子空间,特征向量,特征值,谱 很显然,所有的 特征向量构成一个线性空间,称它为特征子空间其维数称为 的重数。 由代数学基本定理即知,对于有限维空间,F至少存在一个特征值。 定义3.如果U的维数是有限的,那么F的他政治所成的集合称为F的谱。四.补空间,余维 4.5 赋范线性空间 谢谢大家!