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1、2.2 极极 限限10 极限理论的重要地位极限理论的重要地位牛顿牛顿 (1642 1727)莱布尼兹莱布尼兹 (1646 1716)创立微积分：创立微积分：柯西柯西 (1657 1789 )维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯 (1815 1897)对极限给出了严格的定义对极限给出了严格的定义：2 数列与收敛数列数列与收敛数列定义定义数列是以自然数集数列是以自然数集 N 为定义域的函数为定义域的函数 , 若若记此函数关系为记此函数关系为 f , 则则就称为就称为数列数列 , 记为记为 an , 而而 an 称为数列的称为数列的通项通项有界数列有界数列: : 对于数列对于数列 如果存在如果存在 M 0 ,
2、使使对一切对一切 n 有有 则称数列则称数列 an 为为有界数列有界数列 , 否则称为否则称为无界数列无界数列 单调数列单调数列: :(1) 若对一切若对一切 n , 有有 则称数列则称数列 an 为为单调增数列单调增数列 .(2) 若对一切若对一切 n , 有有 则称数列则称数列 an 为为单调减数列单调减数列 本段我们讨论数列本段我们讨论数列 an 的极限的极限 定义定义 对任意的正数对任意的正数 0 , 存在存在 N 0 , 当当 n N 时时 ,有有则称当则称当 n 时时 , an 以以 A 为极限为极限 , 记作记作我们称有极限我们称有极限 的数列的数列 an 为为收敛数列收敛数列
3、, 而而 不存在的数列称为不存在的数列称为发散数列发散数列 数列极限的几何意义数列极限的几何意义 当当 n N 时时 ,有有解解当当 时时 , 我们证明我们证明 :如果如果 r = 0 , 则则 rn = 0 下设下设 对任意的对任意的 0 , 要使要使只需只需故取故取则当则当 n N 时时 , 就有就有例例对于数列对于数列 , 证明证明: 当当 时为收敛数列时为收敛数列 说明说明:(1) 当当 r = 1 时时 , 为为收敛数列收敛数列 (2) 当当 r = -1 时时 ,由于其轮番地由于其轮番地取取 -1 或或 1 , 不接近于任何常数不接近于任何常数 , 故知故知为发散数列为发散数列 定
4、理（数列收敛的必要条件）定理（数列收敛的必要条件）若若则则 是有界数列是有界数列 ,即存在即存在 M 0 , 使对任意使对任意 n 都有都有 证明证明由由则对则对 = 1 , 存在存在 N 0 ,使当使当 n N 时时 , 有有于是有于是有取取则对任意的自然数则对任意的自然数 n , 有有构成一数列构成一数列定义定义在已给数列在已给数列 中中 , 任意取出无限多项排任意取出无限多项排成一列成一列我们称我们称 为为 的的子数列子数列 定理定理对对 的任一子数列的任一子数列有有说明说明:对于数列对于数列取取则则取取则则发散发散定理定理证明证明设设则对任意则对任意 0 ,存在存在 N 0 , 使当使
5、当 n N 时时 , 有有由于由于 2N N , 2N+1 N ,故可取故可取 K = N , 使当使当k K 时时 , 就有就有 2k 2K N , 2k + 1 N , 从而有从而有即即设设则对任意则对任意 0 , 分别存在分别存在 K1 0 , K2 0 , 使当使当k K1 时时 , 有有当当 k K2 时时 , 有有取取 N = max 2K1 , 2K2+1 ,则当则当 n N 时时 , 必有必有即即30 自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限定义：定义： 设函数设函数 f (x) 在在 x0 的某个邻域的某个邻域 N(x0) ( 点点 x0 可以除外可以除外)
6、内有内有定义定义 , A 是一常数是一常数 , 若若对任意给定的正数对任意给定的正数 0 ,使当使当 时时, 有有则称当则称当 时时 , f (x) 以以 A 为极限为极限 , 记作记作总可找总可找到一到一 ,说明：说明：（1） 为什么为什么 x0 可以除外？可以除外？（2）为什么要任意给定而不是给定一个为什么要任意给定而不是给定一个？（3） 存在一存在一 的意义是什么？是否唯一的意义是什么？是否唯一？极限定义的几何解释：极限定义的几何解释： 显然显然, 在找到一在找到一个个 后后,比其小的数都比其小的数都可可作为定义中的作为定义中的 当当 x 在在 x0 的去心的去心 邻域时，函数邻域时，函
7、数 y = f (x) 图形图形完全在以直线完全在以直线 y =A 为中心线，宽为为中心线，宽为 2 的带区域的带区域例例证明：证明： 因为当因为当 时，时，只要取只要取 的正数，此时的正数，此时当当就有就有所以所以例例 证明：证明：证明证明 由于由于 ，故只需在，故只需在 x = 2 的邻近考虑问题的邻近考虑问题不妨设不妨设 由于由于为使为使只需让只需让 即可，即可，因此可取因此可取 则当则当就有就有所以证得所以证得例例 证明：证明：证明证明注意到注意到及及于是有于是有所以可取所以可取由此证得由此证得例例 证明：证明：证明证明由于由于所以证得所以证得故取故取例例证证我们证明我们证明 不存在不
8、存在的点使的点使可知在可知在 x = 0 的邻近的邻近,函数函数 f (x)在在 - -1 与与 1之间无限震荡之间无限震荡,不趋向于任何常数不趋向于任何常数,所以极限所以极限 不存在不存在f (x)在在 x = 0 的邻近无限震荡引起极限的邻近无限震荡引起极限不存在不存在例例证证我们先证：对任取的我们先证：对任取的 , f (x) 在在 上无界上无界选取选取 N 0 , 使使 ,f (x) 在在 x = 0 的邻近无界引起极限不存在的邻近无界引起极限不存在30 单侧极限单侧极限右极限：右极限： 如果保持如果保持 x x0 ,且且 ( 简记简记为为左极限：左极限： 如果保持如果保持 , 且且
9、( 简记简记为为定理（左、右极限与极限的关系）定理（左、右极限与极限的关系）关于左极限、右极限与极限有以下的结论：关于左极限、右极限与极限有以下的结论：极限存在，而且极限存在，而且证明证明有有由此证明了由此证明了所以有所以有例例 解解40 自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限问题：问题： 当自变量当自变量 x 趋向趋向无穷远处时，研究函数无穷远处时，研究函数y = f (x)的的变化趋势变化趋势自变量自变量 x 趋向无穷远处可分为以下三种情况：趋向无穷远处可分为以下三种情况： -1 0 1 x-1 0 1 xy -1 0 1 x-1 0 1 xy1 0 0 x x y定义：
10、定义：说明：说明： (1) 定义定义中的中的 M 不是唯一的不是唯一的 , 与与 有关有关 ,重要的重要的在于存在性在于存在性在在 方向的水平渐近线方向的水平渐近线的水平渐近线的水平渐近线在在 方向的水平渐近线方向的水平渐近线与单侧极限类似有以下定理与单侧极限类似有以下定理定理定理说明：说明：y = A 是曲线是曲线 y=f (x) 的水平渐近线的充要条件是的水平渐近线的充要条件是y = A 既是既是 方向的又是方向的又是 方向方向的的水平渐近线水平渐近线例例证明：证明：解解对任给的对任给的要使要使只需只需又又于是让于是让即即取取则当则当 时，就有时，就有所以所以50 极限的性质极限的性质定理
11、（唯一性定理）定理（唯一性定理） 如果极限如果极限 存在，存在，则此极限值是唯一的则此极限值是唯一的证明证明用反证法用反证法设设 时时, 函数函数 f (x) 有两个不同的极限有两个不同的极限 ,即即 且且不妨设不妨设 的情形类似证明的情形类似证明)对于对于存在存在同样地同样地 , 存在存在取取 同时有不等式同时有不等式成立成立 即即矛盾矛盾, 假设不成立假设不成立, 证毕证毕于是得于是得定理（局部有界性定理）定理（局部有界性定理）时时, 有有证明证明由由根据极限的定义根据极限的定义 ,对于对于 , 存在存在 有有于是于是结论成立结论成立 定理定理 (局部保序性定理局部保序性定理)证明证明由由
12、故对故对存在存在 有有可得可得又由又由存在存在有有即有即有现取现取 有有定理证毕定理证毕若定理中的若定理中的 g(x) = 0 , 则有以下的推论则有以下的推论注意：注意： 局部保号性的逆定理未必成立局部保号性的逆定理未必成立反例反例但是但是推论推论 ( 局部保号性定理局部保号性定理)则存在则存在 x0 的某去心邻域使得的某去心邻域使得 f (x)在此邻域内与在此邻域内与 A 保持同号保持同号, 即存在即存在 尽管如此尽管如此, 仍有以下结论仍有以下结论推论推论 且在且在 x0 的某去心邻域内的某去心邻域内恒有恒有 , 则有则有证明证明利用反证法及局部保号性定理即可证得利用反证法及局部保号性定
13、理即可证得说明：说明：以上三个定理及推论对以上三个定理及推论对 x 的的其他趋限过程：其他趋限过程：及数列极限继续成立及数列极限继续成立 60 无穷小无穷小(量量) 无穷大无穷大(量量)我们注意到：我们注意到：因此以零为极限的量具有特殊的重要性因此以零为极限的量具有特殊的重要性无穷小无穷小(量量)的定义：的定义：若若 则称函数则称函数 f (x) 在在 时时是一无穷小是一无穷小(量量)说明：说明：（1）无穷小并不是一个可任意小的量，它无穷小并不是一个可任意小的量，它只是当只是当 时可任意小，即无穷小是和自变量时可任意小，即无穷小是和自变量的某趋限过程联系在一起的的某趋限过程联系在一起的（2）
14、定义中的定义中的 可换成其它的趋限过程：可换成其它的趋限过程：定理（极限基本定理）定理（极限基本定理）其中其中 是是 时的无穷小时的无穷小说明：说明：定理对其它趋限过程及数列仍然成立定理对其它趋限过程及数列仍然成立(3) 定义也适用于数列的情况定义也适用于数列的情况无穷小的运算性质：无穷小的运算性质：定理定理有限个无穷小量的和也是无穷小量有限个无穷小量的和也是无穷小量( 同一同一趋限过程中趋限过程中 )证明证明我们仅对我们仅对 的过程给出证明的过程给出证明, 其余其余过程同理可证过程同理可证. 而且只需对两个的情形加以而且只需对两个的情形加以证明就够了证明就够了(剩余用数学归纳法剩余用数学归纳
15、法)设设令令 ,要证要证因为因为由由对任意的对任意的 分别存在分别存在故取故取从而证明了从而证明了定理定理若若 是是 时的无穷小时的无穷小 , 而而 f (x) 在在上有界上有界 , 则则 也是也是 时时的无穷小的无穷小,即即 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小.说明：说明：以上定理中的以上定理中的“ 有限个有限个 ” 不能换成不能换成 “ 无穷无穷多个多个 ”. “ 有限有限 ” 与与 “ 无限无限 ” 是有本质区别的是有本质区别的 无穷大
16、无穷大 (量量) 的定义：的定义：(1) 设函数设函数 f (x) 在在 x0 的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,如果对任意的正数如果对任意的正数 M0 , 存在存在 使当使当时时 , 有有则称则称 f (x) 为为 时的时的无穷大无穷大(量量) ,记为记为(2) 如果对任意的正数如果对任意的正数 M0 , 存在存在 使当使当时时 , 有有则称则称 f (x) 为为 时的时的正无穷大正无穷大(量量) ,记记为为(3) 如果对任意的正数如果对任意的正数 M 0 , 存在存在 使当使当时时 , 有有则称则称 f (x) 为为 时的时的负无穷大负无穷大(量量) , 记为记为说明：说明：（1
17、）无穷大并不是一个可任意大的量，它无穷大并不是一个可任意大的量，它只是当只是当 时可任意大，即时可任意大，即无穷大是和自变量无穷大是和自变量的某趋限过程联系在一起的的某趋限过程联系在一起的.（2） 定义中的定义中的 可换成其它的趋限过程：可换成其它的趋限过程：(3) 定义也适用于数列的情况定义也适用于数列的情况无穷大量的运算性质：无穷大量的运算性质：（1） 若在若在 x 的某趋限过程中的某趋限过程中 f (x) 是无穷大是无穷大,则则 是无穷小是无穷小（2） 若在若在 x 的某趋限过程中的某趋限过程中 f (x) 是无穷小是无穷小,且且则则 是无穷大是无穷大（3）在）在 x 的某趋限过程中的某
18、趋限过程中 , 若若 f (x) 是无穷大是无穷大 ,g(x) 是有界量是有界量 , 则则 f (x) + g(x) 是无穷大是无穷大 ,即即, 有界量加无穷大是无穷大有界量加无穷大是无穷大（4）在）在 x 的某趋限过程中的某趋限过程中,若若 f (x) 是无穷大是无穷大 ,g(x) 满足满足 , 则则 f (x)g(x) 是无穷大是无穷大说明：说明：（1） 有界量乘无穷大未必是无穷大有界量乘无穷大未必是无穷大 !反例：反例：（2）若若 或或 或或则则称直线称直线 x= x0 为曲线为曲线 y = f (x) 的的垂直渐近线垂直渐近线(3) 无穷大量无穷大量 无穷大量无穷大量 无穷大量无穷大量
19、反例：反例： （4）反例：反例：例例（1） 写出写出 的定义；的定义； (2) 证明：在证明：在 的过程中，的过程中， 为一无穷大为一无穷大解解(1)(2) 我们证明：我们证明：对任给的对任给的不妨设不妨设 G 1 (不然可取不然可取 来证来证)要使要使只需只需即即故取故取则当则当 时时 , 有有使当使当 时时 , 有有 所以所以70 极限的运算法则极限的运算法则定理定理 ( 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 ) 证明证明我们仅就我们仅就 的趋限过程证明结论的趋限过程证明结论 (3) ,其余趋限过程类似可证其余趋限过程类似可证其中其中记记 则有则有由于由于 是无穷小是无穷小 , 故为证故为
20、证 r 是是无穷小无穷小,只需证只需证 是有界量即可是有界量即可由由 是无穷小且是无穷小且 存在存在 使当使当时时 , 有有因此因此于是于是即即 是有界量是有界量 , 所以所以 r 是无穷小是无穷小 定理证毕定理证毕故对故对说明说明： （1）定理结论成立的前提是：定理结论成立的前提是：存在存在 ，否则定理不成立，否则定理不成立 (2) 结论结论 (3) 中不可缺条件中不可缺条件否则结论不成立否则结论不成立 推论推论 （1）若）若 存在存在 ，c 为常数为常数 ，则有，则有（齐次性）（齐次性）（2）若若 存在存在 ，则，则有有其中其中 k 为正常数为正常数（3）定理结论对数列也成立）定理结论对数
21、列也成立(3) 若若 为常数为常数 , 存在存在 , 则有则有上式说明：上式说明：极限运算具有线性运算性质极限运算具有线性运算性质例例证明：证明：解解设设 ， 其中其中 p 1 . 则则利用利用 及及 结论结论 (3) 知结论成立知结论成立所以得到：所以得到：例例计算计算解解例例计算计算解解例例计算计算解解原极限原极限定理（复合函数的极限法则）定理（复合函数的极限法则）如果如果 又存在某又存在某使对任意使对任意 ，有，有 则有则有证明证明因为因为故对任意故对任意存在存在 使使当当时时 , 有有又因又因故对这一故对这一 存在存在 使当使当时时 , 有有取取 ， 则当则当 时，时，且且从而有从而有
22、因此因此说明：说明： 定理给出了极限变量代换的条件定理给出了极限变量代换的条件有有定理（夹逼准则）定理（夹逼准则）如果如果 则有则有设在某设在某 上有上有成立，成立，证明证明由定理知由定理知其中其中对任意对任意由由 有有从而有从而有即即又因又因所以对任意所以对任意 ，存在存在时时 , 有有使当使当 时时 , 有有当当故取故取 ，时时 , 有有则当则当由此证得由此证得定理定理 ( 数列夹逼准则数列夹逼准则 )若存在若存在 N 0 , 使当使当 n N 时时 , 有有且且则则 也收敛也收敛 , 并且并且例例利用夹逼定理证明利用夹逼定理证明重要极限：重要极限：解解因为因为 ， 不妨设不妨设作单位圆的
23、作单位圆的切线切线AC ，于是有于是有因为因为1从而有从而有所以所以即即 ，由由 及夹逼定理得及夹逼定理得即当即当 时，时，注意：注意：与重要极限与重要极限的区别的区别利用重要极限计算极限举例：利用重要极限计算极限举例：例例计算计算解解例例计算计算解解例例计算计算解解由复合函数极限法则有由复合函数极限法则有令令则则 当当 时时, 有有 （习题（习题(A)：4）.于是有于是有定理定理 (单调有界准则单调有界准则)若函数若函数 f (x) 是是( a , b )区间区间内的单调有界函数内的单调有界函数 , 则极限则极限 与与都存在都存在.证明：证明：（略）（略）说明：说明： 结论对无穷区间结论对无
24、穷区间或或 也成立也成立定理定理 ( 单调数列收敛准则单调数列收敛准则 )(1) 如果单调增数列如果单调增数列 an 有上界有上界 , 即即 则极限则极限 存在存在 (2) 如果单调减数列如果单调减数列 an 有下界有下界 , 即即 则极限则极限 存在存在 说明说明:(1) 定理可简述为定理可简述为: 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(2) 定理指出极限定理指出极限 存在存在 , 但没有但没有 指出指出 a 的具体值等于多少的具体值等于多少 解解例例如果如果计算计算显然对一切显然对一切 n N , an 0 下证下证: 对一切对一切 n N , an 3 当当 n = 1 时时 ,下设
25、下设 ,则有则有所以根据数学归纳法知所以根据数学归纳法知 , 对一切对一切 n N , an xn-1 ,由由 xn 0 , 有有根据数学归纳法知根据数学归纳法知 xn 单调增单调增 .又又单调增有上界单调增有上界收收 敛敛 设设在在 两边取极限两边取极限 , 有有解得解得所以所以例例设设 a 0 , x1 0 , 定义定义计算计算解解 因为因为即对一切即对一切 n N , 又又所以所以 单调减单调减 ,据收敛准则知据收敛准则知 收敛收敛 , 设设取极限有取极限有(负根舍去负根舍去)所以所以利用单调有界准则及夹逼定理可以证明重要极限利用单调有界准则及夹逼定理可以证明重要极限先利用单调有界准则证
26、明数列情形的重要极限先利用单调有界准则证明数列情形的重要极限:解解设设 , 则则比较比较 xn 与与 xn+1 的对应项可知的对应项可知:即即 是单调增数列是单调增数列 . 利用上式可得利用上式可得所以所以 是单调增有上界数列是单调增有上界数列 , 根据收敛准则根据收敛准则知知 收敛收敛 , 记其极限值为记其极限值为 e , 于是有于是有再利用夹逼定理证明极限再利用夹逼定理证明极限:对任意的对任意的 x 0 , 总存在总存在 正整数正整数 n 使使且且 时时 ， ，由于，由于 利用夹逼定理利用夹逼定理:当当 时时 ，令，令 ，则有，则有根据极限性质证得根据极限性质证得若令若令则利用极限的变换定
27、理可得重要则利用极限的变换定理可得重要极限的另一表达形式：极限的另一表达形式：例例计算计算解解原极限原极限80 无穷小的阶无穷小的阶当当 时时,然而这些无穷小的比值的极限是不同的然而这些无穷小的比值的极限是不同的究其原因：究其原因：无穷小趋于零的速度是其变化的无穷小趋于零的速度是其变化的关键因素关键因素定义定义设设 都是同一趋限过程中的都是同一趋限过程中的无穷小无穷小 ,且且可见：可见： 由由sinx 关于关于 x 是是一阶的一阶的;由由tanx 关于关于 x 是一阶是一阶的的;由由arcsinx 关于关于 x 是一阶是一阶的的作为基本无穷小作为基本无穷小 , 则当则当 时时, 称称关于基本无
28、穷小关于基本无穷小 是是 k 阶的阶的(无穷小无穷小) ,并称并称为无穷小量为无穷小量 的的主部主部特别地特别地,若过程是若过程是 的的 , 把把 由由关于关于 x 是是二阶的二阶的;又由又由可知可知 ln(1+x) 关于关于 x 是是一阶的一阶的 , 且且 有有同样地由同样地由可知可知 关于关于 x 是是一阶的一阶的 , 且且 有有综合以上结论可得以下综合以上结论可得以下常用的等价关系：常用的等价关系：划分无穷小的主部可获得一些近似式划分无穷小的主部可获得一些近似式定理定理若若则则反之，若反之，若 或者或者 则则证明：证明：由由再由再由反之，若反之，若 或或 则有则有根据以上定理可得以下根据
29、以上定理可得以下常用的近似公式：常用的近似公式：等价无穷小可用来计算极限：等价无穷小可用来计算极限：若若 （其中（其中不取零值），不取零值）， 则当则当 存在时存在时, 也也存在而且有存在而且有定理（无穷小的等价代换）定理（无穷小的等价代换）证明：证明： 因为因为现由现由及及 存在存在 ，利用极限的运算，利用极限的运算性质有性质有推论推论1若若 存在存在 ，则有，则有推论推论2若若 存在存在 ，则有，则有例例计算计算解解因为因为 ， 所以所以原极限原极限例例计算计算解解原极限原极限例例计算计算解解原极限原极限例例计算计算原极限原极限解解例例计算计算解解原极限原极限注意：注意： 等价关系等价关系例例计算计算解解 原极限原极限例例设设 ， 求求的主部及阶数的主部及阶数解解所以主部为所以主部为 , 阶数为阶数为 3 所以主部为所以主部为 , 阶数为阶数为 2 例例 设设 求求解解因为因为 时时 ,所以要使极限所以要使极限存在存在 , 必须必须( 表示无穷小表示无穷小)所以有所以有例例求常数求常数 A 和和 k , 使使 时时 , 解解由由得得所以所以于是于是所以所以
