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1、03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质3.4 三维晶格的振动三维晶格的振动 三维复式格子三维复式格子各原子偏离格点的位移各原子偏离格点的位移晶体的原胞数目晶体的原胞数目原子的质量原子的质量第第l个原胞的位置个原胞的位置原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置 一个原胞中有一个原胞中有n个原子个原子03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质第第k个原子运动方程个原子运动方程 原子在三个方向上的位移分量原子在三个方向上的位移分量 一个原胞中有一个原胞中有3n个类似的方程个类似的方程原子位移方程的解原子位移方程的解 将方程解代回将方程解代回3n个运动方程个运动方程03_04_三维
2、晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 3n个线性齐次方程个线性齐次方程 系数行列式为零条件，得到系数行列式为零条件，得到3n个个03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 3n个线性齐次方程个线性齐次方程长波极限长波极限3个个 趋于一致趋于一致 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 3支声学波支声学波 3n3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相 对运动对运动 3n3支光学波支光学波结论结论 晶体中一个原胞中有晶体中一个原胞中有n个原子组成个原子组成 有有3支声学波和支声学波和3n3支光
3、学波支光学波03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质波矢波矢 波矢空间的波矢空间的3个基矢个基矢三维晶格中的波矢三维晶格中的波矢 倒格子基矢倒格子基矢 3个系数个系数03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质采用波恩卡曼边界条件采用波恩卡曼边界条件03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质波矢波矢03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质波矢空间一个点占据的体积波矢空间一个点占据的体积 倒格子原胞体积倒格子原胞体积状态密度状态密度03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质波矢的取值波矢的取值_ h1h2h3 原子振动波函数原子振动波函数波矢改
4、变一个倒格矢波矢改变一个倒格矢 不同原胞之间相位联系不同原胞之间相位联系 原子振动状态一样原子振动状态一样03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质k的取值限制在一个倒格子原胞中的取值限制在一个倒格子原胞中 第一布里渊区第一布里渊区 个取值个取值03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质对应于一个波矢对应于一个波矢q 3支声学波支声学波和和3n3支光学波支光学波总的格波数目总的格波数目 晶体中原子的坐标数目晶体中原子的坐标数目03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质原胞原胞内含内含原子原子 数数原胞原胞数数自由自由度数度数 q q 数数格波数格波数 晶体振动晶体
5、振动模或模或( ( ,q),q)数数 声学波声学波数数( (支支) )光学波光学波数（支）数（支）单原子链单原子链1 1N NN NN NN N1 1 双原子链双原子链2 2N N2N2NN N2N2N1 11 1三维结构三维结构n nN N3nN3nNN N3nN3nN3 33(n-1)3(n-1)03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体在作振动，其晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体在作振动，其结果表现为晶格中的格波。结果表现为晶格中的格波。一般而言，格波不一定是简谐波，但可以展成为简谐一般而言，格波不一定是简谐波，但可以展成为简谐平面波的线性叠
6、加。当振动微弱时，即相当于简谐近平面波的线性叠加。当振动微弱时，即相当于简谐近似的情况，格波为简谐波。此时，格波之间的相互作似的情况，格波为简谐波。此时，格波之间的相互作用可以忽略，可以认为它们的存在是相互独立振动的用可以忽略，可以认为它们的存在是相互独立振动的模式。模式。一、声子概念的由来一、声子概念的由来 晶格振动的量子化晶格振动的量子化 -声子声子03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质每一独立模式对应一个振动态每一独立模式对应一个振动态(q) 。晶格的周期性给予格波以一定的边界条件，使独立的晶格的周期性给予格波以一定的边界条件，使独立的模式也即独立的振动态是分立的。模式也即
7、独立的振动态是分立的。可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立模式。可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立模式。声子声子-晶格振动中的独立简谐振子的能量量子。晶格振动中的独立简谐振子的能量量子。03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质二二 、格波能量量子化、格波能量量子化1. 三维晶格振动能量三维晶格振动能量原胞（原胞（ N个）内含个）内含1个原子系统的三维晶格振动具有个原子系统的三维晶格振动具有3N个独立谐振子个独立谐振子 ；晶体中的格波是所有原子都参与的振动，含晶体中的格波是所有原子都参与的振动，含N个原胞个原胞的晶体振动能量为的晶体振动能量为3N个格波能量之和；个格波能量之
8、和；在简谐近似下，每个格波是一个简谐振动，晶体总振在简谐近似下，每个格波是一个简谐振动，晶体总振动能量等于动能量等于3N个简谐振子的能量之和。个简谐振子的能量之和。03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质谐振子的能量用量子力学处理时，每一个谐振子的谐振子的能量用量子力学处理时，每一个谐振子的能量能量 i为为 ： i =(ni+1/2) i, ni=0,1,2,则晶格总能量则晶格总能量E为：为： 2. 格波能量量子化格波能量量子化说明：说明：晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的能晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的能量量子量量子 i称为声子。称为声子。 晶格振动能量量子晶格振动能量量
9、子 声子声子_Phonon03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质三三、声子的性质、声子的性质1. 声子的粒子性声子的粒子性光子光子-电磁波的能量量子。电磁波可以认为是电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光子流，光子携带电磁波的能量和动量光子流，光子携带电磁波的能量和动量。声子声子-声子携带声波的能量和动量。若格波频声子携带声波的能量和动量。若格波频率为率为 ，波矢为，波矢为q，则声子的能量为，则声子的能量为 ，动量为动量为q。声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如同具有能量同具有能量 和准动量和准动量 q的粒子一样。的粒子一样。03
10、_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和物质的碰撞过程，使问题大大简化，得出的结论物质的碰撞过程，使问题大大简化，得出的结论也正确。如，电子、光子、声子等。也正确。如，电子、光子、声子等。准粒子性的具体表现：声子的动量不确定，波矢准粒子性的具体表现：声子的动量不确定，波矢改变一个周期（倒格矢量）或倍数，代表同一振改变一个周期（倒格矢量）或倍数，代表同一振动状态，所以不是真正的动量；动状态，所以不是真正的动量；系统中声子的数目一般用统计方法进行计算，具系统中声子的数目一般用统计方法进行计算，具有能量为有能
11、量为Ei的状态用出现的几率来表示。的状态用出现的几率来表示。2. 声子的准粒子性声子的准粒子性3. 声子概念的意义声子概念的意义03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质声子就是声子就是“晶格振动晶格振动的简正模能量量子。的简正模能量量子。”形象地讲，若把原子比作小球的话，整个晶体犹如由形象地讲，若把原子比作小球的话，整个晶体犹如由许多规则排列的小球构成，而小球之间又彼此由弹簧连接许多规则排列的小球构成，而小球之间又彼此由弹簧连接起来一般，从而每个原子的振动都要牵动周围的原子，使起来一般，从而每个原子的振动都要牵动周围的原子，使振动以弹性波的形式在晶体中传播。这种振动在理论上可振动以
12、弹性波的形式在晶体中传播。这种振动在理论上可以认为是一系列基本的振动（即简正振动）的叠加。如果以认为是一系列基本的振动（即简正振动）的叠加。如果我们在原子振动的势能展开式中只取到平方项的话（这即我们在原子振动的势能展开式中只取到平方项的话（这即所谓的所谓的简谐近似简谐近似），那么，这些组成晶体中弹性波的各个），那么，这些组成晶体中弹性波的各个基本的简正振动就是彼此独立的。换句话说，每一种简正基本的简正振动就是彼此独立的。换句话说，每一种简正振动模式实际上就是一种具有特定的频率振动模式实际上就是一种具有特定的频率 、波长、波长和和一定传播方向的弹性波，整个系统也就相当于由一系列相一定传播方向的弹
13、性波，整个系统也就相当于由一系列相互独立的谐振子构成。在经典理论中，这些谐振子的能量互独立的谐振子构成。在经典理论中，这些谐振子的能量将是连续的，但按照量子力学，它们的能量则必须是量子将是连续的，但按照量子力学，它们的能量则必须是量子化的，只能取化的，只能取 的整数倍，即的整数倍，即n n（1/21/2） （其中（其中 为零点能）。这样，相应的能态为零点能）。这样，相应的能态n n就就可以认为是由个能量为可以认为是由个能量为 的的“激发量子激发量子”相加而成。相加而成。而这种量子化了的弹性波的最小单位就叫而这种量子化了的弹性波的最小单位就叫声子声子。 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体
14、的热学性质在简谐近似中，声子间无相互作用，（声子之间是相互在简谐近似中，声子间无相互作用，（声子之间是相互“透明透明”的，就象两束光相遇后互不干涉地离开对方一样）的，就象两束光相遇后互不干涉地离开对方一样）故晶格振动的每个状态能被任何数目的不可区分的声子占故晶格振动的每个状态能被任何数目的不可区分的声子占据，声子仅与晶格振动的能量值有关，即与温度有关，在据，声子仅与晶格振动的能量值有关，即与温度有关，在T=0K时，没有任何声子被激发。时，没有任何声子被激发。 声子并不是一个真正的粒子，声子可以产生和消灭，有相声子并不是一个真正的粒子，声子可以产生和消灭，有相互作用的声子数不守恒，声子动量的守恒律也不同于一般互作用的声子数不守恒，声子动量的守恒律也不同于一般的粒子，并且声子不能脱离固体存在。声子只是格波激发的粒子，并且声子不能脱离固体存在。声子只是格波激发的量子，在多体理论中称为集体振荡的元激发或准粒子。的量子，在多体理论中称为集体振荡的元激发或准粒子。 声子的化学势为零，属于声子的化学势为零，属于玻色子玻色子，服从玻色，服从玻色- -爱因斯坦统爱因斯坦统计。声子本身并不具有物理动量，但是携带有准动量计。声子本身并不具有物理动量，但是携带有准动量 ，并具有能量。并具有能量。
