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1、 高阶常系数齐次线性方程高阶常系数齐次线性方程一、定义一、定义二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法1一、定义一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式2n n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式n n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式阶常系数齐次线性微分方程的标准形式(2)的特征方程3二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次
2、线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程, 得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根41. 1. 有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为52. 2. 有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为63. 3. 有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为78定义定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法特
3、征方程法. .解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 19解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 210三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程为特征根特征根对应的特解对应的特解注注1、n次代数方程恰有次代数方程恰有n个根。个根。2、属于不同特征属于不同特征根的解线性无关。根的解线性无关。11注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数且每一项各一个任意常数.12特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为
4、解解特征方程为特征方程为例例3 313四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)1415思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.16思考题解答思考题解答令令则则特征根特征根通解通解17练练 习习 题题18练习题答案练习题答案19微分方程的应用题微分方程的应用题20 例例1.1. 某种某种飞机在机机在机场降落降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬了减少滑行距离，在触地的瞬间，
5、飞机尾部机尾部张开减速开减速伞，以增大阻力，使，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下机迅速减速并停下. 现有一有一质量量为9000kg的的飞机，着机，着陆时的水平速度的水平速度为700km/h. 经测试，减速，减速伞打开后，打开后，飞机所受的机所受的总阻力与阻力与飞机的速度成正比（比例系数机的速度成正比（比例系数为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多？问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多？注注: kg表示千克，表示千克，km/h表示千米表示千米/小时小时.21 【分析分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。列出关系式后再解微分方程
6、即可。【解解1】 由由题设，飞机的机的质量量m=9000kg，着，着陆时的水平速度的水平速度从从飞机接触跑道开始机接触跑道开始记时，设t时刻刻飞机的滑行机的滑行距离距离为x(t)，速度，速度为v(t).根据牛根据牛顿第二定律，得第二定律，得又又22由以上两式得由以上两式得 积分得分得 由于由于故得故得从而从而 当当时 所以，所以，飞机滑行的最机滑行的最长距离距离为1.05km.23例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程24所求曲线为所求曲线为25答答:26例例4 4 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例: : 车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解如图如图27得微分方程得微分方程由夹角由夹角正切公正切公式得式得28分离变量分离变量积分得积分得29平方化简得平方化简得抛物线抛物线30
