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1、函数的极值与导函数的极值与导数数高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用一、复习导入一、复习导入-复习旧课复习旧课1.解解区间区间(-，-4)-4(-4，2)2(2，+)f (x)00f(x)f(x)在在(-，-4)、 (2，)内单调递增，内单调递增，你记住了吗？有没搞错，有没搞错，怎么这里没有填上？怎么这里没有填上？求导数求导数求临界点求临界点列表列表写出单调性写出单调性+-f (x)0 (x+4)(x-2)0 x2f(x)在在(-4，2)内单调递减。内单调递减。f (x)0 (x+4)(x-2)0 -4x0单调递减单调递减h (t)0h (a)02.跳水运动
2、员在最高处附近的情况：跳水运动员在最高处附近的情况：(1)当当t=a时运动员距水面高度最大，时运动员距水面高度最大，h(t)在此点的导数是多少呢？在此点的导数是多少呢？(2)当当ta时时h(t)的单调性是怎样的呢？的单调性是怎样的呢？将最高点附近放大将最高点附近放大t=ataatho最高点最高点导数的符号有什么变化规律？导数的符号有什么变化规律？在t=a附近，f(x)先增后减，先增后减，h (x)先正后负，先正后负，h (x)连续变化，于是有连续变化，于是有h (a)=0f(a)最大。最大。对于一般函数是否也有同样的性质吗？对于一般函数是否也有同样的性质吗？h(t)=-4.9t2+6.5t+1
3、0一、复习导入一、复习导入-导入新课导入新课探究探究3.(1) 如图，如图，y=f(x)在在c、d等点的函等点的函数值与这些点附近的函数值有什么数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？关系？导数值呢？导数符号呢？c d e f o g h I j xy一、复习导入一、复习导入-导入新课导入新课3.(2) 如图，如图，y=f(x)在在a、b点的函数值点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？导数值呢？导数符号呢？探究探究xyoaby-=f(x)xyoaby-=f(x)000极小值点极小值点极大点极大点f (a)=0f (b)
4、=0二、讲授新课二、讲授新课-了解概念了解概念xyoaby=f(x)xbf (x)+0-f(x)单调单调递增递增极大值极大值单调单调递减递减 什么是什么是极小值点、极小值极小值点、极小值、极大值点、极大值极大值点、极大值、极值点、极值？、极值点、极值？f(a)f(b)小结小结xaf (x)-0+f(x)单调单调递减递减极小值极小值单调单调递增递增极大值点和极小值点极大值点和极小值点统称为极值点统称为极值点极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值abxyO定义定义 一般地一般地, 设函设函数数 f (x) 在点在点x0附附近有定义近有定义, 如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,
5、 都有都有我们就说我们就说 f (x0)是是 f (x)的一个的一个极大值极大值, 点点x0叫做函数叫做函数 y = f (x)的的极大值点极大值点. 反之反之, 若若 , 则称则称 f (x0) 是是 f (x) 的一个的一个极小值极小值, 点点x0叫做函数叫做函数 y = f (x)的的极小值点极小值点.极小极小值点、极大点、极大值点点统称称为极极值点点,极大极大值和极小和极小值统称称为极极值. .yabx1x2x3x4Ox 观察上述图象观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.1理解极理解极
6、值概念概念时需注意的几点需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点(3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值总结总结 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1)(5)若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点2导数数为
7、0的点不一定是极的点不一定是极值点点练习练习1 下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 试找出函数试找出函数 的极值点的极值点, 并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6 yxO探究：极值点处导数值探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？即切线斜率）有何特点？结论结论:极值点处，如果有切线，切线水平的极值点处，如果有切线，切线水平的.即即: f (x)=0aby f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考思考;若若 f (x0)=0，则，则x0是否为极值点？是否为极值点？x yO分析
8、yx3v若若寻寻找找可可导导函函数数极极值值点点,可可否否只只由由f (x)=0 0求求得得即即可可? ?思考思考探索探索: x =0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf ( (x) ) x3 3f (x)=3x2当f (x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件进一步探究:极值点两侧函数图像单调性
9、有何特点?极大值极大值极小值极小值即即: 极值点两侧极值点两侧单调性单调性互异互异 f (x)0 yxOx1aby f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0探究探究:极值点两侧极值点两侧导数正负符号导数正负符号有何规律有何规律?x2 xXx2 2 f (x) f(x) xXx1 1 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0注意注意:(1) f (x0) =0， x0不一定是极值点不一定是极值点(2)只有只有f (x0) =0且且x0两侧单调性两侧单调性不同不同 ， x0才是极值点才是极值点.
10、(3)求求极值点，极值点，可以先求可以先求f (x0) =0的点，的点，再再列表判断单列表判断单调性调性结论：结论：极值点处，极值点处，f (x) =0因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 解得解得 或或当当 , 即即 , 或或 ;当当 , 即即 .当当 x 变化时变化时, f (x) 的变化情况如下表的变化情况如下表:x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)00f (x) +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 28 / 3 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 4 /
11、 3 .例题4图像-2oxy2+-+28/3-4/3f(x)=1/3 x3-4x+4例例2xX1+0-0+所以，当所以，当x=-1是，函数的极大值是是，函数的极大值是-2，当，当x=1时，函数的时，函数的极小值是极小值是2导函数的正负是交替出现的吗？不是不是极大极大值极小极小值求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程
12、在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 若若f (x)左正右左正右负，则f(x)为极大极大值； 若若 f (x)左左负右正，右正，则f(x)为极小极小值+-x0-+x0求导求导求极点求极点列表列表求极值求极值练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:解解: 令令 解得解得 列表列表:x0f (x)+单调递增单调递增单调递减单调递减 所以所以, 当当 时时, f (x)有极小有极小值值练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:解解: 解得解得 列表列表:x(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) +单调
13、递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:解解: 解得解得 所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 10 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 22 .解得解得 所以所以, 当当 x = 1 时时, f (x)有极小值有极小值 2 ;当当 x = 1 时时, f (x)有极大值有极大值 2 .思考思考(1)导数为导数为0的点一定是的点一定是 函数的极值点吗？函数的极值点吗
14、？例如：例如：f(x)=x3f (x)=3x20f (0)=302=0xx0f (x)+0+f(x)oxyY=x3+若若f(x0) 是极值，则是极值，则f (x0)=0。反之，反之，f (x0)=0，f(x0)不一定是极值不一定是极值y=f(x)在一点的导数为在一点的导数为0是函数是函数y=f(x)在这点取得极值的在这点取得极值的 必要条件。必要条件。思考思考(2).极大值一定比极小值大吗？极大值一定比极小值大吗？极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念结论：不一定结论：不一定极极大大值值极极小小值值极极小小值值函函数数的的性性质质单单调调性性单调性的判别法单调性的判别法单调区间的求法单调区间的求法函函数数极极值值函数极值的定义函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值极值点点.函数极值的求法函数极值的求法必要条件必要条件求极值的步骤求极值的步骤:1.求导，求导，2.求极点，求极点，3.列表，列表，4.求极值求极值f (x)0单调弟增单调弟增f (x)0单调递减单调递减1.求导，求导，2.求临界点求临界点3. 列表，列表，4.单调性单调性小小结思考：思考：已知函数已知函数 在在 处取得极值。处取得极值。 （1）求函数）求函数 的解析式的解析式 （2）求函数）求函数 的单调区间的单调区间
