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1、1本次课主要内容本次课主要内容(一一)、定解问题的建立、定解问题的建立(二二)、方程的化简、方程的化简习题课习题课(三三)、函数函数(四四)、分离变量方法、分离变量方法2(一一)、定解问题的建立、定解问题的建立 写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出边写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出边界条件界条件(包括衔接条件，自然条件）和初始条件。包括衔接条件，自然条件）和初始条件。 建立偏微分方程的主要方法是微元法建立偏微分方程的主要方法是微元法(1).明确物理过程与研究对象明确物理过程与研究对象(待研究物理量待研究物理量);(2).进行微元分析；进行微元分析； 分析微元和相邻部分的相互作用，根据物
2、理定分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。律用算式表达这种作用。3如何写出三类边界条件？如何写出三类边界条件？(1)、明确环境影响通过的所有边界；、明确环境影响通过的所有边界；(2)、分析边界所处的物理状况；、分析边界所处的物理状况；(3)、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。(3).化简、整理算式。化简、整理算式。4例例1 一根半径为一根半径为r,密度为密度为，比热为，比热为c c，热传导系数，热传导系数为为k k的匀质杆。如果同截面上的温度相同，其侧面与的匀质杆。如果同截面上的温度相同，其侧面与温度为温度为u u1 1的介质
3、发生热交换，且热交换系数为的介质发生热交换，且热交换系数为k k1 1. .求求杆上温度满足的方程杆上温度满足的方程解解：物理量为杆上温度物理量为杆上温度u(x,t),取微元取微元x,x+dxx+dxxx在在dt时间里，微元段获得的热量为：时间里，微元段获得的热量为：5该热量一部分该热量一部分Q1用于微元段升温，另一部分用于微元段升温，另一部分Q2从侧面流出从侧面流出所以，微元段满足的方程为：所以，微元段满足的方程为：所以，方程为：所以，方程为：61、写出特征方程、写出特征方程：2、计算、计算3、作变换、作变换(1)、(二二)、方程的化简、方程的化简7(2)、8(3)、94、求出变换方程：、求
4、出变换方程：其中：10二阶线性方程分类：二阶线性方程分类：(1) 双曲型 抛物型椭圆型 (2) (3) 说明：分类也指点的邻域内的分类！说明：分类也指点的邻域内的分类！11例例1 求方程 的通解 解解：此此方方程程是是双双曲曲型型的的第第二二标标准准形形，但但我我们们要要求求解解它它可可将将其其化化成成第第一一标标准准形形的的形形式式，所所以以先先得得由由特征方程求特征函数：特征方程求特征函数：12 所以1314可得 是原方程的通解是原方程的通解 15例例3 化下面方程为标准型化下面方程为标准型解：解：方程属于椭圆型方程属于椭圆型16 所以17可得可得 标准型：标准型：18 函数是指满足下面两
5、个条件的函数函数是指满足下面两个条件的函数 (三三)、函数函数 例例4、求证：、求证：19分析：需证明等式右端满足分析：需证明等式右端满足函数两条件。函数两条件。 又当又当x不等于不等于0时有：时有：证明：当证明：当x=0x=0时，考虑到：时，考虑到：20 由于由于21 例例5、求证：、求证：其中其中证明：当证明：当M M不等于不等于M M0 0时，直接计算可得：时，直接计算可得：22 另一方面：另一方面： 所以：所以：23(1)、分离变量、分离变量(2)、求解固有值问题、求解固有值问题(3)、求解其它常微分方程对应于固有值的解、求解其它常微分方程对应于固有值的解1、最基本的分离变量法求定解的
6、步骤、最基本的分离变量法求定解的步骤(4)、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。(四四)、分离变量方法、分离变量方法 2、常涉及的几种固有值问题、常涉及的几种固有值问题 问题：最基本分离变量对定解问题的要求？问题：最基本分离变量对定解问题的要求？242526273、固有函数值方法、固有函数值方法(一般分离变量求解一般分离变量求解)定解问题一般形式：定解问题一般形式：求解步骤：求解步骤：28(1)、求下面齐次定解问题对应的固有值问题、求下面齐次定解问题对应的固有值问题固有函数为：固有函数为：Xn(x)(2)、令一般解为：、令一般解为：29(3)、将一般解
7、代入泛定方程并把自由项按固有函、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函数系展开后通过比较系数得到数系展开后通过比较系数得到Tn(t)的微分方程；的微分方程；(4)、由原定解问题初值条件、由原定解问题初值条件把把初始函数按固有函数系把把初始函数按固有函数系展开后通过比较系数展开后通过比较系数得出得出T n(t)的定解条件；的定解条件；(5)、求出、求出T n(t) 。30齐次化原理齐次化原理14、齐次化原理求解、齐次化原理求解如果如果满足方程：满足方程：那么非齐次柯西问题那么非齐次柯西问题的解为：的解为：31齐次化原理齐次化原理2如果如果满足方程：满足方程：那么非齐次柯西问题那么非齐次柯西问题的
8、解为：的解为：325、边界条件齐次化方法、边界条件齐次化方法(1)、一般方法、一般方法采用未知函数代换法：采用未知函数代换法：选择适当的选择适当的W(x,t)，使关于，使关于V(x,t)定解问题边界条件是定解问题边界条件是齐次的。齐次的。(采用多项式函数待定法求采用多项式函数待定法求W(x,t)。(2)、特殊情形下齐次化方法、特殊情形下齐次化方法如果方程自由项和边界条件表达式均与如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以无关，则可以令：令：33解解：令 将其代入定解问题中得：将其代入定解问题中得：例例6 求如下定解问题求如下定解问题 34可将其分解为：可将其分解为：于是得：于是得：35由
9、分离变量得一般解为：由分离变量得一般解为：由初值条件得：由初值条件得：由傅立叶级数展开得：由傅立叶级数展开得：3637所以，定解问题的解为：所以，定解问题的解为：原定解问题的解为：原定解问题的解为：38注：圆域、扇形域等圆弧形边界围城的区域上的定解注：圆域、扇形域等圆弧形边界围城的区域上的定解问题分离变量求解，要在极坐标下进行。求解时要注问题分离变量求解，要在极坐标下进行。求解时要注意自然条件的使用。意自然条件的使用。例例7 在扇形域在扇形域00 ,0,0 0 0 上求定解问题：上求定解问题：39解：解：1、分离变量：、分离变量：(5)代入代入(1)得：得：整理后可令比值为整理后可令比值为：4
10、0得两个常微分方程如下：得两个常微分方程如下：如何构造固有值问题？如何构造固有值问题？2、求解固有值问题、求解固有值问题41于是得固有值：于是得固有值：固有函数为：固有函数为：423、求方程、求方程(7)的解的解方程方程(7)是二阶欧拉方程，结合有限条件有：是二阶欧拉方程，结合有限条件有：(7)(7)的解为：的解为：434、一般解为：、一般解为：由另一边界条件由另一边界条件(2)得：得：将将f() )在在0,0, 上按奇式展开得：上按奇式展开得：44所以定解为：所以定解为：45例例8 求定解问题：求定解问题：解： 1. 时空变量的分离： 46代入方程整理后得：代入方程整理后得：得关于时空的微分
11、方程：得关于时空的微分方程：2. 作作空间变量的分离空间变量的分离 ： 代入方程代入方程(2)整理后得：整理后得：473.求解固有值问题求解固有值问题484.分别求出两个固有值问题得：分别求出两个固有值问题得：同时得到关于同时得到关于V(x,y)的固有值：固有值：494. 4. 求T(t)固有函数为：固有函数为：504.5. 一般解为一般解为：由初值条件，再由多元傅立叶展开得：由初值条件，再由多元傅立叶展开得：51例例9 在铀块中，除了中子的扩散运动外，还有中子在铀块中，除了中子的扩散运动外，还有中子的增值过程。每秒钟在单位体积内产生的中子数正的增值过程。每秒钟在单位体积内产生的中子数正比于该
12、处的中子浓度比于该处的中子浓度u，从而可表示为，从而可表示为u(u(反映反映增值快慢增值快慢) )。研究厚度为。研究厚度为L L的层状铀块。求中子浓度的层状铀块。求中子浓度不随时间增加的最大厚度。不随时间增加的最大厚度。分析分析: (1) 该问题属于扩散问题。尽管铀块是空间该问题属于扩散问题。尽管铀块是空间体，但是可以当作一维问题处理，即考虑一个方体，但是可以当作一维问题处理，即考虑一个方向厚度即可！所以泛定方程为：向厚度即可！所以泛定方程为：(2) 铀块中有中子产生、散逸和吸收，但散逸与吸铀块中有中子产生、散逸和吸收，但散逸与吸收可以忽略。所以，边界条件为齐次。收可以忽略。所以，边界条件为齐
13、次。52(3) 初始条件可以一般假设。初始条件可以一般假设。解：定解问题为：解：定解问题为：通过分离变量得到解为：通过分离变量得到解为：53考虑考虑n=1的一级近似：的一级近似：1、当、当 时，浓度时，浓度u将随时间而增大，要将随时间而增大，要产生爆炸！产生爆炸！2、当、当 时，浓度时，浓度u将随时间而减小，要将随时间而减小，要熄灭！熄灭！3、当、当 时，浓度时，浓度u不随时间而变化，所不随时间而变化，所以，临界厚度为：以，临界厚度为：54注：上面问题还可以如下分析：注：上面问题还可以如下分析：临界状态就是稳恒状态，所以定解问题为：临界状态就是稳恒状态，所以定解问题为：得到解为：得到解为：再由边界条件得：再由边界条件得：55Thank You !
