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1、 第五节第五节 古典概古典概型型基础梳理基础梳理1. 基本事件在一次试验中可能出现的每一个 称为基本事件.2. 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概型.（1）所有的基本事件 ;（2）每个基本事件的发生都是 的.3. 古典概型的概率公式P(A)= .基本结果只有有限个等可能典例分析典例分析题型一题型一 有关古典概型概念有关古典概型概念【例1】判断下列命题正确与否.（1）先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是 ;（2）射击运动员向一靶心进行射击.试验的结果为：命中10环，命中9环,，命中0环，这
2、个试验是古典概型；（3）袋中装有大小均匀的四个红球，三个白球，两个黑球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；（4）4个人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同.解 所有命题均不正确.(1)应为4种结果，还有一种是“一枚反面，一枚正面”.（2）不是古典概型.因为命中10环，命中9环，命中0环不是等可能的.（3）摸到红球的概率为 ,白球的概率为 ,黑球的概率为 ,因此每种颜色的球被摸到的可能性不相同.（4）抽签有先有后，但每人抽到某号签的概率是相同的.其理由是：假设4号签为中奖签，甲先抽，抽到中奖签的概率为 ，乙接着抽，其抽中4号签的概率为 = .依此类推，丙、丁抽到4号签
3、的概率都为 .分析 弄清基本事件的个数，古典概型的两个特点及概率计算公式.学后反思 弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面.判断一次试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分;而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性.1. 下列试验中，是古典概型的有 . 种下一粒种子观察它是否发芽; 从规格直径为2500.6 mm的一批合格产品中任意抽一个，测量其直径d; 抛一枚均匀硬币，观察其出现正面或反面; 某人射击中靶或不中靶.举一反三举一反三解析: 根据古典概型的定义及特点知，中每个基本事件出现的可能性不相等.答案:
4、 题型二题型二 求基本事件数并求概率求基本事件数并求概率【例2】（2009维坊模拟）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球.问：（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？分析 分析基本事件时，抓住基本事件的特点，能够一一列举出来，进而求解.解 (1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2只球,有如下基本事件（如摸到1、2号球用（1，2）表示）:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),因此，共有10个基本事件.（2）上述10个基本事件发生的可能
5、性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白球（记为事件A），即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）= .学后反思 （1）对一些情景较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复.（2）取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，许多实际问题都可以归结到取球模型上去，特别是产品的抽样检验,解题时要分清“有放回”与“无放回”，“有序”与“无序”等条件的影响.关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致
6、，否则会导致错误.2. 做投掷两颗骰子的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗骰子出现的点数,y表示第二颗骰子出现的点数，写出：（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于8”的基本事件；举一反三举一反三（3）事件“出现点数相等”的基本事件；（4）事件“出现点数之和大于10”的基本事件.解析： （1）这个试验的基本事件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），
7、（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）.(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），(5,6),（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）.（3）“出现点数相等”包含以下6个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）. (4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：（5，6），（6，5），（6，6）.题型三题型三 古典概型问题古典概型问题【例3】同时抛掷
8、两枚骰子.（1）求“点数之和为6”的概率；（2）求“至少有一个5点或6点”的概率.分析 因为抛掷两枚骰子出现的点数的基本事件总数是有限的，而且每个基本事件发生的可能性相等,故是古典概型.因此，可以列出所有基本事件，利用古典概型求解.解 同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：共有36个不同的结果.（1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率P= .（2）方法一：从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率P= .方法二：“至少有一个5点或6点”的对立事件是“既没有5点又没有6点”.如上表“既没有5点又没有6点”的结果共有16个，则“既没有5点又没有
9、6点”的概率P= ,所以“至少有一个5点或6点”的概率为 .学后反思解 决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么，然后分清基本事件总数n与事件A所含的基本事件数m,因此要注意以下几个方面：(1)明确基本事件是什么；(2)试验是否是等可能性的试验；(3)基本事件总数是多少；(4)事件A包含多少个基本事件.举一反三举一反三3. (2009福建)袋中有大小、形状都相同的红、黑球各一个,现有放回地随机摸取三次,每次摸取一个球.试问:(1)一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求三次摸球所得总分为5的概率.解析： (1)一共有8种不同的结果,列举如
10、下:(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑).(2)记“三次摸球所得总分为5”为事件A.事件A包含的基本事件为:(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)事件A包含的基本事件数为3,由(1)可知,基本事件总数为8,所以事件A的概率为P(A)= .题型四题型四 复杂的古典概型的概率的求法复杂的古典概型的概率的求法【例4】(14分)袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次
11、被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球的个数；（2）求取球两次即终止的概率；（3）求甲取到白球的概率.分析 因为袋中共有7个球，基本事件总数是有限的，而且每个球被抽到是等可能的，因此是古典概型.另外要注意是不放回地摸球，每次摸出的球不能重复.解 (1)设袋中原有n个白球，且nN*,2n7,从袋中任取2个球都是白球的结果数为 ,3从袋中任取2个球的所有可能的结果为 .5由题意知. ,7所以n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2).8即袋中原有白球3个.（2）设事件A表示“取球2次即终止”.取球2次即终止，即乙第一次摸到的是白球而甲摸到的是黑球,则 .11（3）设事件B为“甲取到白球”，
12、“第i次取到白球”为事件Ai,i=1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取白球.12所以 .14学后反思 从本题可看出，概率问题的难点在于正确分析某事件所有可能结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件的概率只是解决问题的工具而已.另外该题涉及到无放回的抽样,对于无放回的抽样,每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次;与其相对应的是有放回的抽样，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复出现，且摸球可无限地进行下去.举一反三举一反三4. 在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，小布袋只有3个黄色、3个白色的球（其体积、质地
13、完全相同），旁边立着一块小黑板，写道：“摸球方法：从小布袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱”.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？解析： 把3个黄球标记为A、B、C，3个白球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C
14、23、123，共20个.（1）事件E=摸出的3个球为白球，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球P（E）= =0.05.（2）事件F=摸出的3个球为2个黄球1个白球，事件F包含的基本事件有9个，P（F）= =0.45.(3)事件G=摸出的3个球为同一颜色=摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球，P（G）= =0.1.假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次,不发生有90次,则一天可赚901-105=40,所以每月可赚1 200元.【例】曲线C的方程为 ,其中m、n1,2,3,4,5,6,事件A=方程 表示焦点在x轴上的椭圆,那么P(A)= .
15、 易错警示易错警示错解 由已知条件知，方程 表示的曲线包括焦点在x轴上的椭圆和焦点在y轴上的椭圆两种，故所求的概率为 .错解分析 事件A所包含的基本事件的个数搞错.若仔细审题，我们可发现：当m、n1,2,3,4,5,6时，若方程为 表示的曲线是椭圆，则焦点在x轴和y轴上的椭圆是等可能出现的,其概率确实为12.但由题意知,方程 表示的曲线可以是椭圆，也可以是圆（只需要m、n取同一个数即可）.正解 方程 表示的曲线共有66=36(种)，而方程 表示焦点在x轴上的椭圆的个数为5+4+3+2+1=15.故P（A）= .考点演练考点演练10. 袋中有3只白球和a只黑球，从中任取2只，全是白球的概率为 ,
16、求a的值.解析： 分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5,，a+3号，从中任取2只,有如下基本事件（1，2），（1，3），（1，a+3）；（2，3），（2，4），（2,a+3）;（a+2,a+3）,共（a+2）+(a+1)+1= 个，“全部是白球”记为事件A，事件A有(1,2),(1,3),(2,3)共3个，所以 ,解得a=4.11. 把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,试就方程组 ax+by=3, x+2y=2,解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率； （2）求方程组只有正数解的概率.解析： 事件（a,b）的基本事件共有36个.由方程组
17、ax+by=3, x+2y=2 可得 (2a-b)x=6-2b, (2a-b)y=2a-3.(1)方程组只有一个解，需满足2a-b0,即b2a;而b=2a的事件有（1，2），（2，4），（3，6）共3个，所以方程组只有一个解的概率为P= . (2)方程组只有正数解，需b-2a0且 ,即 2ab, a32, b3 或 2ab, a32, b3.其包含的事件有13个：(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(1,5),(1,6),因此所求的概率为 .12. (2009天津)为了了解某工厂开展群众体育活动的情
18、况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.(1)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;(2)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.解析： (1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数之比为 ,所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设 , 为在A区中抽得的2个工厂, , , 为在B区中抽得的3个工厂, , 为在C区中抽得的2个工厂,这7个工厂中随机地抽取2个,全部的可能结果有 种,随机抽取的2个工厂至少有一个来自A区
19、的结果有 , , , , , , , , , ,共有 11种.所以所求的概率为 第三节第三节 线性回归方线性回归方程程基础梳理基础梳理1. 两个变量的线性相关能用直线bx+a近似地表示的相关关系叫做线性相关关系.一般地,设有n对观察数据如下：当a、b使Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2取得最小值时，方程=bx+a为拟合这n对数据的线性回归方程.xx1x2xnyy1y2yn2. 线性回归方程（1）最小二乘法求回归直线使得样本数据的点到回归直线的 最小的方法叫做最小二乘法.距离的平方和（2）线性回归方程 方程=bx+a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（
20、x1,y1）,(x2,y2),(xn,yn)的线性回归方程,其中a,b是待定参数.典例分析典例分析题型一题型一 相关关系的判断相关关系的判断【例1】下列两个变量之间的关系是相关关系的是-. 降雪量与交通事故发生率; 单位面积产量为常数时，土地面积与产量; 日照时间与水稻的亩产量; 电压一定时，电流与电阻.分析 函数关系和相关关系都是指两个变量之间的关系，函数关系是两变量之间的一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系.解 中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系;中两个变量是相关关系,降雪量相同的不同地段，交通事故的发生率也不同;中的两个变量是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的
21、亩产.学后反思 判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系，关键是判断两个变量间的关系是否是确定的,若确定，则是函数关系；若不确定，再判断是否线性相关.判断两个变量之间有无线性相关关系，最简便可行的方法是绘制散点图.散点图是由数据点分布构成的,是分析研究两个变量相关的重要手段，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两变量是线性相关的.典例分析典例分析题型一题型一 相关关系的判断相关关系的判断【例1】下列两个变量之间的关系是相关关系的是-. 降雪量与交通事故发生率; 单位面积产量为常数时，土地面积与产量; 日照时间与水稻的亩产量; 电压一定时，电流与电阻.分析 函数关系和相关关系都
22、是指两个变量之间的关系，函数关系是两变量之间的一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系.解 中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系;中两个变量是相关关系,降雪量相同的不同地段，交通事故的发生率也不同;中的两个变量是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产.学后反思 判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系，关键是判断两个变量间的关系是否是确定的,若确定，则是函数关系；若不确定，再判断是否线性相关.判断两个变量之间有无线性相关关系，最简便可行的方法是绘制散点图.散点图是由数据点分布构成的,是分析研究两个变量相关的重要手段，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两
23、变量是线性相关的.1. 有五组变量：汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；平均日学习时间和平均学习成绩；某人每日吸烟量和其身体健康情况;正方形的边长和面积；汽车的重量和百公里耗油量.其中两个变量成正相关的是 .举一反三举一反三解析： 由相关关系的有关概念可知正相关，为负相关，为函数关系.答案： 【例2】下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量:15 20 25 30 35 40 45水稻产量:320 330 360 410 460 470 480（1）将上述数据制成散点图；（2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？分析
24、 判断变量间是否是线性相关，一种常用的简便可行的方法就是作散点图.解 （1）散点图如下：（2）从图中可以发现,当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长.学后反思 散点图是由大量数据点分布构成的，是定义在具有相关关系的两个变量基础之上的.对于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地分析它们有无关系及关系的密切程度.2. 下表是某地的年降雨量（mm）与年平均气温（）的数据资料，两者是线性相关关系吗？求线性回归方程有意义吗？举一反三举一反三年平均气温（）12.511
25、2.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量(mm)748542507813574701432解析： 以x轴为年平均气温,y轴为年降雨量，可得相应的散点图如图所示.因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合.如果用公式求线性回归方程也是没有意义的.题型二题型二 求线性回归方程求线性回归方程【例3】在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：由资料看y对x呈线性相关，试求线性回归方程.温度（x）010205070溶解度（y）66.776.085.0112.3128.0解 a= =93.6-0.8
26、80 93067.173.所求线性回归方程为=0.880 9x+67.173.学后反思 因为y对x呈线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问题.（1）画出散点图后，即可观察两个变量是否相关.若知道x与y呈线性相关关系，则无需进行相关性检验，否则应进行相关性检验.如果它们之间相关关系不显著，即使求出回归直线也毫无意义.（2）利用公式： 来计算回归系数，有时常制表对应出xiyi,xi2,以便于求和.举一反三举一反三3. 某中学期中考试后，对成绩进行分析,从某班中选出5名学生的总成绩和外语成绩如下表：则外语成绩对总成绩的线性回归方程是 .学科 12345总成绩（x） 48238342136436
27、2外语成绩（y） 7865716461学生解析： 设回归直线方程是=bx+a，将以上数据代入解得 b0.132, a14.683, 所以线性回归方程为 =0.132x+14.683.答案： =0.132x+14.683题型三题型三 利用线性回归方程对总体进行估计利用线性回归方程对总体进行估计【例4】(14分)下表是几个国家近年来的男性与女性的平均寿命（单位：岁）情况：国家男性平均寿（x）女性平均寿命（y）调查年号中国 70 73 2000韩国 73.4 80.4 2002马来西亚 71 75.5 2003美国 78.1 82.6 2005法国 75.5 82 2001日本 78.6 85.6
28、2004（1）如果男性与女性的平均寿命近似成线性关系,求它们之间的线性回归方程；(2)科学家预测，到2075年，加拿大男性平均寿命为87岁.现请你预测，到2075年，加拿大女性的平均寿命（精确到0.1岁）.分析 （1）本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出线性回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.（2）求线性回归方程的关键：计算出 、 、 、 .解 列表如下：i 1 2 3 4 5 6xi 70 73.4 71 78.175.5 78.6yi 73 80.4 75.5 82.682
29、 85.6Xiyi51105901.36 5360.5 6451.06 61916728.16 可得 =35 742.08, =33 306.38, 74.43, =79.85, 5 539.82.8(1)设所求线性回归方程为 =bx+a,则 .10即所求线性回归方程为 =1.23x-11.7.（2）当x=87时， =1.2387-11.7=95.3195.312所以可预测，到2075年，加拿大女性的平均寿命为95.3岁.14学后反思 通常在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验;在确认具有线性相关关系后，再求其线性回归方程.一般步骤为：作出散点图，判断是否线性相
30、关；若是，则用公式求出a、b，写出线性回归方程；据方程进行估计.4. 某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取10户进行调查，其结果如下：举一反三举一反三月人均收入x(元） 300 390 420 504 570700 760 800 8501080月人均生活费y（元）255 324 330 345 450520 580 650 700750利用上述资料：（1）画出散点图;(2)如果变量x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；（3）测算人均收入为280元时，人均生活费支出应为多少元？解析： （1）散点图如图所示.（2） =637.4, =490.4,a=
31、-b =490.4-0.707 61637.439.369 39, =0.707 61x+39.369 39.(3)把x=280代入，得y237.5元,测算人均收入为280元时，人均生活费支出应为237.5元.考点演练考点演练10. 某化工厂为预测产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系,现取8对观测值,计算得 , , , ,求其线性回归方程.解析： 代入公式得 , =11.47+2.62x.11.要分析学生初中升学考试的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，记录他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下表：学生编号入学成绩(x)高
32、一期末考试成绩（y） 1 63 65 2 67 78 3 45 52 4 88 82 5 81 92 6 71 89 7 52 73 8 99 98 9 58 56 10 76 75(1)画出散点图； （2）求出线性回归方程；（3）若某学生入学的数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩（保留两位有效数字）.解析： （1）入学成绩（x）与高一期末考试成绩（y）两组变量的散点图如图.从散点图看，这两组变量具有线性相关关系；（2）设线性回归方程为 =a+bx,在两组变量具有显著的线性相关关系的情况下, 因此所求的线性回归方程是 =22.410 80+0.765 56x. （3）若某学生入学的数
33、学成绩为80分，代入式可求得84,即这个学生高一期末数学考试成绩的预测值为84分.12. 某产品的广告支出x与销售收入y之间有下表所对应的数据.（1）画出表中数据的散点图;（2）求出y对x的回归直线方程.广告支出x(万元） 1234销售收入y(万元） 12284256解析: （1）散点图如下：（2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下面表格，以备计算a、b.序号 xYxy1112112222845633429126445616224合计 1013830418于是 , , , 代入公式,得 , 故y对x的回归直线方程为 ，其中回归系数b=14.6,它的意义是:广告支出每增加1万元，销售收入y平均增加14.6万元.
