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1、用频率估计概率 25.325.3 利用频率估计概率利用频率估计概率 1新课导入新课导入 同一条件下同一条件下, ,在大量重复试验中在大量重复试验中, ,如如果某随机事件果某随机事件A A发生的频率稳定在某个发生的频率稳定在某个常数常数p p附近附近, ,那么这个常数就叫做事件那么这个常数就叫做事件A A的概率的概率. .P(A)= P(A)= m mn n2问题问题( (两题中任选一题）两题中任选一题）: :. .掷一次骰子，向上的一面数字是的掷一次骰子，向上的一面数字是的概率是概率是_ .某射击运动员射击一次，命中靶心的某射击运动员射击一次，命中靶心的概率是概率是_命中靶心与未命中靶心发生可
2、能性不相等命中靶心与未命中靶心发生可能性不相等试验的结果不是有限个的试验的结果不是有限个的各种结果发生的可能性相等各种结果发生的可能性相等试验的结果是有限个的试验的结果是有限个的等可能事件等可能事件3某林业部门要考查某种幼树在一定条件下某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率的移植成活率, ,应采用什么具体做法应采用什么具体做法? ?估计移植成活率估计移植成活率移植总数（移植总数（n）成活数（成活数（m）108成活的频率成活的频率0.8( )50472702350.870400369750662150013350.890350032030.91570006335900080731400
3、0126280.9020.940.9230.8830.9050.897是实际问题中的一种概率是实际问题中的一种概率, ,可理解为成活的概率可理解为成活的概率. .4数学史实数学史实人们在长期的实践中发现人们在长期的实践中发现, ,在随机试验中在随机试验中, ,由于众多微小的偶然因素的影响由于众多微小的偶然因素的影响, ,每次测得的结每次测得的结果虽不尽相同果虽不尽相同, ,但大量重复试验所得结果却但大量重复试验所得结果却能反能反应客观规律应客观规律. .这称为这称为大数法则大数法则, ,亦称亦称大数定律大数定律. . 由频率可以估计概率是由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅各布由瑞士数学家雅各布
4、伯努伯努利（利（1654165417051705）最早阐明）最早阐明的，因而他被公认为是概率的，因而他被公认为是概率论的先驱之一论的先驱之一频率稳定性定理频率稳定性定理5估计移植成活率估计移植成活率由下表可以发现，幼树移植成活的频率在由下表可以发现，幼树移植成活的频率在左右摆动，左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显愈加明显. .所以估计幼树移植成活的概率为所以估计幼树移植成活的概率为0.90.9移植总数（移植总数（n）成活数（成活数（m）108成活的频率成活的频率0.8( )50472702350.87040036975066215001335
5、0.890350032030.915700063359000807314000126280.9020.940.9230.8830.9050.8976由下表可以发现，幼树移植成活的频率在由下表可以发现，幼树移植成活的频率在左左右摆动，右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显明显. .所以估计幼树移植成活的概率为所以估计幼树移植成活的概率为0.90.9移植总数（移植总数（n）成活数（成活数（m）108成活的频率成活的频率0.8( )50472702350.870400369750662150013350.890350032030.9157000633
6、59000807314000126280.9020.940.9230.8830.9050.8971.1.林业部门种植了该幼树林业部门种植了该幼树10001000棵棵, ,估计能估计能成活成活_棵棵. .2.2.我们学校需种植这样的树苗我们学校需种植这样的树苗500500棵来绿棵来绿化校园化校园, ,则至少向林业部门购买约则至少向林业部门购买约_棵棵. .900556751.5450044.5745039.2440035.3235030.9330024.2525019.4220015.151500.10510.51000.1105.5050柑橘损坏的频率（柑橘损坏的频率（ ）损坏柑橘质量（损坏柑
7、橘质量（m）/千克千克柑橘总质量（柑橘总质量（n）/千克千克nm完成下表完成下表, ,0.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103某水果公司以某水果公司以2 2元元/ /千克的成本新进了千克的成本新进了10 00010 000千克柑橘千克柑橘, ,如如果公司希望这些柑橘能够获得利润果公司希望这些柑橘能够获得利润5 0005 000元元, ,那么在出售柑橘那么在出售柑橘( (已去掉损坏的柑橘已去掉损坏的柑橘) )时时, ,每千克大约定价为多少元比较合适每千克大约定价为多少元比较合适? ? 为简单起见，我们能否直接把表中的为简单起见，我们能否直接把表中的5005
8、00千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑橘损坏的概率？橘损坏的概率？利用你得到的结论解答下列问题利用你得到的结论解答下列问题: :8根据频率稳定性定理，在要求精度不是很高的情况下，根据频率稳定性定理，在要求精度不是很高的情况下，不妨用表中的最后一行数据中的频率近似地代替概率不妨用表中的最后一行数据中的频率近似地代替概率. .51.5450044.5745039.2440035.3235030.9330024.2525019.4220015.151500.10510.51000.1105.5050柑橘损坏的频率（柑橘损坏的频率（ ）损坏柑橘质量（损坏柑橘质量（m）
9、/千克千克柑橘总质量（柑橘总质量（n）/千克千克nm0.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103 为简单起见，我们能否直接把表中的为简单起见，我们能否直接把表中的500500千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑橘损坏的概率？橘损坏的概率？完成下表完成下表, ,利用你得到的结论解答下列问题利用你得到的结论解答下列问题: :91.1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 0001 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是鱼、鲫鱼出现的频率是31%31%
10、和和42%42%，则这个，则这个水塘里有鲤鱼水塘里有鲤鱼_尾尾, ,鲢鱼鲢鱼_尾尾. .3102702.2.某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了厂就笔袋的颜色随机调查了5 0005 000名中学生，名中学生，并在调查到并在调查到1 0001 000名、名、2 0002 000名、名、3 0003 000名、名、4 0004 000名、名、5 0005 000名时分别计算了各种颜色名时分别计算了各种颜色的频率，绘制折线图如下：的频率，绘制折线图如下：做一做做一做10(1
11、)(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？ (2) (2)你能你能估计估计调查到调查到10 00010 000名同学时，红色的频率是多少吗？名同学时，红色的频率是多少吗？估计调查到估计调查到10 00010 000名同学时，红色的频率大约仍是名同学时，红色的频率大约仍是40%40%左右左右. . 随着调查次数的增加，红色的频率基本稳定在随着调查次数的增加，红色的频率基本稳定在40%40%左右左右. . (3) (3)若你是该厂的负责人若你是该厂的负责人, ,你将如何安排生产各种颜色的产量？你将如何安排生产各种颜色的产量？ 红、黄、蓝、绿及其它颜色的
12、生产比红、黄、蓝、绿及其它颜色的生产比例大约为例大约为4:2:1:1:2 . 4:2:1:1:2 . 113.3.如图如图, ,长方形内有一不规则区域长方形内有一不规则区域, ,现在玩投现在玩投掷游戏掷游戏, ,如果随机掷中长方形的如果随机掷中长方形的300300次中，有次中，有100100次是落在不规则图形内次是落在不规则图形内. .【拓展】【拓展】 你能设计一个利用频你能设计一个利用频率估计概率的实验方法估率估计概率的实验方法估算该不规则图形的面积的算该不规则图形的面积的方案吗方案吗? ?(1)(1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？你能估计出掷中不规则图形的概率吗？(2)(2)若该长方形
13、的面积为若该长方形的面积为150,150,试估计不规则试估计不规则 图形的面积图形的面积. .12了解了一种方法了解了一种方法-用多次试验频用多次试验频率率 去估计概率去估计概率体会了一种思想：体会了一种思想：用样本去估计总体用样本去估计总体用频率去估计概率用频率去估计概率弄清了一种关系弄清了一种关系-频率与概率的关系频率与概率的关系当当试验次数很多或试验时样本容量足够大试验次数很多或试验时样本容量足够大时时, ,一件事件发生的一件事件发生的频率频率与相应的与相应的概率概率会非常会非常接近接近. .此时此时, ,我们可以用一件事件发生的我们可以用一件事件发生的频率频率来来估计这一事件发生的估计
14、这一事件发生的概率概率. .13则估计油菜籽发芽的概率为则估计油菜籽发芽的概率为则估计油菜籽发芽的概率为则估计油菜籽发芽的概率为0.9152.某射击运动员在同一条件下练习射击,结果如下表所示:射击次数n102050100200500击中靶心次数m 8194492178452击中靶心频率m/n(1)计算表中击中靶心的各个频率并填入表中.(2)这个运动员射击一次,击中靶心的概率多少0.80.950.88 0.920.890.940.916例例1.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表： 当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发芽的
15、频率籽发芽的频率 接近于常数接近于常数0.9，于是我们，于是我们说它的说它的概率是概率是0.90.9。17例例2.2. 对某电视机厂生产的电视机进行抽样对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：检测的数据如下： 抽取抽取台数台数501002003005001000优等优等品数品数4092192285478954（1）计算表中优等品的各个频率；）计算表中优等品的各个频率；（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？ 0.80.920.960.950.9560.954概率是概率是0.9频率频率18 当试验次数很大时,一个事件发生频率也稳定在相应的概率附近.
16、因此,我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.191.1.依依据据闯闯关关游游戏戏规规则则，请请你你探探究究“闯闯关关游游戏戏”的奥秘：的奥秘：（1 1）用列举的方法表示有可能的闯关情况；）用列举的方法表示有可能的闯关情况；（2 2）求出闯关成功的概率）求出闯关成功的概率 。课堂练习课堂练习20左右解解（1 1）所有可能的闯关情况：（左所有可能的闯关情况：（左1 1，右，右1 1）（左（左1 1，右，右2 2）；（左）；（左2 2，右，右1 1）（左）（左2 2，右，右2 2）。）。（2 2）闯关成功的概率是）闯关成功的概率是 。21 2.某水果公司以2元/千克的成
17、本新进了10000千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？分析：如果估计这个概率为0.1，则柑橘完好的概率为0.9。22解：根据估计的概率可以知道，在解：根据估计的概率可以知道，在1000010000千克柑千克柑橘中完好柑橘的质量为橘中完好柑橘的质量为100000.9=9000100000.9=9000千克，千克，完好柑橘的实际成本为完好柑橘的实际成本为设每千克柑橘的销价为设每千克柑橘的销价为x x元，则应有元，则应有（x-2.22x-2.22）9000=50009000=5000解得解得 x2.8 x2.8因
18、此，出售柑橘时每千克大约定价为因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.82.8元可获元可获利润利润50005000元。元。233.3.如如图图，小小明明、小小华华用用4 4张张扑扑克克牌牌（方方块块2 2、黑黑桃桃4 4、黑黑桃桃5 5、梅梅花花5 5）玩玩游游戏戏，他他俩俩将将扑扑克克牌牌洗洗匀匀后后，背背面面朝朝上上放放置置在在桌桌面面上上，小小明明先先抽，小华后抽，抽出的牌不放回。抽，小华后抽，抽出的牌不放回。（1 1）若小明恰好抽到了黑桃）若小明恰好抽到了黑桃4 4。请在下边框中绘制这种情况的树状图；请在下边框中绘制这种情况的树状图；求小华抽出的牌面数字比求小华抽出的牌面数字比4 4大的概
19、率。大的概率。（2 2）小明、小华约定：若小明抽到的牌面数字）小明、小华约定：若小明抽到的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明负。你比小华的大，则小明胜；反之，则小明负。你认为这个游戏是否公平？说明你的理由。认为这个游戏是否公平？说明你的理由。24黑桃黑桃5 5梅花梅花5 5（4 4，黑桃，黑桃5 5）（4 4，梅花，梅花5 5）小华抽出的牌比小华抽出的牌比4 4大的概率是大的概率是解解：（：（1 1）25（2 2）公平，小明与小华抽到的牌的所有情）公平，小明与小华抽到的牌的所有情况是（况是（2 2，4 4）；（）；（2 2，黑桃，黑桃5 5）；（）；（2 2，梅花，梅花5 5）；（）；
20、（4 4，2 2）；（）；（4 4，黑桃，黑桃5 5）；（）；（4 4，梅花，梅花5 5）；（黑桃）；（黑桃5 5，2 2）；（黑桃）；（黑桃5 5，4 4）；（黑）；（黑桃桃5 5，梅花，梅花5 5）；（梅花）；（梅花5 5，2 2）；（梅花）；（梅花5 5，4 4）；（梅花）；（梅花5 5，黑桃，黑桃5 5）。所有的小明胜出）。所有的小明胜出的概率等于小华胜出的概率的概率等于小华胜出的概率= =26概率伴随着我你他1.1.在有一个在有一个1010万人的万人的小镇小镇, ,随机调查了随机调查了20002000人人, ,其中有其中有250250人人看中央电视台的早间看中央电视台的早间新闻新闻.
21、 .在该镇随便问在该镇随便问一个人一个人, ,他看早间新他看早间新闻的概率大约是多少闻的概率大约是多少? ?该镇看中央电视台该镇看中央电视台早间新闻的大约是多早间新闻的大约是多少人少人? ?解解: :根据概率的意义根据概率的意义, ,可以可以认为其概率大约等于认为其概率大约等于250/2000=0.125.250/2000=0.125.该镇约有该镇约有1000000.125=125001000000.125=12500人看中央电视台的早人看中央电视台的早间新闻间新闻. . 例例27课堂检测课堂检测1.经过大量试验统计,香樟树在我市的移植的成活率未95%.(1) 丁家营镇在新村建设中栽了4000
22、株香樟树,则成活的香樟树大约是_株.(2)盐池河镇在新村建设中要栽活2850株香樟树,需购幼树_株.282.某射击运动员在同一条件下练习射击,结果如下表所示:射击次数n102050100200500击中靶心次数m 8194492178452击中靶心频率m/n(1)计算表中击中靶心的各个频率并填入表中计算表中击中靶心的各个频率并填入表中. (2)这个运动员射击一次这个运动员射击一次,击中靶心的概率多少击中靶心的概率多少293.一个口袋中放有20个球,其中红球6个,白球和黑球个若干个,每个球出了颜色外没有任何区别.(1)小王通过大量反复实验(每次取一个球,放回搅匀后再取)发现,取出黑球的概率稳定在
23、1/4左右,请你估计袋中黑球的个数.(2)若小王取出的第一个是白球,将它放在桌上,从袋中余下的球中在再任意取一个球,取出红球的概率是多少?304 为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉50条鱼做记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后，再捕捞第二次，鱼共200条，有10条做了记号，则估计湖里有多少条鱼 -31升华提高升华提高了解了一种方法了解了一种方法-用多次试验频率去估计概率用多次试验频率去估计概率体会了一种思想：体会了一种思想：用样本去估计总体用样本去估计总体用频率去估计概率用频率去估计概率弄清了一种关系弄清了一种关系-频率与概率的关系频率与概率的关系当当试验次数很多
24、或试验时样本容量足够大试验次数很多或试验时样本容量足够大时时, ,一件事件发生的一件事件发生的频率频率与相应的与相应的概率概率会非常接近会非常接近. .此时此时, ,我们可以用一件事件发生的我们可以用一件事件发生的频频率率来估计这一事件发生的来估计这一事件发生的概率概率. .32结束寄语结束寄语: 概率是对随机现象的一种数学描述概率是对随机现象的一种数学描述, ,它它可以帮助我们更好地认识随机现象可以帮助我们更好地认识随机现象, ,并对生并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策活中的一些不确定情况作出自己的决策. . 从表面上看，随机现象的每一次观察从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是偶然的，但多次观察某个随机现象，结果都是偶然的，但多次观察某个随机现象，立即可以发现：在大量的偶然之中存在着必立即可以发现：在大量的偶然之中存在着必然的规律然的规律. .33习题答案习题答案1.会稳定在某个常数附近会稳定在某个常数附近.2. 略略.3. （1）略）略.3435
