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1、系统数学模型的时域表示本课程中我们主要讨论本课程中我们主要讨论输入、输出描述法输入、输出描述法。 元一阶微分方程元一阶微分方程状态变量描述状态变量描述阶微分方程阶微分方程一元一元输入输出描述输入输出描述 : :NN2.1 2.1 引言引言系统分析过程经经典典法法: :前前面面电电路路分分析析课课里里已已经经讨讨论论过过，但但与与 (t)有关的问题有待进一步解决有关的问题有待进一步解决 h(t)；卷卷积积积积分分法法: : 任任意意激激励励下下的的零零状状态态响响应应可可通通过过冲激响应来求。冲激响应来求。( (新方法新方法) ) 变换域法变换域法利用卷积积分法求解利用卷积积分法求解零状态零状态
2、可利用经典法求可利用经典法求零输入零输入双零法双零法经典法经典法解方程解方程网络拓扑约束网络拓扑约束根据元件约束根据元件约束列写方程列写方程:,:本章主要内容线性系统完全响应的求解；线性系统完全响应的求解；冲激响应冲激响应h(t)的求解；的求解；卷积的图解说明；卷积的图解说明；卷积的性质；卷积的性质；零状态响应零状态响应。主要内容微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法2.2 2.2 微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解一微分方程的列写若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变
3、，则该系统可以用线性线性常系数微分方程常系数微分方程来描述。来描述。对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是根据元件特性约束元件特性约束和和网络拓扑网络拓扑约束约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。 元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。例例2-1
4、2-1电感电感电阻电阻电容电容根据根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。 求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。 RRiLLiCciab+ +- -( () )( () )tvRtiR1= =( ( ) )( ( ) ) d1 - -= =tLvLti( ( ) )( ( ) )ttvCtiCdd= =( () )( () )( () )( () )titititiCLRS= =+ + +( () )( () )( () )( () )tti
5、tvLttvRttvCdd1dd1ddS22= =+ + +二n 阶线性时不变系统的描述 一一个个线线性性系系统统，其其激激励励信信号号 与与响响应应信信号号 之之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为均为常数，此方程为常系数的常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCt
6、trCmmmmmmnnnnnn+ + + + += =+ + + + +- - - - - - -LL三求解系统微分方程的经典法：齐次解+特解系统的特征方程为系统的特征方程为特征根特征根因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为的齐次解。的齐次解。例例2-22-2：求微分方程求微分方程例例2-32-3 如果已知如果已知 求此方程的齐次解和特解。求此方程的齐次解和特解。 给定微分方程式给定微分方程式齐次解形式为：齐次解形式为：特征方程为：特征方程为：特征根为：特征根为：几种典型激励函数相应的特解激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解(2)(2)求特解求特解代入全解代入全解r(t)
7、 ，得：，得： 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应，响应为为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件齐次解：由特征方程齐次解：由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式注意注意重根重根情况处理方法。情况处理方法。特特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程代入原方程，比较系数，比较系数 定出特解。定出特解。 初始条件的确定初始条件的确定是此课程要解决的问题。是此课程要解决的问题。全全 解：解：齐次解齐次解+特解特解，由，由初始条件初始条件定
8、出齐次解定出齐次解 。 = =nktkkA1ea a三求解系统微分方程的经典法2.4 2.4 零输入响应和零状零输入响应和零状态响应态响应系统响应划分系统响应划分对系统线性的进一步认识对系统线性的进一步认识一、系统响应划分自由响应（齐次解）强迫响应（特解）自由响应（齐次解）强迫响应（特解）(Natural + forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state) 也称固有响应，由系统本身特性决定，与也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于外加激励
9、形式无关。对应于齐次解齐次解。 形式取决于外加激励。对应于形式取决于外加激励。对应于特解特解。 是指激励信号接入一段时间内，完全响应是指激励信号接入一段时间内，完全响应中中暂时暂时出现的有关成分，随着时间出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。增加，它将消失。 由由完全响应中减去暂态响应完全响应中减去暂态响应分量即得稳态分量即得稳态响应分量。响应分量。 (1)(1)自由响应：自由响应：(2)(2)暂态响应：暂态响应：稳态响应：稳态响应：强迫响应：强迫响应：各种系统响应定义 没有外加激励信号没有外加激励信号的作用，只由起始的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。状态（起始时刻系
10、统储能）所产生的响应。 起始状态等于零起始状态等于零（不考虑原始时刻系不考虑原始时刻系统储能的作用），由系统的外加激励信号产生的响应。统储能的作用），由系统的外加激励信号产生的响应。 (3)(3)零输入响应：零输入响应：零状态响应零状态响应：各种系统响应定义例例2-4：已知系统方程为：已知系统方程为起始状态为：起始状态为：输入为：输入为：求系统自由响应与强迫响应，零输入响应与零状态响应求系统自由响应与强迫响应，零输入响应与零状态响应暂态响应与稳态响应暂态响应与稳态响应解：特征根为解：特征根为-3，齐次解为，齐次解为由输入得特解为由输入得特解为 1全解为：全解为：代入起始状态，得全解为：代入起始
11、状态，得全解为：自由响应自由响应 强迫响应强迫响应零输入响应为：零输入响应为：零状态响应形式为：零状态响应形式为：代入代入零零状态，得：状态，得：由起始状态得由起始状态得全解为：全解为：例例求零输入响应和零状态响应及系统全响应。求零输入响应和零状态响应及系统全响应。解：零输入响应为：解：零输入响应为：零状态响应为：零状态响应为：输入为输入为 时，起始状态不变，时，起始状态不变，全响应为：全响应为：例例求零输入响应和零状态响应及系统全响应。求零输入响应和零状态响应及系统全响应。零状态响应为：零状态响应为：起始条件为起始条件为 ，输入不变，仍为，输入不变，仍为解：零输入响应为：解：零输入响应为：由
12、起始状态得由起始状态得全响应为：全响应为：二、对系统线性的进一步认识由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。(1)(1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。响应可分解为：零输入响应零状态响应。(2)(2)零零状状态态线线性性：当当起起始始状状态态为为零零时时，系系统统的的零零状状态态响响应对于各激励信号呈线性。应对于各激励信号呈线性。(3)(3)零输入线性零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。于各起始状态呈线性。 零状态响应为零状态响应为(1)(1)设零输入响应为设零输入响应为,
13、 , 为大于零的实常数。为大于零的实常数。(2)(2)初始条件增大初始条件增大1 1倍，当激励为倍，当激励为求：求：(1)(1)初始条件不变，当激励为初始条件不变，当激励为 时的时的全响应全响应 当激励为当激励为 时，其全响应为时，其全响应为已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为当激励为 时，其全响应为时，其全响应为例例2-52-5时的全响应时的全响应则有则有 解（续）解得解得2.5 2.5 冲激响应和阶跃响冲激响应和阶跃响应应冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的作用下产生的零状态零状态响应，响应，
14、称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。表示。 一冲激响应1定义 2一阶系统的冲激响应3n阶系统的冲激响应H( ( ) )t ( ( ) )th2.一阶系统的冲激响应列系统微分方程：列系统微分方程：例2-6求下图求下图RC电路的冲激响应。电路的冲激响应。齐次方程齐次方程)(t C+ +- -)(tvC)(tiCR奇异函数项相平衡原理代入原方程代入原方程整理，方程左右奇异函数项系数相平衡整理，方程左右奇异函数项系数相平衡 已知方程已知方程冲激响应冲激响应求导求导注意！注意！波形)()(thtvC= =tRC1Oh(t)判断系统稳定性：判断系统稳定
15、性：1. h(t)波形衰减，则系统稳定；波形衰减，则系统稳定；2. h(t)波形等幅震荡，则系统临界稳定；波形等幅震荡，则系统临界稳定；3. h(t)波形无限增长，则系统不稳定；波形无限增长，则系统不稳定；h(t)判断系统因果性：判断系统因果性：t0时，时，h(t)=0，则系统因果。，则系统因果。例例2-7 2-7 求系统的冲激响应。求系统的冲激响应。 解：解：求特征根求特征根冲激响应冲激响应将将e(t) (t)，r(t)h(t)带带u(t)根据系数平衡，得根据系数平衡，得求系统冲激响应。求系统冲激响应。解：输入为冲激信号，原方程可改为：解：输入为冲激信号，原方程可改为：冲激响应为：冲激响应为
16、：例例2-82-8代入方程，得：代入方程，得：响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)3 3n阶系统的冲激响应阶系统的冲激响应(1)冲激响应的数学模型对于线性时不变系统对于线性时不变系统, ,可以用一高阶微分方程表示可以用一高阶微分方程表示 激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为m次次)令令 e(t)= (t) 则则 r(t)=h(t)(2)h(t)解答的形式解答的形式设特征根为简单根（无重根的单根）设特征根为简单根（无重根的单根） 由于由于 及其导数在及其导数在 时都为零，因而方程式右时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次端的自
17、由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。解的形式相同。 与与n, m相对大小有关相对大小有关 与特征根有关与特征根有关( () )t + + 0t总结总结冲激响应的求解至关重要。冲激响应的求解至关重要。冲激响应的定义冲激响应的定义零状态零状态；单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励下加同样的激励 ，看响应，看响应 ， 不同，说明其不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。用
18、用变换域变换域( (拉氏变换拉氏变换) )方法方法求求冲激响应和阶跃响应简捷冲激响应和阶跃响应简捷方便。方便。二阶跃响应二阶跃响应 系统的输入系统的输入 其响应为其响应为 。系统。系统方程的右端将包含阶跃函数方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，所以除了齐次解外，还有特解项。还有特解项。我们也可以根据线性时不变系统特性，利用我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与冲激响应与阶跃响应关系阶跃响应关系求阶跃响应。求阶跃响应。 系统在系统在单位阶跃单位阶跃信号作用下的信号作用下的零状态零状态响应，称为单响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。位阶跃响应，简称阶跃响应。1定义 H( ()
19、 )te( () )trH( () )tu( () )tg( () )( () )tute= =( () )( () )tgtr= =( () )tu2 2阶跃响应与冲激响应的关系阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足微、积分特性线性时不变系统满足微、积分特性阶跃响应是冲激响应的积分。阶跃响应是冲激响应的积分。一、用冲激函数表示任意信号一、用冲激函数表示任意信号tt2.2.卷积卷积0t0t0，其他，其他t0，其他，其他t0t当当连续变量连续变量 ，在时域中，把任意函数分解为无限多个冲激函数的叠加积分表示式在时域中，把任意函数分解为无限多个冲激函数的叠加积分表示式ttt多点抽样多点抽样一点抽
20、样一点抽样冲激函数的抽样性冲激函数的抽样性二、卷积积分求零状态响应二、卷积积分求零状态响应输入输入零状态响应零状态响应1.如果如果 是一个有始信号，是一个有始信号，2.因果系统：因果系统：0 f2(t- ) 右移右移t 0 f2(t- ) 左左移移-11t - -1两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二者乘积为0 0，即积分为，即积分为0 0O ( ( ) ) 1f111- - -1 t 1 时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限积分下限- -1，上限，上限t ，t 为移动时间为移动时间;O ( ( ) ) 1f111- -1 t 2即即1 t
21、2O ( ( ) ) 1f111- -2 t 4即即2 t 4O ( ( ) ) 1f111- -t 4即即t 4t- -3 1O ( ( ) ) 1f111- -卷积结果Ot( ( ) )tf1111- -Ot( ( ) )tf2323)(tgtO2421- -1卷积结果区间的确定A,BA,BC,DC,DA+C,B+DA+C,B+D一般规律：一般规律：上限上限 下限下限卷积结果区间卷积结果区间- -1+1例例2-11 求下列两函数卷积求下列两函数卷积用公式法解：用公式法解：总结求解响应的方法：求解响应的方法：时域经典法：时域经典法：双零法：双零法：零输入响应：零输入响应：零状态响应零状态响应
22、：完全解完全解=齐次解齐次解 + 特解特解解齐次方程，用起始条件求系数；解齐次方程，用起始条件求系数； 2.7 2.7 卷积的性质卷积的性质代数性质代数性质微分积分性质微分积分性质与冲激函数或阶跃函数的卷积与冲激函数或阶跃函数的卷积一代数性质1交换律3分配律2结合律系统并联运算系统并联运算系统级联运算系统级联运算1.系统级联：交换律系统级联，框图表示：系统级联，框图表示： 时域中，子系统级联时，可交换子系统级联顺序。时域中，子系统级联时，可交换子系统级联顺序。 )(tf)(2th)(1th)(tg)()()(12ththth* *= =)(tf)(1th)(2th)(tg)()()(21tht
23、hth* *= =2.系统级联：结合律系统级联，框图表示：系统级联，框图表示： 时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。冲激响应的卷积。 )(tf)(1th)(2th)(tg)()(1thtf* *)()()(21ththtf* * *)(tg)(tf)(th请用请用积分器积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。例例2-12 系统级联：交换律系统级联：交换律方程左端只保留输出的最高阶导数项方程左端只保留输出的最高阶导数项积分积分 n=2 次，使方程左端只剩下次，使方程左端只剩下r(t)
24、 项项系统框图系统框图系统框图系统框图 )(te )(tr +直接直接I型型+直接直接II型型对于线性时不变系统，对于线性时不变系统，子系统级联顺序可交子系统级联顺序可交换。换。66直接直接型所用的积分器最少，所以也称为正型所用的积分器最少，所以也称为正准型，将正准型的加法器相加即得简化的模准型，将正准型的加法器相加即得简化的模拟图。拟图。 r(t) e(t)+67直直接接型型+68直直接接型型+69 y(t) x(t)直接直接II型型)(tg)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th3.系统并联：分配律框图表示：框图表示： 子系统并联时，总系统的冲激响应等于子系统并联时，总系统的冲
25、激响应等于各各子系统冲子系统冲激响应之和。激响应之和。)(tg)(tf)(th例例2-132-13图图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应响应 如图如图(b)所示。求复合系统的冲激所示。求复合系统的冲激响应响应 ，并画出它的波形。，并画出它的波形。 (a)(b)解：解：如图（如图（c）所示）所示 X(c) ( () )th1( ( ) )th1( () )th2+ + +( () )tf( () )tyt( ( ) )th1O11t( ( ) )th2O112t( ( ) )thO1123二微分积分性质微分性质积分性质联合使用微分性质积分性
26、质联合使用利用微积分性质可简化卷积运算。利用微积分性质可简化卷积运算。g(t)的积分的积分三.与冲激函数或阶跃函数的卷积例例2-14 求下列两函数卷积求下列两函数卷积解：解：例例2-152-1511111- -)(tf)(thtt2OO1tO11t2( ( ) )(1tf- -)(th O)1()1(- -O12 O1211- - t)(tg)()1( - -f( t)ht3) )1( () )1- -2.9利用卷积积分分析通信系统多径失真的消除方法两系统的冲激响应为：两系统的冲激响应为：希望建立一个逆系统，使输出为希望建立一个逆系统，使输出为e(t)：屡试法，设屡试法，设设设以此类推，得以此类推，得
