小学奥数讲座

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1、小学奥数讲座2014年2月10日第1讲 加减法应用题 n n用数学方法解决人们生活和工作中的实际问题就产生了通常所说的“应用题”。n n应用题由已知的“条件”和未知的“问题”两部分构成，而且给出的已知条件应能保证求出未知的问题。n n这一讲主要介绍利用加、减法解答的简单应用题。n n例例1 1 小玲家养了46只鸭子，24只鸡，养的鸡和鹅的总只数比养的鸭多5只。小玲家养了多少只鹅？n n解：解：将已知条件表示为下图：表示为算式是：24+？=46+5。 由此可求得养鹅 (46+5)-24=27(只)。答：养鹅27只。 若例1中鸡和鹅的总数比鸭少5只(其它不变)，则已知条件可表示为下图，n n表示为

2、算式是：24+？+5=46。由此可求得养鹅n n46-5-24=17(只)。例例2 2 一个筐里装着52个苹果，另一个筐里装着一些梨。如果从梨筐里取走18个梨，那么梨就比苹果少12个。原来梨筐里有多少个梨？n n分析：根据已知条件，将各种数量关系表示为下图。 n n有几种思考方法：n n(1)(1)根据取走18个梨后，梨比苹果少12个，先求出梨筐里现有梨52-2=40(个)，再求出原有梨 (52-12)+18=58(个)。n n(2)根据取走18个梨后梨比苹果少12个，我们设想“少取12个”梨，则现有的梨和苹果一样多，都是52个。这样就可先求出原有梨比苹果多18-126(个)，再求出原有梨 5

3、2+(18-12)=58(个)。 n n(3)根据取走18个梨后梨比苹果少12个，我们设想不取走梨，只在苹果筐里加入18个苹果，这时有苹果52+18=70(个)。n n这样一来，现有苹果就比原来的梨多了12个(见下图)。由此可求出原有梨 (52+18)-12=58(个)。小结：由上面三种不同角度的分析，得到如下三种解法。 n n解法 1：(52-12)+18=58(个)。n n解法 2：52+(18-12)=58(个)。n n解法 3：(52+18)-12=58(个)。n n答：原来梨筐中有58个梨。n n分析与解：分析与解：只要求出某一种糖的块数，就可以根据已知条件得到其它两种糖的块数，总共

4、买多少就可求出。先求出哪一种糖的块数最简便呢？我们先把已知条件表示为下图。例例3 3 某校三年级一班为欢迎“手拉手”小朋友们的到来，买了若干糖果。已知水果糖比小白兔软糖多15块，巧克力糖比水果糖多28块。又知巧克力糖的块数恰好是小白兔软糖块数的2倍。三年级一班共买了多少块糖果？n n由上图可求出，n n小白兔软糖块数=15+28=43(块)，n n水果糖块数=43+15=58(块)，n n巧克力糖块数=432=86(块)。n n糖果总数=43+58+86=187(块)。n n答:共买了187块糖果。例例例例4 4 4 4 一口枯井深一口枯井深230230厘米，一只蜗牛要从井底爬到井厘米，一只蜗

5、牛要从井底爬到井口处。它每天白天向上爬口处。它每天白天向上爬110110厘米，而夜晚却要向下厘米，而夜晚却要向下滑滑7070厘米。这只蜗牛哪一个白天才能爬出井口？厘米。这只蜗牛哪一个白天才能爬出井口？n n分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：因蜗牛最后一个白天要向上爬因蜗牛最后一个白天要向上爬110110厘米，厘米，井深井深230230厘米减去这厘米减去这110110厘米后厘米后( (等于等于120120厘米厘米) )，就，就是蜗牛前几天一共要向上爬的路程。是蜗牛前几天一共要向上爬的路程。n n因为蜗牛白天向上爬因为蜗牛白天向上爬110110厘米，而夜晚又向下滑厘米，而夜晚又向下滑7070

6、厘米，所以它每天向上爬厘米，所以它每天向上爬110-70=40(110-70=40(厘米厘米) )。n n由于由于12040=312040=3，所以，所以，120120厘米是蜗牛前厘米是蜗牛前3 3天一共天一共爬的。故第爬的。故第4 4个白天蜗牛才能爬到井口。个白天蜗牛才能爬到井口。n n若将例若将例4 4中枯井深改为中枯井深改为240240厘米，其它数字不变，厘米，其它数字不变，这只蜗牛在哪个白天才能爬出井口？这只蜗牛在哪个白天才能爬出井口？n n( (第第5 5个白天个白天) )第第2讲讲 乘除法应用题乘除法应用题n n本讲向同学们介绍如何利用乘、除法解答简单应本讲向同学们介绍如何利用乘、

7、除法解答简单应用题。用乘、除法解应用题，首先要明确下面几用题。用乘、除法解应用题，首先要明确下面几个关系，然后根据应用题中的已知条件，利用这个关系，然后根据应用题中的已知条件，利用这些数量关系求解。些数量关系求解。n n 被乘数被乘数乘数乘数= =乘积，相同数乘积，相同数个数个数= =总数，总数，n n小数小数倍数倍数= =大数，大数，n n被除数被除数除数除数= =商，被除数商，被除数商商= =除数，除数，n n被除数被除数除数除数=(=(不完全不完全) )商商余数。余数。例例1 1学校开运动会，三年级有86人报名参加单项比赛，其他年级参加单项比赛的人数是三年级的4倍少5人。全校参加单项比赛

8、的人数有多少人？n n分析：先求出其他年级参赛分析：先求出其他年级参赛人数，人数，n n864-5864-5339(339(人人) )，n n再加上三年级参赛人数，就再加上三年级参赛人数，就可求出全校参赛人数。可求出全校参赛人数。n n解：解：解：解：(864-5)(864-5)8686425(425(人人) )。n n 答：全校参赛答：全校参赛425425人。人。本题中全校参赛人数也可以看成是三年级参赛人数的5倍少5人，所以可列式为865-55(人)。例例2 2 有5只猴子，其中2只各摘了7个桃子，另外3只各摘了12个桃子。把所有摘下的桃子平均分给这5只猴子，每只猴子能分到多少个桃子？n n

9、解：解：共摘桃子7212350(个)，n n平均每只猴可分50510(个)。n n综合算式(72123)510(个)。n n答：每只猴子能分到10个桃。例例例例3 3 3 3小白兔上山采摘了许多蘑菇。它把这些蘑菇先平小白兔上山采摘了许多蘑菇。它把这些蘑菇先平均分成均分成4 4堆，堆，3 3堆送给它的小朋友，自己留一堆。后堆送给它的小朋友，自己留一堆。后来它又把留下的这一堆平均分成来它又把留下的这一堆平均分成3 3堆，两堆送给别的堆，两堆送给别的小白兔，一堆自己吃。自己吃的这一堆有小白兔，一堆自己吃。自己吃的这一堆有5 5个。它共个。它共采摘了多少个蘑菇？采摘了多少个蘑菇？n n分析：我们从后向

10、前分析。当分成分析：我们从后向前分析。当分成3 3堆时，共有堆时，共有535315(15(个个) )，这是分成，这是分成4 4堆时每一堆的个数。所堆时每一堆的个数。所以，分成以，分成4 4堆时，共有堆时，共有15415460(60(个个) )。n n解：解：解：解：(53)4(53)4154=60(154=60(个个) )。n n 答：共摘了答：共摘了6060个蘑菇。个蘑菇。 例例4 4小雨到奶奶家。如果来回都乘车，那么路上要用20分钟。如果去时乘车，回来时步行，那么一共要用50分钟。小雨步行回来用多少时间？n n分析：来回都乘车用20分，所以乘车单程所用的时间是202=10(分)。去时乘车回

11、来时步行共用50分，减掉去时乘车用的10分，回来时步行用了50-1040(分)。n n解：解：50-202=40(分)。n n答：步行回来用40分钟。例例5 5师徒二人加工同样的机器零件。师傅加工的个数是徒弟的4倍，其个数比徒弟多54个。师徒二人这天各加工了多少个零件？n n分析：如下图所示，把徒弟加工的个数看成分析：如下图所示，把徒弟加工的个数看成“1 1份份”，师傅加工的就是，师傅加工的就是“4 4份份”，因而师傅比徒弟多，因而师傅比徒弟多(4-1)(4-1)份。由上图可求得份。由上图可求得1 1份为份为54(4-1)=18(54(4-1)=18(个个) )，由此可求出师徒二人各加工了多少

12、个零件。，由此可求出师徒二人各加工了多少个零件。 n n解：解：徒弟加工了54(4-1)=18(个)，n n师傅加工了18472(个)。n n答：徒弟加工了18个，师傅加工了72个。n n解这类题的关键是分析出“54”是如何多出来的，即弄明白用“倍数-1”来除它，所得的数代表什么。 例例6 6工厂装配四轮推车，1个车身要配4个车轮。现在有40个车身，70个车轮。问：装配出多少辆四轮推车后，剩下的车身和车轮的数量相等？n n分析：分析：1 1个车身配个车身配4 4个车轮，即每装配出一辆四轮个车轮，即每装配出一辆四轮推车，用的车轮数比车身数多推车，用的车轮数比车身数多4-1=3(4-1=3(个个)

13、 )。现在车。现在车轮比车身多轮比车身多70-4070-4030(30(个个) )，要把这，要把这3030个车轮个车轮“消消耗掉耗掉”，需装配，需装配30330310(10(辆辆) )四轮车。四轮车。n n解：解：解：解：(70-40)(4-1)(70-40)(4-1)10(10(辆辆) )。n n答：需装配出答：需装配出1010辆四轮推车。辆四轮推车。第第3讲讲 平均数平均数n n 把一个把一个( (总总) )数平均分成几个相等的数，相等数平均分成几个相等的数，相等的数的数值就叫做这个的数的数值就叫做这个( (总总) )数的平均数。例如，数的平均数。例如，2424平均分成四个数：平均分成四个

14、数：6 6，6 6，6 6，6 6，数，数6 6就叫做就叫做2424分分成四份的平均数。又如，成四份的平均数。又如，2424平均分成六个数：平均分成六个数：4 4，4 4，4 4，4 4，4 4，4 4，数，数4 4就叫做就叫做2424分成六份的平均数。分成六份的平均数。n n 由此可见，平均数是相对于由此可见，平均数是相对于“总数总数”和分成的和分成的“份数份数”而言的。知道了被均分的而言的。知道了被均分的“总数总数”和均和均分的分的“份数份数”，就可以求出平均数：，就可以求出平均数：n n 总数总数总数总数份数份数份数份数= = = =平均数。平均数。平均数。平均数。n n “平均数平均数

15、”这个数学概念在我们的日常生活和这个数学概念在我们的日常生活和工作中经常用到。例如，某次考试全班同学的工作中经常用到。例如，某次考试全班同学的“平均成绩平均成绩”，几件货物的，几件货物的“平均重量平均重量”，某辆汽，某辆汽车行驶某段路程的车行驶某段路程的“平均速度平均速度”等等，都是我们等等，都是我们经常碰到的求平均数的问题。根据求平均数的一经常碰到的求平均数的问题。根据求平均数的一般公式可以得到它们的计算方法：般公式可以得到它们的计算方法：n n 全班同学的总成绩全班同学的总成绩全班同学人数全班同学人数= =平均成绩，平均成绩，几件货物的总重量几件货物的总重量货物件数货物件数= =平均重量，

16、一辆汽平均重量，一辆汽车行驶的路程车行驶的路程所用的时间所用的时间= =平均速度。平均速度。n n 我们在上一讲的例我们在上一讲的例2 2中，已经接触到求平均数中，已经接触到求平均数的应用题，下面再举一些例子来说明有关平均数的应用题，下面再举一些例子来说明有关平均数应用问题的解法。应用问题的解法。n n例例1 1一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。他们的平均成绩是多少？n n解：解：总成绩=988793868894546(分)。n n这个小组有6个同学，平均成绩是n n546691(分)。n n答：平均成绩是91分。n n速算法速算法基准数法：

17、基准数法：n n分析与解分析与解分析与解分析与解：通常的做法是将这：通常的做法是将这6 6个数直接相加，但这些数个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作当的数作“基准基准”，比如以，比如以“90”90”作基准，这作基准，这6 6个数与个数与9090的差如下：的差如下：n n 8 8，-3-3，3 3，-4-4，-2-2，4 4，其中，其中“-”-”号表示这个数比号表示这个数比9090小。小。n n于是得到总

18、和于是得到总和=906=906（8-3+3-4-2+48-3+3-4-2+4）n n =540 =540 6 6n n =546 =546。 n n 上题所用的方法叫做加法的上题所用的方法叫做加法的基准数法基准数法基准数法基准数法。这种方法适用于加数较多，。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准基准”的数（如上题的的数（如上题的9090）叫做叫做基准数基准数基准数基准数，各数与基准数的差的和叫做，各数与基准数的差的和叫做累计差累计差累计差累计差。由此得到：。由此得到：n n总和数总和数总和数总和数= =基准数基准数基准数基准数加数的个

19、数加数的个数加数的个数加数的个数+ +累计差累计差累计差累计差，n n平均数平均数平均数平均数= =基准数基准数基准数基准数+ +累计差累计差累计差累计差加数的个数加数的个数加数的个数加数的个数。n n在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。 n n例例2 2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：

20、462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。 求平均每块麦田的产量。n n解解：选基准数为450，则n n累计差累计差=12=1230307 73030232321211818111125251111n n =50=50，n n平均每块产量=4505010455（千克）。n n答：平均每块麦田的产量为455千克。n n例例2 2把40千克苹果和80千克梨装在6个筐内(可以混装)，使每个筐装的重量一样。每筐应装多少千克？n n解：解：苹果和梨的总重量为n n4080120(千克)。n n因要装成6筐，所以，每筐平均应装n n120620(千克)。n n答：每筐

21、应装20千克。n n例例例例3 3 3 3小明家先后买了两批小猪，养到今年小明家先后买了两批小猪，养到今年1010月。第月。第一批的一批的3 3头每头重头每头重6666千克，第二批的千克，第二批的5 5头每头重头每头重4242千克。小明家养的猪平均多重？千克。小明家养的猪平均多重？n n解：解：解：解：两批猪的总重量为两批猪的总重量为n n663663425425408(408(千克千克) )。n n两批猪的头数为两批猪的头数为3 35 58(8(头头) )，故平均每头猪，故平均每头猪重重4088408851(51(千克千克) )。n n答：平均每头猪重答：平均每头猪重5151千克。千克。n

22、n注意，在上例中不能这样来求每头猪的平均注意，在上例中不能这样来求每头猪的平均重量：重量：n n(66(6642)242)254(54(千克千克) )。n n上式求出的是两批猪的上式求出的是两批猪的“平均重量的平均数平均重量的平均数”，而不是，而不是(3(35 5)8)8头猪的平均重量。这是刚接头猪的平均重量。这是刚接触平均数的同学最容易犯的错误！触平均数的同学最容易犯的错误！n n例例例例4 4 4 4一个学生为了培养自己的数学解题能力，除了一个学生为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周认真读一些书外，还规定自己每周( (一周为一周为7 7天天) )平平均每天做均每天

23、做4 4道数学竞赛训练题。星期一至星期三每道数学竞赛训练题。星期一至星期三每天做天做3 3道，星期四不做，星期五、六两天共做了道，星期四不做，星期五、六两天共做了1313道。那么，星期日要做几道题才能达到自己规定道。那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？的要求？n n分析：要先求出每周规定做的题目总数，然分析：要先求出每周规定做的题目总数，然后求出星期一至星期六已做的题目数。两者相减后求出星期一至星期六已做的题目数。两者相减就是星期日要完成的题目数。就是星期日要完成的题目数。n n每周要完成的题目总数是每周要完成的题目总数是47=28(47=28(道道) )。星期。星期一至星期六已做题

24、目一至星期六已做题目3333131322(22(道道) )，所以，所以，星期日要完成星期日要完成28-2228-226(6(道道) )。n n解：解：解：解：47-(3347-(3313)13)6(6(道道) )。n n答：星期日要做答：星期日要做6 6道题。道题。 n n例例例例5 5 5 5 三年级二班共有三年级二班共有4242名同学，全班平均身高为名同学，全班平均身高为132132厘米，厘米，其中女生有其中女生有1818人，平均身高为人，平均身高为136136厘米。问：男生平均身厘米。问：男生平均身高是多少？高是多少？n n解：解：解：解：全班身高的总数为全班身高的总数为n n13242

25、132425544(5544(厘米厘米) )，n n女生身高总数为女生身高总数为n n13618136182448(2448(厘米厘米) )，n n男生有男生有42-1842-1824(24(人人) )，n n 身高总数为：身高总数为：5544-24485544-24483096(3096(厘米厘米) )，n n男生平均身高为男生平均身高为n n309624309624129(129(厘米厘米) )。n n综合列式：综合列式：n n(13242-13618)(42-18)(13242-13618)(42-18)129(129(厘米厘米) )。n n答：男生平均身高为答：男生平均身高为12912

26、9厘米。厘米。n n例例6 6小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分。问：英语得了多少分？n n分析：英语比平均成绩高的这4分，是“补”给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为n n(92904)293(分)，n n由此可求出英语成绩。n n解：解：(92924)2497(分)。n n答：英语得了97分。 第第4讲讲 植树问题植树问题n n 绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题植树问题”。还有许多应用题可以化为。还有许多应用题可以

27、化为“植树植树问题问题”来解，或借助解来解，或借助解“植树问题植树问题”的思考方法的思考方法来解。来解。n n先介绍四类最简单、最基本的植树问题。先介绍四类最简单、最基本的植树问题。n n为使其更直观，我们用图示法来说明。树用为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。显与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。显然，只有下面四种情形：然，只有下面四种情形： n n(2)(2)(2)(2)非封闭线只有

28、一端有非封闭线只有一端有“点点”时，时，“点数点数”=“=“段数段数”。(1)(1)非封闭线的两端都有“点”时， “点数”“段数”1。 n n(3)(3)非封闭线的两端都没有“点”时，n n “点数”“段数”-1。n n(4)封闭线上，n n“点数”=“段数”。 n n 例如，一条河堤长例如，一条河堤长420420米，从头到尾每隔米，从头到尾每隔3 3米栽一棵米栽一棵树，要栽多少棵树？这是第树，要栽多少棵树？这是第(1)(1)(1)(1)种情形，所以要栽树种情形，所以要栽树420342031 1141(141(棵棵) )。n n又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长又如，肖林家门口到公路边有一

29、条小路，长4040米。米。肖林要在小路一旁每隔肖林要在小路一旁每隔2 2米栽一棵树，一共要栽多少棵米栽一棵树，一共要栽多少棵树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第于第(2)(2)(2)(2)种情形，要栽树种情形，要栽树40240220(20(棵棵) )。n n 再如，两座楼房之间相距再如，两座楼房之间相距3030米，每隔米，每隔2 2米栽一棵树，米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第以，属于第(3)(3)(3)(3)种情形，能栽树种情形，能栽树302-1

30、302-114(14(棵棵) )。n n再例如，一个圆形水池的围台圈长再例如，一个圆形水池的围台圈长6060米。如果在此米。如果在此台圈上每隔台圈上每隔3 3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第属于第(4)(4)(4)(4)种情形，共能放花种情形，共能放花60360320(20(盆盆) )。n n许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。n n例例例例1 1 1 1在一段路边每隔在一段路边每隔5050米埋设一根路灯杆，包括这段路两米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了端埋设的路灯杆，共埋

31、设了1010根。这段路长多少米？根。这段路长多少米？n n解：解：解：解：这是第这是第(1)(1)(1)(1)种情形，所以，种情形，所以，“段数段数”10101 19 9。这。这段路长为段路长为50(10-1)50(10-1)450(450(米米) )。n n答：这段路长答：这段路长450450米。米。n n例例例例2 2 2 2小明要到高层建筑的小明要到高层建筑的1111层，他走到层，他走到5 5层用了层用了100100秒，照秒，照此速度计算，他还需走多少秒？此速度计算，他还需走多少秒？n n分析：因为分析：因为1 1层不用走楼梯，走到层不用走楼梯，走到5 5层走了层走了4 4段楼梯，段楼梯

32、，由此可求出走每段楼梯用由此可求出走每段楼梯用100(5100(51)1)25(25(秒秒) )。走到。走到1111层要走层要走1010段楼梯，还要走段楼梯，还要走6 6段楼梯，所以还需段楼梯，所以还需n n256256150(150(秒秒) )。n n解：解：解：解：100(5-1)100(5-1)(11-5)(11-5)150(150(秒秒) )。n n答：还需答：还需150150秒。秒。n n例例例例3 3 3 3 一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共3030辆，每辆辆，每辆车长车长4 4米，前后每辆车相隔米，前后每辆车相隔5 5米。这列车队共排列了多长？

33、米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶如果车队每秒行驶2 2米，那么这列车队要通过米，那么这列车队要通过535535米长的检米长的检阅场地，需要多少时间？阅场地，需要多少时间？n n解：解：解：解：车队间隔共有车队间隔共有n n30-130-129(29(个个) )，n n每个间隔每个间隔5 5米，所以，间隔的总长为米，所以，间隔的总长为n n(30-1)5(30-1)5145(145(米米) )，n n而车身的总长为而车身的总长为304304120(120(米米) )，故这列车队的总长为，故这列车队的总长为n n(30-1)5+304(30-1)5+304265(265(米米) )。n

34、n由于车队要行由于车队要行265265535535800(800(米米) )，且每秒行，且每秒行2 2米，所以，米，所以，车队通过检阅场地需要车队通过检阅场地需要n n(265(265535)2535)2400(400(秒秒) )6 6分分4040秒。秒。n n答：这列车队共长答：这列车队共长265265米，通过检阅场地需要米，通过检阅场地需要6 6分分4040秒。秒。例例例例4 4 4 4 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？n n解：解：解：解：如上图所示

35、。关键是求出重叠的如上图所示。关键是求出重叠的“环扣环扣”数数( (每个长每个长6 6毫米毫米) )。根据植树问题的第。根据植树问题的第(3)(3)(3)(3)种情形知，五个连在一起的种情形知，五个连在一起的“环扣环扣”数为数为5-15-14(4(个个) )，所以重叠部分的长为，所以重叠部分的长为n n6(5-1)6(5-1)24(24(毫米毫米) )，n n又又4 4厘米厘米=40=40毫米，所以五个铁环连在一起长毫米，所以五个铁环连在一起长n n405-6(5405-6(51)1)176(176(毫米毫米) )。n n同理，十个铁环连在一起的长度为同理，十个铁环连在一起的长度为n n401

36、0-6(10-1)=346(4010-6(10-1)=346(毫米毫米) )。n n答：五个铁环连在一起的长度为答：五个铁环连在一起的长度为176176毫米。十个铁环毫米。十个铁环连在一起的长度为连在一起的长度为346346毫米。毫米。n n例例例例5 5 5 5 父子俩一起攀登一个有父子俩一起攀登一个有300300个台阶的山坡，父个台阶的山坡，父亲每步上亲每步上3 3个台阶，儿子每步上个台阶，儿子每步上2 2个台阶。从起点个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？( (重复踏的台阶只算一个重复踏的台阶只算一个) )。n n解：解：解：解

37、：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，儿子踏过的台阶数为已知条件，儿子踏过的台阶数为n n30023002150(150(个个) )，n n父亲踏过的台阶数为父亲踏过的台阶数为30033003100(100(个个) )。n n由于由于23=623=6，所以父子俩每，所以父子俩每6 6个台阶要共同踏个台阶要共同踏一个台阶，共重复踏了一个台阶，共重复踏了3006300650(50(个个) )。所以父。所以父子俩共踏了台阶子俩共踏了台阶n n150150100-50100-50200(200(个个) )。n n答：父子俩共踏了答：父子俩共踏了2002

38、00个台阶。个台阶。第第5讲讲 和倍应用题和倍应用题n n 小学数学中有各种各样的应用题。根据它们小学数学中有各种各样的应用题。根据它们的结构形式和数量关系，形成了一些用特定方法的结构形式和数量关系，形成了一些用特定方法解答的典型应用题。比如，和倍应用题、差倍应解答的典型应用题。比如，和倍应用题、差倍应用题、和差应用题等等。今天我们讲和倍应用题：用题、和差应用题等等。今天我们讲和倍应用题：n n和倍应用题的基本和倍应用题的基本“ “数学格式数学格式” ”是：是：n n已知大、小二数的已知大、小二数的“ “和和” ”，又知大数是小数，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。的几倍，求大、小二

39、数各是多少。n n上面的问题中有上面的问题中有“ “和和” ”，有，有“ “倍数倍数” ”，所以，所以叫做和倍应用题。为了清楚地表示和倍问题中大、叫做和倍应用题。为了清楚地表示和倍问题中大、小二数的数量关系，画出线段图如下：小二数的数量关系，画出线段图如下：n n从线段图知，从线段图知，“和和”是小数的是小数的( (倍数倍数+1)+1)倍，所以，倍，所以，n n小数小数= =和和(倍数倍数+1)+1)。n n上式称为和倍公式。由此得到上式称为和倍公式。由此得到n n大数大数= =和和- -小数，小数，n n或或 大数大数= =小数小数倍数。倍数。n n例如，大、小二数的和是例如，大、小二数的和

40、是265265，大数是小数的，大数是小数的4 4倍，则倍，则n n小数小数=265(4=265(41)=531)=53，n n大数大数=265-53=212=265-53=212或或534=212534=212。n n例例例例1 1 甲、乙两仓库共存粮甲、乙两仓库共存粮264264吨，甲仓库存粮是吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的乙仓库存粮的1010倍。甲、乙两仓库各存粮多少吨倍。甲、乙两仓库各存粮多少吨？n n分析：把甲仓库存粮数看成分析：把甲仓库存粮数看成“ “大数大数” ”，乙仓，乙仓库存粮数看成库存粮数看成“ “小数小数” ”，此例则是典型的和倍应，此例则是典型的和倍应用题。根据和倍公式即可

41、求解。用题。根据和倍公式即可求解。n n解：解：解：解：乙仓库存粮乙仓库存粮 264(10264(101)1)24(24(吨吨) )，甲仓，甲仓库存粮库存粮n n264-24=240(264-24=240(吨吨) )，n n或或n n24102410240(240(吨吨) )。n n答：乙仓库存粮答：乙仓库存粮2424吨，甲仓库存粮吨，甲仓库存粮240240吨。吨。n n例例例例2 2 2 2 甲、乙两辆汽车在相距甲、乙两辆汽车在相距360360千米的两地同时出发，相千米的两地同时出发，相向而行，向而行，2 2时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的2

42、2倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？n n分析：已知甲车速度是乙车速度的分析：已知甲车速度是乙车速度的2 2倍，所以倍，所以“1 1倍倍”数是乙车的速度。现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可数是乙车的速度。现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可用用“和倍公式和倍公式”了。由题意知两辆车了。由题意知两辆车 2 2时共行时共行 360360千米，千米，故故1 1时共行时共行 36023602180(180(千米千米) )，这就是两辆车的速度和。，这就是两辆车的速度和。n n解：解：解：解：乙车的速度为乙车的速度为n n(3602)(2(3602)(21)= 60

43、(1)= 60(千米千米/ /时时) )，n n甲车的速度为甲车的速度为n n602=20(602=20(千米千米/ /时时) )，或，或180-60=120(180-60=120(千米千米/ /时时) )。n n答：甲车每时行答：甲车每时行120120千米，乙车每时行千米，乙车每时行6060千米。千米。n n从上面两道例题看出，用从上面两道例题看出，用“和倍公式和倍公式”的关键是确定的关键是确定“1 1倍倍”数数( (即小数即小数) )是谁，是谁，“和和”是谁。例是谁。例1 1、例、例2 2的的“1 1倍倍”数与数与“和和”极为明显，其中极为明显，其中例例例例2 2 2 2中虽未直接给出中虽

44、未直接给出“和和”，但也很容易求出。下，但也很容易求出。下面我们讲几个面我们讲几个“1 1倍倍”数不太明显的例子。数不太明显的例子。n n例例例例3 3 3 3 甲队有甲队有4545人，乙队有人，乙队有7575人。甲队要调入乙队人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的多少人，乙队人数才是甲队人数的3 3倍？倍？n n分析：容易求得分析：容易求得“二数之和二数之和”为为 454575=120(75=120(人人) )。如果从如果从“乙队人数才是甲队人数的乙队人数才是甲队人数的3 3倍倍”推出推出“1 1倍倍”数数( (即小数即小数) )是是“甲队人数甲队人数”那就错了，从那就错了，从75

45、75不是不是4545的的3 3倍也知是错的。这个倍也知是错的。这个“1 1倍倍”数是谁？数是谁？n n 根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。倍根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。倍数关系也是调动后的人数关系，即数关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的调入人后的乙队人数乙队人数”是是“调走人后甲队剩余的人数调走人后甲队剩余的人数”的的3 3倍。倍。由此画出线段图如下：由此画出线段图如下：n n从图中看出，把甲队中“？”人调入乙队后，(4575)就是甲队剩下人数的 314(倍)。从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。由和倍公式可以求解。n n解：解：甲队调动后剩下的人数为n n(4575)

46、(31) 30(人)，故甲队调入乙队的人数为45-3015(人)。n n答：甲队要调15人到乙队。例例例例5 5 5 5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160160个。后来大白个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔兔把它的蘑菇给了其它白兔2020个，而小灰兔自己又个，而小灰兔自己又采了采了1010个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5 5倍。问：倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？n n例例例例4 4 4 4 妹妹有书妹妹有书2424本，哥哥有书本，哥哥有书5353本。要使哥哥的本。要使哥哥的书是妹妹的

47、书的书是妹妹的书的6 6倍，妹妹应给哥哥多少本书？倍，妹妹应给哥哥多少本书？n n仿照仿照例例例例3 3 3 3的分析可得如下解法。的分析可得如下解法。n n解：解：解：解：兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的书的(6(61)1)倍，根据和倍公式，妹妹剩下倍，根据和倍公式，妹妹剩下n n(53(5324)(624)(61)1)11(11(本本) )。故妹妹给哥哥。故妹妹给哥哥书书24-1124-1113(13(本本) )。n n答：妹妹给哥哥书答：妹妹给哥哥书1313本。本。分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：这道题仍是和倍应用题，因为有这道题仍

48、是和倍应用题，因为有“和和”、有、有“倍倍数数”。但这里的。但这里的“和和”不是不是 160160，而是，而是16016020201010150150，“1 1倍倍”数却是数却是“小灰兔又自己采了小灰兔又自己采了1010个后的蘑菇数个后的蘑菇数”。线。线段图如下：段图如下：n n根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇( (即即“1 1倍倍”数数) )n n(160-20(160-2010)(510)(51)1)25(25(个个) )，n n故小灰兔原有蘑菇故小灰兔原有蘑菇25-1025-1015(15(个个) )，大白兔原，大白兔原有蘑菇有蘑菇n n160-15160-15145(145(个个) )。n n答：原来大白兔采蘑菇答：原来大白兔采蘑菇145145个，小灰兔采个，小灰兔采1515个。个。