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1、九年级数学（上）第一章九年级数学（上）第一章 证明证明(二二)1.2 1.2 直角三角形（直角三角形（1 1） 勾股定理与它的逆定理的证明勾股定理与它的逆定理的证明复习复习: :直角三角形的边有哪些性质？直角三角形的边有哪些性质？一般性质：一般性质：直角三角形的边具有一般三角直角三角形的边具有一般三角 形的所有性质形的所有性质.特殊性质：特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐在直角三角形中，如果一个锐 角等于角等于30，那么它所对的直角，那么它所对的直角 边等于斜边的一半边等于斜边的一半.勾勾股股定定理理 直直角角三三角角形形两两直直角角边边的的平平方方和和等于斜边的平方等于斜边的平方. .勾股
2、定理w如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a a、b b，斜边为斜边为c c，那么那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. .w直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. .勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.开启 智慧acb勾勾弦弦股股勾股定理的证明勾股定理的证明l方法一方法一:拼图计算拼图计算l方法二方法二：割补法：割补法l方法三方法三：赵爽的弦图：赵爽的弦图l方法四方法四：总统证法：总统证法l方法五方法五：青朱出入图：青朱出入图l方法六方法六：折纸法：折纸法l方法七方法七：拼图
3、计算：拼图计算这些证法你还能记得多少这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法你最喜欢哪种证法?总统证法总统证法l这个证明方法出自一位总统这个证明方法出自一位总统,1881年，伽菲尔德年，伽菲尔德(J.A.Garfield)就任美国第二十任总统就任美国第二十任总统,在在1876年年,利用了梯形面积公式。利用了梯形面积公式。伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为的证明，就把这一证法称为“总统总统”证法。证法。勾股定理不只是数学家爱好，魅力真
4、大！勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！ababcc证法证法:图中三个三角形图中三个三角形面积的和是面积的和是2ab/2c2/2;梯形面积为梯形面积为(a+b)(a+b)/2;比较可得比较可得:c2 = a2+b2 。学无止境学无止境读一读读一读1 1l勾股定理是数学上有证明方法最多的定理勾股定理是数学上有证明方法最多的定理有四百有四百多种证明！多种证明！l古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵有数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜爽（中）、梅文
5、鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其证松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的.P19P19读一读读一读：勾股定理的证明勾股定理的证明. .学学无止境无止境历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同
6、学们要努藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。类作出更大贡献。P19P19读一读读一读：勾股定理的证明勾股定理的证明l学习永远是件快乐而有趣的事！学习永远是件快乐而有趣的事！l勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！及时练：及时练：1、一个三角形的三边之比为、一个三角形的三边之比为 , ,这个三角形的形状是这个三角形的形状是()2、已已知知：线线段段abc的的值值如如下下，则则能能够够组组成直角三角形的是（成直角三角形的是（）(A)346(
7、B)51213(C)124(4)135勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理l如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方, , 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. .l已知已知: :如图在如图在ABCABC中中,AC,AC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2. .l求证求证:ABC:ABC是直角三角形是直角三角形. .acbABC(1)逆定理的证明逆定理的证明证明证明:作作RtABCABC使使C=900,AC=AC,BC=BC(如图如图),则则已知已知: :如图如图(1),(1),在在ABCABC中中,AC,AC2 2+BC+BC2 2=AB=
8、AB2 2. .求证求证:ABC:ABC是直角三角形是直角三角形. .acbABC(1)abBAC(2)AC2 2+BC2 2=AB2 2(勾股定理勾股定理).ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2( (已知已知), ), AC=AC,BC=BC( (作图作图),),AB2 2=AB2 2( (等式性质等式性质).).AB=AB ABC ABC ABCABC(SSS).(SSS).A=A900( (全等三角形的对应边全等三角形的对应边).). ABCABC是直角三角形是直角三角形( (直角三角形定义直角三角形定义).).几何的几何的三种语言三种语言w勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理
9、l如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.这是判定直角三角形的根据之一这是判定直角三角形的根据之一.在在ABCABC中中ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2( (已知已知),),ABCABC是直角三角形是直角三角形( (如果三角形两边的平方和如果三角形两边的平方和等于第三边平方等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形).).acbABCw1.1.如图，在如图，在ABCABC中，已知中，已知AB=13cm,BC=10cm,BCAB=13cm,BC=10cm,BC边上的
10、中线边上的中线AD=12cm.AD=12cm.w求证求证:AB=A:AB=AC. C. D DBCAw2.2.房梁的一部分如图所示房梁的一部分如图所示, ,其中其中BCACBCAC，A=30A=300 0,AB=10m,CB,AB=10m,CB1 1AB, BAB, B1 1C C1 1AC,AC,垂足垂足为为B B1 1,C,C1 1, ,那么那么BCBC的长是多少？的长是多少？B B1 1C C1 1呢？呢？ 解解:BCAC,A=30:BCAC,A=300 0,AB=10m(,AB=10m(已知已知) ) BC=AB/2=10BC=AB/2=102 25 5( (在直角三角形中在直角三角形
11、中, , 如果有一如果有一个锐角等于个锐角等于30300 0, ,那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半), ), 又又CBCB1 1AB,BCBAB,BCB1 1=90=900 0-60-600 0=30=300 0( (直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余),),BBBB1 1=BC/2=5=BC/2=52 22.52.5( (在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等如果有一个锐角等于于30300 0, ,那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半).). 老师提示:对于含300角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认
12、可. BCA300B1C1ABAB1 1=AB-BB=AB-BB1 1=10-2.5=7.5(=10-2.5=7.5(等式性质等式性质). ). B B1 1C C1 1=AB=AB1 1/2=7.5/2=7.52 23.753.75( (在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个如果有一个锐角等于锐角等于30300 0, ,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半).). w3.3.如图如图, ,正四棱柱的底面边长为正四棱柱的底面边长为5c5cm,m,侧棱长为侧棱长为8cm,8cm,一只一只蚂蚁欲从蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点正四棱柱的底面上的点A A沿棱沿棱柱柱
13、侧面到点侧面到点C C1 1处吃食物处吃食物, ,那么它需要爬行的最短那么它需要爬行的最短路径是多少？路径是多少？ 解解: :如下图如下图, ,将将四棱柱的侧面展开四棱柱的侧面展开, ,连结连结ACAC1,1,AC=10cm,CCAC=10cm,CC1 1=8cm(=8cm(已知已知), ), 老师提示:对于空间图形需要动手操作,将其转化为平面图形来解决. BCAB1C1D1A1DBAB1D1A1DC1C答答: :蚂蚁需要爬行的最短路径是蚂蚁需要爬行的最短路径是 cm. cm. 1. 勾股定理:毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理w如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为
14、斜边为c，那么那么a2+b2=c2.w直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的逆定理:l如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那那么这个三角形是直角三角形么这个三角形是直角三角形.小结 拓展观察下列二个命题的条件与结论观察下列二个命题的条件与结论,说明有什么异同说明有什么异同?1.两直线平行两直线平行, 同位角相等同位角相等.2.同位角相等同位角相等, 两直线平行两直线平行.条件条件条件条件结论结论结论结论w在两个命题中在两个命题中,如果一个命题的如果一个命题的条件条件和和结论结论分别是分别是另一个命题
15、的另一个命题的结论结论和和条件条件,那么这两个命题称为那么这两个命题称为互互逆命题逆命题,其中一个命题称为另一个命题的其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题.原命题原命题逆命题逆命题逆命题逆命题原命题原命题一一.写出下列命题的逆命题吗写出下列命题的逆命题吗?它们都是真命题吗它们都是真命题吗?w想一想想一想: :一个命题是真命题一个命题是真命题, ,它它的的逆命题是真命逆命题是真命题还是假命题题还是假命题? ?1.如果两个有理数相等如果两个有理数相等,那么它们的平方相等那么它们的平方相等2. 如果两个角是对顶角如果两个角是对顶角,那么它们相等那么它们相等,3.如果小明患了肺炎如果小明患了肺炎,
16、那么他一定会发烧那么他一定会发烧,4.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.逆命题逆命题:如果两个角相等如果两个角相等,那么它们是对顶角那么它们是对顶角;逆命题逆命题:如果小明发烧如果小明发烧,那么他一定患了肺炎那么他一定患了肺炎;逆命题逆命题:如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形逆命题逆命题: 如果两个有理数的平方相等如果两个有理数的平方相等,那么它们相等那么它们相等命题与逆命题命题与逆命题4.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和
17、等于斜边的平方.逆命题逆命题:如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形w一个一个命题命题是真命题是真命题, ,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题. .w如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那么它那么它是一个是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个其中一个定理称另一个定理的定理称另一个定理的逆定理逆定理.我们已经学习了一些互逆的定理我们已经学习了一些互逆的定理,如如:1.勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理,2.两直线平行两直线平
18、行,内错角相等内错角相等;内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行.命题与逆命题命题与逆命题w一个一个命题命题是真命题是真命题, ,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题. .w如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那么它那么它是一个是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个其中一个定理称另一个定理的定理称另一个定理的逆定理逆定理.我们已经学习了一些互逆的定理我们已经学习了一些互逆的定理,如如:1.勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理,2.两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等;内错角相等内错角相等,两直线平行两直
19、线平行.1.你还能举出一些例子吗你还能举出一些例子吗?2.2.想一想想一想: :互逆命题与互逆定理有何关系互逆命题与互逆定理有何关系? 巩固练习：巩固练习： 说说出出下下列列命命题题的的逆逆命命题题，并并判判断断每每对命题的真假：对命题的真假： （1 1）四边形是多边形；）四边形是多边形； （2 2）两直线平行，同旁内角互补；）两直线平行，同旁内角互补； （3 3）如果）如果abab=0=0，那么那么a=0,b=0.a=0,b=0. 巩固练习：巩固练习： 1 1、写写出出下下列列命命题题的的逆逆命命题题，并并判判断断每对命题的真假：每对命题的真假：(2)(2)矩形是正方形矩形是正方形；(3)如
20、果如果x20，那么那么x0;(4)直角都相等直角都相等.勾股定理勾股定理:w如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为斜边为c，那那么么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（理（pythagorastheorem）.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理: :l如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个那么这个三角形是直角三角形三角形是直角三角形.命题与逆命题命题与逆命题w在两个命题中在两
21、个命题中,如果一个命题的如果一个命题的条件条件和和结论结论分别是另分别是另一个命题的一个命题的结论结论和和条件条件,那么这两个命题称为那么这两个命题称为互逆命互逆命题题,其中一个命题称为另一个命题的其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题.定理与逆定理定理与逆定理w如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那么它是那么它是一个一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个定理称其中一个定理称另一个定理的另一个定理的逆定理逆定理.小结 拓展提高练习：提高练习：1、如如图图，在在四四边边形形ABCD中中，AB=2,BC=,CD=5,DA=4,B=90求求 四四 边边 形形ABCD的面积的面积. 2 2、在在ABCABC中中，若若ABC=123,ABC=123,则则BCACAB =BCACAB = 则则ABC是是三角形三角形.4.如图如图(单位：英尺单位：英尺),在一个长方体的房间里在一个长方体的房间里,一只蜘蛛一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板在一面墙的正中间离天花板1英尺的英尺的A处处,苍蝇则在对面苍蝇则在对面墙的正中间离地板墙的正中间离地板1英尺的英尺的B处处.试问试问:蜘蛛为了捕获苍蝇蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少需要爬行的最短距离是多少?AB 301212
