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1、三三. 连连 续续 与与 导导 数数 (一一) 连续连续 一一. 概念概念,1,定义：定义： 在点 连续； 在点 左连续；右连续； 在区间 内连续； 在区间 上连续。 2，间断点如何分类？，间断点如何分类？ 二二. 函数连续性的讨论及间断点分类举例函数连续性的讨论及间断点分类举例. 例例1.求求 的间断点的间断点,并判断类型并判断类型. 提示：提示： 例2.设f(x)是奇函数,且不恒为零. 并在 x=0 点可导.问x=0是 的何类型间断点.例：例： 例例3.求求 的间断点的间断点,并分类并分类.n结论结论： 例例4. 讨论讨论y=f(g(x)的连续性的连续性,并求函数并求函数 y=f(g(x)
2、间断点类型间断点类型.定理：定理： 设函数设函数 u=u=(x) 在 x=x0 连 续，且 (x0)=u0，而函数 y=f(u) 在点 u=u0连续，那末复合函数 y=f (x) 在点 x=x0 也是连续 的。 (二二) 导数导数 一一.概念概念 (1) (x )定义的三种形式定义的三种形式(极限存在前极限存在前提下提下)例例5.f(x)在在x=a某邻域内有定义某邻域内有定义,则则f(x)在在 x=a可导的一个充分条件是可导的一个充分条件是: C. D. (2). 可导与连续的关系可导与连续的关系 可导必连续可导必连续, 连续是可导的必要条件连续是可导的必要条件, 可导是连续的充分条件可导是连
3、续的充分条件. f (x)在在x0点点可可导导时时, f(x)在在x0点点一一定定连连续。续。 f (x)在在x0点点连连续续时时, f(x)在在x0点点不不一一定定可导可导. f(x) 在在x x0 0点不连续时点不连续时,f(x)在在x x0 0点一定点一定不可导不可导. 二二. 函数函数y=f(x)在在x0点导数的几何意义点导数的几何意义. 例例6. 试说明下列事实的几何意义试说明下列事实的几何意义. 1f(x),g(x)在在x0可导可导,且且f(x0)=g(x0), f (x0)=g (x0). 2在在1条件下条件下,f(x),g(x)在在x 有连续二有连续二阶导阶导 数数,且且f (
4、x0)=g (x0) 3f(x)在在x=x0处存在处存在 但但 4y=f(x)在在x=x0处连续处连续,且有且有三三.微分微分 1.定义定义. 2.f(x)在在x0可导可导f(x)在在x0可微可微. 3.例例:若若f(x)在在x0可微可微,且且f (x0)则则时时, f(x)在在x0处的微分与处的微分与比较是比较是 阶无穷小阶无穷小; y=(x0+(x0)与与比较是比较是 阶无穷小阶无穷小; ydf(x) 与与比较是比较是 阶无穷小阶无穷小; 微分几何意义：微分几何意义： 可微，当y是曲线 y=f(x)上的点的纵坐标增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。例例. (三三)导数计算举例
5、导数计算举例 (1).利用导数定义求导利用导数定义求导. 1,分段函数在分段点的导数分段函数在分段点的导数. 例例7. 在在x=1处可导处可导,求求a,b. 例例8. 试讨论在常数试讨论在常数 满足什么条件时满足什么条件时,f(x)在在x=0处处 连续连续; 可导可导; 导函数连续导函数连续; 二阶导数存在二阶导数存在. 例例9. f(x)在在x=0点可导点可导.求求F(x)=f( (x)在在x=0点的导数点的导数. 例例10. 求求 例例11. g(x)有二阶连续导函数有二阶连续导函数,g(0)=1. 确定确定a的值的值,使使f(x)在在x=0处连续处连续; 求求f (x); 讨论使讨论使f
6、 (x)在在x=0处连续性处连续性. (2) 没有明确给出可导条件的抽象函数求导没有明确给出可导条件的抽象函数求导. 例例12. (x)在在(+ )上有定义上有定义, x1, x2有有 (x1+x2)=(x1)(x2) (x1)=1+x1g(x2), 求求 (x). 例例13. 设设f(x)有有界的导函数有有界的导函数. g(x)=f(x)sinx. 求求 g(0). 例例14. (x)是以周期是以周期T=5的连续函数的连续函数,在在U(0, ), (1+sinx)3(1sinx)=8x+o(x), (x)在在x=1处可导处可导,求曲线求曲线y=f(x)在点在点 (6,f(6)的切线方程的切线
7、方程. (3) 利用利用 (微分之商微分之商)求导求导. 例例15. 设抛物线设抛物线y= 上任意一点上任意一点M(x,y) (x 0)处的曲率半径处的曲率半径此此抛物线上抛物线上介于点介于点A(1,1)与与M(x,y)之间的弧长为之间的弧长为s(x), 求求 的值的值. 高高 阶阶 导导 数数 (一一) 概念概念 (x0)= f(n)(x0)= (二二) 常用的基本初等函数的常用的基本初等函数的n阶导数公式阶导数公式. (三三) 求反函数的高阶导求反函数的高阶导. 例例16. 设设y=y(x)单调且有各阶导数单调且有各阶导数, y (x) 0. 试用试用y(x)的各阶导数的各阶导数y ,y,
8、y(3)表示反表示反函函 数数x=x(y)的三阶的三阶导数导数 (四四) 高阶导的计算高阶导的计算. (1) 归纳法归纳法 例例17. 例例18。 提示提示： 例例19. 提示：提示：例例20， (3) 利用递推公式求利用递推公式求n阶导数阶导数. 例例21. (x)=arctanx, 求求 f(n)(0) . (4) 利用函数的泰勒级数展开式利用函数的泰勒级数展开式,求函数求函数 在一点处的高阶导数在一点处的高阶导数. 例例22. (x)=arctanx, 求求 f(n)(0) . (五五) 隐函数求导隐函数求导. 例例23. 设有方程设有方程 求求 (六六) 参数方程所确定函数的导数参数方程所确定函数的导数. 例例24. 求对数螺线求对数螺线 r=e 在点在点 (r, )=( ) 处切线的直角坐标方程处切线的直角坐标方程. (七七) 抽象函数求导抽象函数求导. 例25. y = f(ex) ef(x) 其中其中f(x)可导可导,求求 例例26.y=y(x)由方程由方程y=f(x+y)+f(x+y)确确定定. y(0)=2, f(x)可导可导, f (2)=, f (4)=1. 求求 (八八) 变积分限函数求导及应用变积分限函数求导及应用. 例例27. 例例28. 设设f(x)在在0,连续连续,且满足且满足
